- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
A Simple Property of Isosceles Tria
A Simple Property of Isosceles Triangles with Applications
Abstract. In this paper we prove a simple property of isosceles triangles and give two applications: construction of third proportional line segments and construction of the inverse point with respect to a circle.
1. Introduction
Here we give an interesting property of isosceles triangles. It is known that if
a and b are two given line segments, then their third proportional line segment c
can be constructed geometrically; see [2, VI.11]. We can more easily construct
the third proportional line segment by using the simple geometric property of the
isosceles triangles. Two points A and B are inverse points with respect to the
inversion circle with center O and radius r, if OA • OB = r2; see [3]. We can
construct the inverse point with respect to a circle by using the same property ofthe isosceles triangle.
2. The property
Lemma 1. Let ABC be an isosceles triangle with AB = BC. Let D be a point
on the ray BC and let h be the ray obtained by reflecting the ray AD in the line
AC. Then the ray h cuts the ray BC in a point E which lies outside the segment
BC if the point D lies inside this segment (see Figure 1) and inside the segment BC if the point D lies outside (see Figure 2).
Proof. For Figure 1, let k denote the ray which is the part of the ray BC outside the segment BC. Then,
Publication Date: September 9, 2014. Communicating Editor: Rudolf Fritsch.
The author would like to thank Professor Rudolf Fritsch and an anonymous referee for their helpin the preparation of this paper and for their suggestions.
The second equality holds since the triangle ABC is isosceles, the third by reflection, and the fourth since D is an interior point of the segmentBC. Now accordingto Euclid’s fifth postulate the rays k and h meet in a point E. By the properties of
reflection it is obvious that this intersection point E must lie on the ray BC outsidethe segment BC
For Figure 2, ∠(h, AC) = ∠CAD < ∠ACB = ∠BAC. The first equality holds by reflection, the inequality by the Exterior Angle Theorem, the second
equality since the triangle ABC is isosceles. Thus, the ray h runs first within the
triangle ABC and meets the side BC in an interior point E.
Theorem 2. If ABC is an isosceles triangle and points D, E are given as in
Lemma 1, then BC2 = BD•BE, i.e., BC is the geometric mean of BD and BE
Proof. Firstly, we assume the point D inside the segment BC. The triangles ABD
and EBA share the angle at vertex B. Now consider the angle sums of the triangles
ABC and ABD.
∠ABC +∠BCA+∠CAB = π,
∠ABD +∠BDA+∠DAB = π.
Note, that ∠CAB = ∠CAD +∠DAB. Thus, comparison of the two angle sums
yields ∠BDA = ∠BCA + ∠CAD. But ∠BCA = ∠CAB since the triangle
ABC is isosceles and ∠CAD = ∠EAC by reflection. Thus,
∠BDA = ∠CAB +∠EAC = ∠EAB.
Therefore the triangles ABD and EBA are inversely similar, and
BC : BD = AB : BD = BE : BA = BE : BC.
From this, BC2 = BD •BE.
Secondly, if the point D lies outside the segment BC then interchanging the roles of the points D and E in the previous argument yields the same result.
3. Applications
3.1. Construction of third proportional line segments. Let a and b be the lengths
of two line segments, and we have to draw a line segment of length c such that the
square of b equals the product of a and c
For this, construct an isosceles triangle ABC with AB = BC = b (see Figures
3 and 4). Let D be a point on the ray BC such that BD = a and let h be the line
A simple property of isosceles triangles with applications
obtained by reflecting the ray AD in the line AC. By Lemma 1 the ray h cuts the
ray BC in a point E. Theorem 2 implies BE = c.
3.2. Construction of the inverse point with respect to a circle. Consider a circle C
with center B and D a point which may lies inside or outside of the circle C. In
both cases we can follow the same steps to construct the inverse point of D with
respect to the circle C, a case distinction as in the usual treatments, see for example
[1, pp.108–109], is not needed.
Take the intersection point C of the ray BD with the circle C, see Figures 5 and
6. Connect the point C with an arbitrary point A on the circle C (different from
C) and let h be the ray obtained by reflecting the ray AD in the line AC. The ray
h cuts the ray BC in a point E by Lemma 1 which is the inverse point of D with
respect to the circle C in view of Theorem 2.
Note that the circumcircle C of the triangle ADE is orthogonal to the circle C,
since it is invariant under the inversion at the circle C (see Figure 7).
References
[1] H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry revisited, Random House, New York, 1967.
[2] T. L. Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, 3 volumes, Dover reprint, 1956.
[3] E. W. Weisstein, Inverse Points, MathWorld – A Wolfram Web Resource,
http://mathworld.wolfram.com/InversePoints.html
Surajit Dutta: Hatgobindapur, Bardhaman, West-Bengal , Post-Code: 713407, India
E-mail address: surajitdutta53@gmail.com
Abstract. In this paper we prove a simple property of isosceles triangles and give two applications: construction of third proportional line segments and construction of the inverse point with respect to a circle.
1. Introduction
Here we give an interesting property of isosceles triangles. It is known that if
a and b are two given line segments, then their third proportional line segment c
can be constructed geometrically; see [2, VI.11]. We can more easily construct
the third proportional line segment by using the simple geometric property of the
isosceles triangles. Two points A and B are inverse points with respect to the
inversion circle with center O and radius r, if OA • OB = r2; see [3]. We can
construct the inverse point with respect to a circle by using the same property ofthe isosceles triangle.
