Example 1.13 Find a series solution

Example 1.13

Find a series solution for the following second order ODE:


u + u = 0. (1.85)
Substituting the series assumption for u(x) and u (x) gives
2a + 6a x + 12a x2 + 20a x3 + 30a x4 + · · ·
2 3 4 5 6
+a + a x + a x2 + a x3 + a x4 + a x5 + · · · = 0, (1.86)
0 1 2 3 4 5

that can be rewritten by
(a + 2a ) + (a + 6a )x + (a + 12a )x2 + (a + 20a )x3
0 2 1 3 2 4 3 5
+(a + 30a )x4 + · · · = 0. (1.87)
4 6

This equation is satisfied only if the coefficient of each power of x vanishes.
This in turn gives the recurrence relation
a0 + 2a2 = 0, a1 + 6a3 = 0,

a2 + 12a4 = 0, a3 + 20a5 = 0, (1.88)
.
.
.
By solving this recurrence relation, we obtain
1 1
a2 = − a0 , a3 = − a1,
2! 3! (1.89)
1 1 1 1
a4 = − a2 = a0 , a5 = − a3 = a1, · · ·
12 4! 20 5!
The solution in a series form is given by
1 2 1 4 1 3 1 5
u(x) = a0 1 − x + x + · · · + a1 x − x + x + · · · , (1.90)
2! 4! 3! 5!
and in closed form by

u(x) = a0 cos x + a1 sin x, (1.91)
where a0 and a1 are constants that will be determined for particular solution
if initial conditions are given.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.13 ตัวอย่าง

หาทางออกชุดสำหรับบทกวีลำดับต่อไปนี้ที่สอง:


uu = 0 (1.85)
แทนสมมติฐานชุดสำหรับ U (x) และ U (x) ให้
2a 6a x 12a 20a x2 x3 x4 30A ···
2 3 4 5 6
aaxa x2 x3 x4 x5 ··· = 0 (1.86)
0 1 2 3 4 5

ที่สามารถเขียนใหม่โดย
(2a) (6a) x (12a) x2 (20a) x3
0 2 1 3 2 4 3 5
(30A) x4 ··· = 0 (1.87)
4
6 สมการนี​​้มีความพึงพอใจเฉพาะในกรณีที่ค่าสัมประสิทธิ์ของการใช้พลังงานของ x แต่ละหายตัวไป
นี้จะช่วยให้ความสัมพันธ์กลับมาอีก
2A2 a0 = 0 a1 6a3 = 0

a2 12a4 = 0 a3 20a5 = 0 (1.88)



โดยการแก้กำเริบญาตินี้เราได้รับ

1 1 a2 = - a0, A3 = - a1,
2! 3! (1.89)
1 1 1 1
a4 = - a2 = a0, a5 = - a3 = a1, ···
12 4 20 5!
การแก้ปัญหาในรูปแบบซีรีส์จะได้รับโดย
1 2 1 4 1 3 1 5
U (x) = a0 1 - xx ··· a1 x - xx ···, (1.90)
2! 4! 3! 5!
และในรูปแบบปิดโดย

U (x) = cos x a0 a1 บาป x, (1.91)
ที่ a0 และ a1 เป็นค่าคงที่จะได้รับการพิจารณาสำหรับการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่ง
ถ้าเงื่อนไขเริ่มต้นจะได้รับ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่าง 1.13

หาโซลูชันชุดสำหรับการต่อไปนี้ที่สองสั่ง ODE:


u u = 0 (1.85)
แทนสมมติฐานชุดสำหรับ you(x) (x) ให้
2a 6a x 12a x 2 20a x 30a 3 x 4 ···
2 3 4 5 6
มี x เป็น 2 x 3 x a x 4 เป็น x 5 ··· = 0, (1.86)
0 1 2 3 4 5

ที่สามารถจิตโดย
(2a) (เป็น 6a) x (เป็น 12a) x 2 (เป็น 20a) x 3
0 2 1 3 2 4 3 5
(เป็น 30a) x 4 ··· = 0 (1.87)
4 6

สมการนี้เป็น satisfied เมื่อ coefficient ของแต่ละพลังงาน x หายไป
ซึ่งจะทำให้ความสัมพันธ์เกิดขึ้น
a0 2a2 = 0, a1 6a3 = 0,

a2 12a4 = 0, a3 20a5 = 0, (1.88)

.
.
โดยแก้ความสัมพันธ์นี้เกิดขึ้น เรารับ
1 1
a2 =− a0, a3 =− a1,
2 3 (1.89)
1 1 1 1
a4 =− a2 = a0, a5 =− a3 = a1, ···
12 4 20 5
การแก้ปัญหาในรูปแบบชุดถูกกำหนดโดย
1 2 1 4 1 3 1 5
u(x) = a0 1 − x x ··· a1 x − x x ··· , (1.90)
2 4 3 5
และปิดใบโดย

u(x) = a0 cos sin x a1 x, (1.91)
ที่ a