2. The property
Lemma 1. Let ABC be an isosceles triangle with AB = BC. Let D be a point
on the ray BC and let h be the ray obtained by reflecting the ray AD in the line
AC. Then the ray h cuts the ray BC in a point E which lies outside the segment
BC if the point D lies inside this segment (see Figure 1) and inside the segment BC if the point D lies outside (see Figure 2).
Proof. For Figure 1, let k denote the ray which is the part of the ray BC outside the segment BC. Then,
Publication Date: September 9, 2014. Communicating Editor: Rudolf Fritsch.
The author would like to thank Professor Rudolf Fritsch and an anonymous referee for their helpin the preparation of this paper and for their suggestions.
The second equality holds since the triangle ABC is isosceles, the third by reflection, and the fourth since D is an interior point of the segmentBC. Now accordingto Euclid’s fifth postulate the rays k and h meet in a point E. By the properties of
reflection it is obvious that this intersection point E must lie on the ray BC outsidethe segment BC
For Figure 2, ∠(h, AC) = ∠CAD < ∠ACB = ∠BAC. The first equality holds by reflection, the inequality by the Exterior Angle Theorem, the second
equality since the triangle ABC is isosceles. Thus, the ray h runs first within the
triangle ABC and meets the side BC in an interior point E.
Theorem 2. If ABC is an isosceles triangle and points D, E are given as in
Lemma 1, then BC2 = BD•BE, i.e., BC is the geometric mean of BD and BE
Proof. Firstly, we assume the point D inside the segment BC. The triangles ABD
and EBA share the angle at vertex B. Now consider the angle sums of the triangles
ABC and ABD.
∠ABC +∠BCA+∠CAB = π,
∠ABD +∠BDA+∠DAB = π.
Note, that ∠CAB = ∠CAD +∠DAB. Thus, comparison of the two angle sums
yields ∠BDA = ∠BCA + ∠CAD. But ∠BCA = ∠CAB since the triangle
ABC is isosceles and ∠CAD = ∠EAC by reflection. Thus,
∠BDA = ∠CAB +∠EAC = ∠EAB.
Therefore the triangles ABD and EBA are inversely similar, and
BC : BD = AB : BD = BE : BA = BE : BC.
From this, BC2 = BD •BE.
Secondly, if the point D lies outside the segment BC then interchanging the roles of the points D and E in the previous argument yields the same result.
3. Applications
3.1. Construction of third proportional line segments. Let a and b be the lengths
of two line segments, and we have to draw a line segment of length c such that the
square of b equals the product of a and c
For this, construct an isosceles triangle ABC with AB = BC = b (see Figures
3 and 4). Let D be a point on the ray BC such that BD = a and let h be the line
A simple property of isosceles triangles with applications
obtained by reflecting the ray AD in the line AC. By Lemma 1 the ray h cuts the
ray BC in a point E. Theorem 2 implies BE = c.
3.2. Construction of the inverse point with respect to a circle. Consider a circle C
with center B and D a point which may lies inside or outside of the circle C. In
both cases we can follow the same steps to construct the inverse point of D with
respect to the circle C, a case distinction as in the usual treatments, see for example
[1, pp.108–109], is not needed.
Take the intersection point C of the ray BD with the circle C, see Figures 5 and
6. Connect the point C with an arbitrary point A on the circle C (different from
C) and let h be the ray obtained by reflecting the ray AD in the line AC. The ray
h cuts the ray BC in a point E by Lemma 1 which is the inverse point of D with
respect to the circle C in view of Theorem 2.
Note that the circumcircle C of the triangle ADE is orthogonal to the circle C,
since it is invariant under the inversion at the circle C (see Figure 7).
References
[1] H. S. M. Coxeter and S. L. Greitzer, Geometry revisited, Random House, New York, 1967.
[2] T. L. Heath, The Thirteen Books of Euclid’s Elements, 3 volumes, Dover reprint, 1956.
[3] E. W. Weisstein, Inverse Points, MathWorld – A Wolfram Web Resource,
http://mathworld.wolfram.com/InversePoints.html
Surajit Dutta: Hatgobindapur, Bardhaman, West-Bengal , Post-Code: 713407, India
E-mail address: surajitdutta53@gmail.com
0/5000
เรื่องคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วกับโปรแกรมประยุกต์บทคัดย่อ ในเอกสารนี้ เราพิสูจน์เรื่องคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และให้โปรแกรมประยุกต์สอง: ก่อสร้างสามบรรทัดสัดส่วนและสร้างจุดผกผันกับวงกลม1. บทนำที่นี่เราให้ลักษณะน่าสนใจของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เป็นที่รู้จักกันที่ถ้าตัว และ b คือ เส้นกำหนดเซ็กเมนต์ที่สอง แล้วสัดส่วนของสามเส้น c เซ็กเมนต์สามารถสร้าง geometrically ดู [2, VI.11] เราสามารถสร้างได้ง่ายขึ้นเซ็กเมนต์สัดส่วนบรรทัดที่สาม โดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตอย่างง่ายของการสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สองจุด A และ B มีจุดผกผันกับ respect เพื่อกลับวงกลมศูนย์กลาง O และรัศมี r ถ้า OA • OB = r2 ดู [3] เราสามารถสร้างจุดผกผันกับวงกลม โดยใช้คุณสมบัติเดียวกันของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว2. คุณสมบัติจับมือ 1 ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ มี AB = BC ให้ D เป็นจุดรังสี BC และให้ h เป็นรังสีที่ได้รับ โดย reflecting เรย์โฆษณาในรายการAC แล้ว h เรย์ตัดรังสี BC ใน E จุดซึ่งอยู่นอกเซ็กเมนต์BC ถ้า D จุดอยู่ภายในเซกเมนต์นี้ (ดูรูปที่ 1) และภายในเซ็กเมนต์ BC ถ้าจุด D อยู่ภายนอก (ดูรูปที่ 2)หลักฐานการ ในรูปที่ 1 ให้ k แสดงเรย์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของรังสี BC นอกส่วน BC แล้ววันเผยแพร่: 9 กันยายน 2014 บรรณาธิการสื่อสาร: รูดอล์ฟ Fritschผู้เขียนอยากจะขอขอบคุณศาสตราจารย์รูดอล์ฟ Fritsch และกรรมการผู้ตัดสินที่ไม่ระบุชื่อ สำหรับการ helpin การจัดทำเอกสารนี้ และ คำแนะนำของพวกเขาถือความเสมอภาคที่สองเนื่องจากหน้าจั่วทรงสามเหลี่ยม ABC สาม โดย reflection และสี่เนื่องจาก D เป็นจุดภายในของ segmentBC ตอนนี้ ตาม postulate fifth ของยุคลิด รังสี k และ h ตามในอีจุด โดยคุณสมบัติของreflection เป็นที่ชัดเจนว่า อีจุดแยกนี้ต้องตะแคงเรย์เมนต์ outsidethe BC BCสำหรับรูปที่ 2 ∠ (h, AC) = ∠CAD < ∠ACB = ∠BAC มีความเสมอภาค first โดย reflection อสมการ โดยทฤษฎีบทมุมภายนอก ที่สองความเสมอภาคเนื่องจาก ABC รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วทรง ดังนั้น h เรย์รัน first ภายในสามเหลี่ยม ABC และตรงกับด้าน BC ใน E. การจุดภายในทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วและจุด D, E จะได้รับในจับมือ 1 แล้ว BC2 = BD•BE เช่น BC มีเรขาคณิตของ BD และจะหลักฐานการ ประการแรก เราสมมติ D จุดภายในเซ็กเมนต์ BC สามเหลี่ยม ABDและ EBA แบ่งมุมที่จุดเกิด พิจารณาผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมในตอนนี้ABC และ ABD∠ABC + ∠BCA + ∠CAB =Π∠ABD + ∠BDA + ∠DAB =Πหมายเหตุ ที่ ∠CAB = ∠CAD + ∠DAB ดังนั้น การเปรียบเทียบผลสองมุมทำให้ ∠BDA = ∠BCA + ∠CAD แต่ ∠BCA = ∠CAB ตั้งแต่สามเหลี่ยมABC เป็นหน้าจั่วทรง และ ∠CAD = ∠EAC โดย reflection ดังนั้น∠BDA = ∠CAB + ∠EAC = ∠EABดังนั้น สามเหลี่ยม ABD และ EBA จะคล้าย inversely และBC: BD = AB: BD =สามารถ: BA =สามารถ: BCจากนี้ BC2 = BD •BEประการที่สอง ถ้า D จุดอยู่ภายนอก ส่วน BC interchanging บทบาทของจุด D และ E ในอาร์กิวเมนต์ก่อนหน้านี้แล้ว ทำให้ผลลัพธ์เดียวกัน3. โปรแกรมประยุกต์3.1 การก่อสร้างของส่วนสัดส่วนบรรทัดที่สาม ให้เป็น และ b เป็นความยาวสองบรรทัด เซ็กเมนต์ และเราต้องวาดบรรทัดเซ็กเมนต์ของ c ความยาวที่สแควร์ของ b เท่ากับผลคูณของ a และ cสำหรับนี้ สร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC มี AB = BC = b (ดูตัวเลข3 และ 4) ให้ D เป็นจุดบนรังสี BC ดังกล่าวว่า BD =เป็นและให้ h บรรทัดเรื่องคุณสมบัติของสามเหลี่ยมหน้าจั่วกับโปรแกรมประยุกต์รับ โดย reflecting เรย์โฆษณาในเส้น AC โดยจับมือ 1 h เรย์ตัดจะหมายถึงรังสี BC ในจุด E. ทฤษฎีบท 2 = c3.2 การสร้างจุดผกผันกับวงกลม พิจารณาวงกลม Cด้วย B และ D เป็นจุดที่อาจอยู่ภายใน หรือภาย นอกวงกลม C. ในทั้งสองกรณีที่เราสามารถทำตามขั้นตอนเดียวกันเสกผกผันจุดของดีด้วยกับวงกลม C แตกต่างกรณีในรักษาปกติ ดูตัวอย่าง[pp.108–109 1 ], ไม่จำเป็นใช้ C จุดแยกของเรย์ BD กับวงกลม C เห็นเลข 5 และ6. C จุดเชื่อมต่อ ด้วยการกำหนดจุดบนวงกลม C (แตกต่างจากC) แล้วให้ h เป็นรังสีได้รับ โดย reflecting เรย์โฆษณาในเส้น AC เรย์ตัด h จุดรังสี BC ใน E จุดจับมือ 1 ซึ่งเป็นค่าผกผันของด้วยเคารพให้วงกลม C มุมมองทฤษฎีบท 2โปรดสังเกตว่า circumcircle C ของสามเหลี่ยม ADE orthogonal กับวงกลม Cเนื่องจากเป็นภาษาใต้กลับที่วงกลม C (ดูรูปที่ 7)การอ้างอิง[1] H. S. M. Coxeter และ S. L. Greitzer เรขาคณิต revisited แรนดอมเฮาส์ นิวยอร์ก ค.ศ. 1967[2] ต. L. ฮีธ หนังสือสิบสามลักษณะขององค์ประกอบของยุคลิด ปริมาณ 3 โดเวอร์พิมพ์ 1956[3] E. ปริมาณ Weisstein จุดผกผัน แมธ เวิลด์ – ทรัพยากรบนเว็บ Wolframhttp://mathworld.wolfram.com/InversePoints.htmlSurajit Dutta: Hatgobindapur, Bardhaman ตะวันตกเบงกอล รหัสโพสต์: 713407 อินเดียที่อยู่อีเมล: surajitdutta53@gmail.com
การแปล กรุณารอสักครู่..
ทรัพย์สินง่ายของจั่วสามเหลี่ยมที่มีการประยุกต์ใช้งานบทคัดย่อ ในบทความนี้เราพิสูจน์ได้ว่าสถานที่ให้บริการที่เรียบง่ายของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและให้สองโปรแกรม: การก่อสร้างของส่วนของเส้นตรงตามสัดส่วนที่สามและการก่อสร้างจุดผกผันที่เกี่ยวกับวงกลม. 1 การแนะนำที่นี่เราให้คุณสมบัติที่น่าสนใจของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เป็นที่รู้กันว่าถ้าa และ b เป็นสองส่วนได้รับสายแล้วสายสัดส่วนส่วนที่สามของพวกเขาคสามารถสร้างเรขาคณิต; ดู [2 VI.11] เราได้ง่ายขึ้นสามารถสร้างส่วนบรรทัดสัดส่วนที่สามโดยใช้ทรัพย์สินทางเรขาคณิตที่เรียบง่ายของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สองจุด A และ B เป็นจุดผกผันที่เกี่ยวกับวงกลมผกผันกับศูนย์O และรัศมี r ถ้าโอ• OB = r2; เห็น [3] เราสามารถสร้างจุดผกผันที่เกี่ยวกับวงกลมโดยใช้สถานที่เดียวกัน ofthe สามเหลี่ยมหน้าจั่ว. 2 สถานที่ให้บริการแทรก 1. ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มี AB = BC ให้ D เป็นจุดบนBC เรย์และปล่อยให้เอชจะได้รับโดยเรย์อีกครั้งชั้น ecting โฆษณาเรย์ในสายAC แล้วเอชเรย์เรย์ตัด BC ใน E จุดที่อยู่นอกกลุ่มBC D ถ้าจุดอยู่ภายในส่วนนี้ (ดูรูปที่ 1) และภายในส่วน BC D ถ้าจุดอยู่นอก (ดูรูปที่ 2). หลักฐาน สำหรับรูปที่ 1 แสดงให้ k เรย์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคริสตศักราชเรย์ที่อยู่ด้านนอกส่วนก่อนคริสตกาล จากนั้นวันที่ตีพิมพ์: 9 กันยายน 2014 การสื่อสารบรรณาธิการ:. รูดอล์ฟ Fritsch ผู้เขียนอยากจะขอขอบคุณศาสตราจารย์ Fritsch รูดอล์ฟและผู้ตัดสินที่ไม่ระบุชื่อสำหรับ Helpin ของพวกเขาเตรียมความพร้อมของการวิจัยนี้และข้อเสนอแนะของพวกเขา. ความเสมอภาคที่สองถือตั้งแต่สามเหลี่ยม ABC คือหน้าจั่วที่สามโดยการ ection ชั้นและสี่ตั้งแต่ D เป็นจุดภายใน segmentBC ตอนนี้ accordingto FTH สายยุคลิดยืนยันรังสี k h และพบในจุดอีโดยคุณสมบัติของอีกชั้นection เป็นที่ชัดเจนว่า E จุดตัดนี้จะต้องอยู่บน ray BC outsidethe ส่วนก่อนคริสตกาลสำหรับรูปที่2 ∠ (h, AC) = ∠ CAD <∠ACB = ∠BAC ความเสมอภาคสายแรกโดยการถือชั้น ection ความไม่เท่าเทียมกันโดยมุมภายนอกทฤษฎีบทที่สองความเท่าเทียมกันตั้งแต่สามเหลี่ยมABC เป็นหน้าจั่ว ดังนั้นเอชเรย์วิ่งสายแรกภายในสามเหลี่ยม ABC และตรงตามด้าน BC ในจุดภายในอีทฤษฎีบท2. ถ้า ABC เป็นหน้าจั่วสามเหลี่ยมและจุด D, E จะได้รับเช่นเดียวกับในบทแทรก1 แล้ว BC2 = BD •จะ, เช่นปีก่อนคริสตกาลเป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ BD และ พ.ศ. หลักฐาน ประการแรกเราคิด D จุดที่อยู่ภายในส่วนที่คริสตศักราช สามเหลี่ยม ABD และ EBA แบ่งปันมุมที่จุดสุดยอดบีตอนนี้พิจารณาผลบวกมุมของรูปสามเหลี่ยมABC และ ABD. ∠ABC + + ∠CAB∠BCA = π, ∠ABD∠BDA + + ∠DAB = π. หมายเหตุที่∠CAB = ∠CAD + ∠DAB ดังนั้นการเปรียบเทียบของทั้งสองมุมบวกอัตราผลตอบแทน∠BDA = ∠BCA + ∠CAD แต่∠BCA = ∠CABตั้งแต่สามเหลี่ยมABC เป็นหน้าจั่วและ∠CAD = ∠EACโดยอีกชั้น ection ดังนั้น∠BDA = ∠CAB + ∠EAC = ∠EAB. ดังนั้นสามเหลี่ยม ABD และ EBA จะคล้ายกันผกผันและBC: BD = AB: BD = พ.ศ. : BA = พ.ศ. . BC จากนี้ BC2 = BD • พ.ศ. ประการที่สองหาก D จุดอยู่นอกส่วน BC แล้วสับเปลี่ยนบทบาทในจุด D และ E ในการโต้เถียงที่ผ่านมาอัตราผลตอบแทนผลเดียวกัน. 3 การประยุกต์ใช้งาน3.1 การก่อสร้างส่วนของเส้นตรงตามสัดส่วนที่สาม ให้ a และ b เป็นความยาวของทั้งสองกลุ่มสายและเรามีการวาดเส้นของความยาวคดังกล่าวว่าเป็นตารางขเท่ากับผลิตภัณฑ์ของและคสำหรับเรื่องนี้สร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วABC กับ AB = BC = b (ดูรูปที่3 และ 4) ให้ D เป็นจุดบนเรย์บีซีดังกล่าวที่ BD = a และปล่อยให้เอชจะเป็นสายที่ให้บริการที่เรียบง่ายของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วกับการใช้งานได้โดยการโฆษณาชั้นecting เรย์ในสายกระแสสลับ โดยบทแทรก 1 ชั่วโมงเรย์ตัดBC เรย์ในจุดอีทฤษฎีบท 2 หมายถึง พ.ศ. = c. 3.2 การก่อสร้างจุดผกผันที่เกี่ยวกับวงกลม พิจารณาวงกลม C กับศูนย์ b และ d จุดซึ่งอาจอยู่ภายในหรือภายนอกของวงกลมเซลเซียสในทั้งสองกรณีเราสามารถทำตามขั้นตอนเดียวกันเพื่อสร้างจุดผกผันของD ด้วยความเคารพกับC วงกลมที่ความแตกต่างเช่นเดียวกับในกรณีที่ การรักษาปกติดูตัวอย่าง[1, pp.108-109] ไม่จำเป็น. ใช้จุดตัดของรังสี C BD ที่มี C วงกลมให้ดูรูปที่ 5 และ6 C เชื่อมต่อจุดที่มีจุด A โดยพลการในวงกลม C (แตกต่างจากC) และปล่อยให้เอชเรย์จะได้รับโดยการโฆษณาชั้น ecting เรย์ในสายกระแสสลับ เรย์ตัดเอชบีซีเรย์ใน E จุดโดยบทแทรก 1 ซึ่งเป็นจุดผกผันของ D ด้วยความเคารพต่อวงกลมC ในมุมมองของทฤษฎีบทที่ 2 ทราบว่า C circumcircle ของรูปสามเหลี่ยม ADE เป็นมุมฉากกับ C วงกลมตั้งแต่มันเป็นสิ่งที่คงอยู่ภายใต้การผกผันที่วงกลม C (ดูรูปที่ 7). อ้างอิง[1] HSM Coxeter และ SL Greitzer เรขาคณิตมาเยือนบ้านสุ่มนิวยอร์ก 1967 [2] TL Heath ที่สิบสามหนังสือของ Euclid 's องค์ประกอบ, 3 เล่มโดเวอร์พิมพ์ 1956 [3] EW Weisstein จุดผกผัน, แม ธ เวิลด์ - ทรัพยากรเว็บวุลแฟรม, http://mathworld.wolfram.com/InversePoints.html Surajit Dutta: Hatgobindapur, Bardhaman, เวสต์เบงกอลโพสต์ รหัสสินค้า: 713407 อินเดียอีเมล์: surajitdutta53@gmail.com
การแปล กรุณารอสักครู่..
ง่ายกับการใช้งานคุณสมบัติของหน้าจั่วสามเหลี่ยม
นามธรรม ในกระดาษนี้เราพิสูจน์คุณสมบัติง่ายๆของหน้าจั่วสามเหลี่ยมและให้สองโปรแกรม : สร้างบรรทัดที่สามสัดส่วนกลุ่มและสร้างจุดผกผันตามวงกลม .
1 บทนำ
ที่นี่เราให้คุณสมบัติที่น่าสนใจของหน้าจั่วสามเหลี่ยม มันเป็นที่รู้จักกันว่าถ้า
A และ B เป็นส่วนของเส้นตรงสองให้แล้ว 3 สัดส่วนส่วนของเส้นตรง c
สามารถสร้างทางเรขาคณิต เห็น vi.11 [ 2 ] เราสามารถสร้าง
3 เส้นตรงตามสัดส่วนโดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่เรียบง่ายของ
สามเหลี่ยมหน้าจั่ว . สองจุด A และ B เป็นจุดที่ผกผันกับการเคารพ
O และรัศมีวงกลมที่ผกผันกับศูนย์บริการ R ถ้า OA OB = R2 ; ดู [ 3 ]เราสามารถ
สร้างจุดผกผันตามวงกลมโดยใช้คุณสมบัติเดียวกันของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว .
2 คุณสมบัติ
แทรก 1 ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมี AB = BC ให้ D เป็นจุดบน เรย์
BC และปล่อยให้ H เป็นเรย์ได้อีกครั้งfl ecting เรย์โฆษณาในบรรทัด
. H เรย์แล้วเรย์ตัด BC ในจุด E ซึ่งตั้งอยู่นอกส่วน
พ.ศ. ถ้าจุด D อยู่ในส่วนนี้ ( ดูรูปที่ 1 ) และภายในส่วน BC ถ้าจุด D อยู่ด้านนอก ( ดูรูปที่ 2 ) .
หลักฐาน สำหรับรูปที่ 1 ให้ K แทนเรย์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ เรย์ พ.ศ. นอกส่วน BC แล้ว
ประกาศวันที่ : 9 กันยายน 2014 การแก้ไข : รูดอล์ฟฟริช .
ผู้เขียนขอขอบคุณ ศาสตราจารย์รูดอล์ฟฟริชและผู้ตัดสินที่ไม่ระบุชื่อเพื่อช่วยเตรียมกระดาษและข้อเสนอแนะของพวกเขา .
ความเสมอภาคที่สองถือตั้งแต่สามเหลี่ยม ABC เป็นหน้าจั่ว ที่สาม โดยจะfl ection และที่สี่ตั้งแต่ D เป็นจุดภายในของ segmentbc . ตอนนี้ตาม fth ยูคลิดจึงทึกทักเอาว่ารังสี K H พบในจุด Eโดยคุณสมบัติของ
Re fl ection เห็นได้ชัดว่าจุดตัด E ต้องนอนบนเรย์ก่อนคริสต์ศักราชในส่วน BC
สำหรับรูปที่ 2 ∠ ( H , AC ) = ∠ CAD < ∠ ACB = ∠บั๊ก . จึงถือเป็นfl RST ความเสมอภาคโดย ection , ความไม่เท่าเทียมกันโดยทฤษฎีบทมุมภายนอก , ที่สอง
ความเสมอภาคตั้งแต่สามเหลี่ยม ABC เป็นหน้าจั่ว . ดังนั้นเรย์จึงตัดสินใจเดินทางภายใน
H วิ่งสามเหลี่ยม ABC และตรงกับด้าน BC ในจุดภายใน E .
ทฤษฎีบท 2 ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วและจุด D , E จะได้รับใน
แทรก 1 แล้ว bc2 = BD - เป็นเช่น BC เป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ BD และ
หลักฐาน ประการแรก เราถือว่า จุด D ในส่วน BC สามเหลี่ยม ABD
EBA แบ่งปันมุมที่จุดยอดและ B . ตอนนี้พิจารณามุมผลบวกของสามเหลี่ยม ABC และอับดุล
.∠ ABC BCA ∠∠แท็กซี่ = π
∠ , อับดุล∠ BDA ∠ป้าย = π .
ทราบว่า∠แท็กซี่ = ∠ CAD ∠ป้าย . ดังนั้น การเปรียบเทียบของทั้งสองมุมผลบวก
ผลผลิต∠ BDA = ∠ BCA ∠ CAD แต่∠ BCA = ∠ cab ตั้งแต่ ABC เป็นหน้าจั่วสามเหลี่ยม
∠ EAC และ∠ CAD = โดย Re fl ection . ดังนั้น ,
∠ BDA = ∠แท็กซี่∠ EAC = ∠ eab .
ดังนั้นสามเหลี่ยม ABD และ ระบบจะคล้ายกันจาก BD = AB และ BC :
: b : BD = =
: บีซี จากนี้bc2 = BD - .
ประการที่สองหากจุด D อยู่ข้างนอกส่วน BC แล้ว interchanging บทบาทของจุด D และ E ในอาร์กิวเมนต์ก่อนหน้าผลผลิตผลเดียวกัน
3 โปรแกรม
3.1 . การก่อสร้างของกลุ่ม 3 เส้น สัดส่วน ให้ A และ B เป็นความยาว
2 ส่วนสาย และเราต้องวาดเส้นส่วนของความยาว C เช่น
ตารางของ b มีค่าเท่ากับผลคูณของ A และ C
นี้สร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC กับ AB = BC = B ( เห็นตัวเลข
3 และ 4 ) ให้ D เป็นจุดบน เรย์ พ.ศ. เช่น BD = และปล่อยให้ H เป็นเส้น
คุณสมบัติง่ายๆของหน้าจั่วสามเหลี่ยมที่มีการใช้งานได้อีก
fl ecting เรย์โฆษณาในบรรทัดกระแสสลับโดยแทรก 1 Ray H ตัด
เรย์บีซีในจุดเช่นทฤษฎีบท 2 หมายถึง = C
2 .สร้างจุดผกผันเกี่ยวกับวงกลม พิจารณาวงกลม C
กับศูนย์ B และ D จุด ซึ่งอาจจะอยู่ภายในหรือนอกวงกลม C ใน
ทั้งสองกรณีเราสามารถทำตามขั้นตอนเดียวกันเพื่อสร้างจุดผกผันกับ
เคารพวงกลม C กรณีความแตกต่างเป็นในการรักษาปกติ เห็นตัวอย่าง
[ 1 pp.108 – 109 ] ,
ไม่จำเป็นรับแยกจุด C ของเรย์ BD ที่มีวงกลม C , เห็นตัวเลข 5
6 เชื่อมต่อจุด C มีหนึ่งจุดบนวงกลม C ( แตกต่างจาก
c ) และปล่อยให้เขาถูกเรย์ได้อีกครั้งfl ecting เรย์โฆษณาในบรรทัด . เรย์
H ตัดเรย์บีซีในจุด E โดยการจับมือ 1 ซึ่งเป็นจุดที่ผกผันกับ
ไหว้พระ วงกลม C ในมุมมองของทฤษฎีบท 2 .
โปรดทราบว่า circumcircle C ของสามเหลี่ยม ADE ตั้งฉากกับวงกลม C
เนื่องจากเป็นค่าคงที่ในการผกผันที่วงกลม C ( ดูรูปที่ 7 )
อ้างอิง
[ 1 ] เอชเอส เอ็ม เอส แอล greitzer Coxeter และรูปทรงเรขาคณิตมาสุ่มบ้าน , New York , 2510 .
[ 2 ] T . L . Heath , สิบสามเล่ม องค์ประกอบของยูคลิด 3 เล่ม โดเวอร์ พิมพ์ ปี 1956
[ 3 ] E . W . weisstein ผกผันจุดแมธเวิลด์ ( Wolfram เว็บทรัพยากร
http : / / แมธเวิลด์ . วุลแฟรม . com / inversepoints . html
อ อาทิ : hatgobindapur bardhaman , West Bengal , รหัส , โพส : 713407 อีเมลอินเดีย
: surajitdutta53 @ gmail . com
นามธรรม ในกระดาษนี้เราพิสูจน์คุณสมบัติง่ายๆของหน้าจั่วสามเหลี่ยมและให้สองโปรแกรม : สร้างบรรทัดที่สามสัดส่วนกลุ่มและสร้างจุดผกผันตามวงกลม .
1 บทนำ
ที่นี่เราให้คุณสมบัติที่น่าสนใจของหน้าจั่วสามเหลี่ยม มันเป็นที่รู้จักกันว่าถ้า
A และ B เป็นส่วนของเส้นตรงสองให้แล้ว 3 สัดส่วนส่วนของเส้นตรง c
สามารถสร้างทางเรขาคณิต เห็น vi.11 [ 2 ] เราสามารถสร้าง
3 เส้นตรงตามสัดส่วนโดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่เรียบง่ายของ
สามเหลี่ยมหน้าจั่ว . สองจุด A และ B เป็นจุดที่ผกผันกับการเคารพ
O และรัศมีวงกลมที่ผกผันกับศูนย์บริการ R ถ้า OA OB = R2 ; ดู [ 3 ]เราสามารถ
สร้างจุดผกผันตามวงกลมโดยใช้คุณสมบัติเดียวกันของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว .
2 คุณสมบัติ
แทรก 1 ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมี AB = BC ให้ D เป็นจุดบน เรย์
BC และปล่อยให้ H เป็นเรย์ได้อีกครั้งfl ecting เรย์โฆษณาในบรรทัด
. H เรย์แล้วเรย์ตัด BC ในจุด E ซึ่งตั้งอยู่นอกส่วน
พ.ศ. ถ้าจุด D อยู่ในส่วนนี้ ( ดูรูปที่ 1 ) และภายในส่วน BC ถ้าจุด D อยู่ด้านนอก ( ดูรูปที่ 2 ) .
หลักฐาน สำหรับรูปที่ 1 ให้ K แทนเรย์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของ เรย์ พ.ศ. นอกส่วน BC แล้ว
ประกาศวันที่ : 9 กันยายน 2014 การแก้ไข : รูดอล์ฟฟริช .
ผู้เขียนขอขอบคุณ ศาสตราจารย์รูดอล์ฟฟริชและผู้ตัดสินที่ไม่ระบุชื่อเพื่อช่วยเตรียมกระดาษและข้อเสนอแนะของพวกเขา .
ความเสมอภาคที่สองถือตั้งแต่สามเหลี่ยม ABC เป็นหน้าจั่ว ที่สาม โดยจะfl ection และที่สี่ตั้งแต่ D เป็นจุดภายในของ segmentbc . ตอนนี้ตาม fth ยูคลิดจึงทึกทักเอาว่ารังสี K H พบในจุด Eโดยคุณสมบัติของ
Re fl ection เห็นได้ชัดว่าจุดตัด E ต้องนอนบนเรย์ก่อนคริสต์ศักราชในส่วน BC
สำหรับรูปที่ 2 ∠ ( H , AC ) = ∠ CAD < ∠ ACB = ∠บั๊ก . จึงถือเป็นfl RST ความเสมอภาคโดย ection , ความไม่เท่าเทียมกันโดยทฤษฎีบทมุมภายนอก , ที่สอง
ความเสมอภาคตั้งแต่สามเหลี่ยม ABC เป็นหน้าจั่ว . ดังนั้นเรย์จึงตัดสินใจเดินทางภายใน
H วิ่งสามเหลี่ยม ABC และตรงกับด้าน BC ในจุดภายใน E .
ทฤษฎีบท 2 ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วและจุด D , E จะได้รับใน
แทรก 1 แล้ว bc2 = BD - เป็นเช่น BC เป็นค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ BD และ
หลักฐาน ประการแรก เราถือว่า จุด D ในส่วน BC สามเหลี่ยม ABD
EBA แบ่งปันมุมที่จุดยอดและ B . ตอนนี้พิจารณามุมผลบวกของสามเหลี่ยม ABC และอับดุล
.∠ ABC BCA ∠∠แท็กซี่ = π
∠ , อับดุล∠ BDA ∠ป้าย = π .
ทราบว่า∠แท็กซี่ = ∠ CAD ∠ป้าย . ดังนั้น การเปรียบเทียบของทั้งสองมุมผลบวก
ผลผลิต∠ BDA = ∠ BCA ∠ CAD แต่∠ BCA = ∠ cab ตั้งแต่ ABC เป็นหน้าจั่วสามเหลี่ยม
∠ EAC และ∠ CAD = โดย Re fl ection . ดังนั้น ,
∠ BDA = ∠แท็กซี่∠ EAC = ∠ eab .
ดังนั้นสามเหลี่ยม ABD และ ระบบจะคล้ายกันจาก BD = AB และ BC :
: b : BD = =
: บีซี จากนี้bc2 = BD - .
ประการที่สองหากจุด D อยู่ข้างนอกส่วน BC แล้ว interchanging บทบาทของจุด D และ E ในอาร์กิวเมนต์ก่อนหน้าผลผลิตผลเดียวกัน
3 โปรแกรม
3.1 . การก่อสร้างของกลุ่ม 3 เส้น สัดส่วน ให้ A และ B เป็นความยาว
2 ส่วนสาย และเราต้องวาดเส้นส่วนของความยาว C เช่น
ตารางของ b มีค่าเท่ากับผลคูณของ A และ C
นี้สร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC กับ AB = BC = B ( เห็นตัวเลข
3 และ 4 ) ให้ D เป็นจุดบน เรย์ พ.ศ. เช่น BD = และปล่อยให้ H เป็นเส้น
คุณสมบัติง่ายๆของหน้าจั่วสามเหลี่ยมที่มีการใช้งานได้อีก
fl ecting เรย์โฆษณาในบรรทัดกระแสสลับโดยแทรก 1 Ray H ตัด
เรย์บีซีในจุดเช่นทฤษฎีบท 2 หมายถึง = C
2 .สร้างจุดผกผันเกี่ยวกับวงกลม พิจารณาวงกลม C
กับศูนย์ B และ D จุด ซึ่งอาจจะอยู่ภายในหรือนอกวงกลม C ใน
ทั้งสองกรณีเราสามารถทำตามขั้นตอนเดียวกันเพื่อสร้างจุดผกผันกับ
เคารพวงกลม C กรณีความแตกต่างเป็นในการรักษาปกติ เห็นตัวอย่าง
[ 1 pp.108 – 109 ] ,
ไม่จำเป็นรับแยกจุด C ของเรย์ BD ที่มีวงกลม C , เห็นตัวเลข 5
6 เชื่อมต่อจุด C มีหนึ่งจุดบนวงกลม C ( แตกต่างจาก
c ) และปล่อยให้เขาถูกเรย์ได้อีกครั้งfl ecting เรย์โฆษณาในบรรทัด . เรย์
H ตัดเรย์บีซีในจุด E โดยการจับมือ 1 ซึ่งเป็นจุดที่ผกผันกับ
ไหว้พระ วงกลม C ในมุมมองของทฤษฎีบท 2 .
โปรดทราบว่า circumcircle C ของสามเหลี่ยม ADE ตั้งฉากกับวงกลม C
เนื่องจากเป็นค่าคงที่ในการผกผันที่วงกลม C ( ดูรูปที่ 7 )
อ้างอิง
[ 1 ] เอชเอส เอ็ม เอส แอล greitzer Coxeter และรูปทรงเรขาคณิตมาสุ่มบ้าน , New York , 2510 .
[ 2 ] T . L . Heath , สิบสามเล่ม องค์ประกอบของยูคลิด 3 เล่ม โดเวอร์ พิมพ์ ปี 1956
[ 3 ] E . W . weisstein ผกผันจุดแมธเวิลด์ ( Wolfram เว็บทรัพยากร
http : / / แมธเวิลด์ . วุลแฟรม . com / inversepoints . html
อ อาทิ : hatgobindapur bardhaman , West Bengal , รหัส , โพส : 713407 อีเมลอินเดีย
: surajitdutta53 @ gmail . com
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- The girl know that the boy like to harm
- สรุปผลการทดลอง ตอนที่1 กากกาแฟชนิดหยาบมี
- แม่เมาะ
- 그것은 버팔로, 시 나로 바보입니다.
- เจ้าของร่วมกรุณาชำระค่าส่วนกลางโดยวิธีนำ
- before leaving the presentation
- สายพิน
- 87/2 ชั้น 44 - 45 และ 50 อาคารซีอาร์ซี ท
- 支付税给税务部
- จะเข้าไปรับ
- 1.เพื่อให้มีทักษะในการเขียนประวัติย่อที่
- ฉีดยา
- i do
- เบี้ยเลี้ยงรายวัน
- TOTAL
- มีการเพิ่มขึ้นของรายได้ในอัตราที่สูงที่ส
- When you saw me with friends?
- แม่เมาะ
- Ok great
- the next day is the Day of the Dead
- กำลังวิ่งบนลู่วิ่ง
- ฉีดยา
- สรุปผลการทดลอง ตอนที่1 กากกาแฟชนิดหยาบมี
- เต่า
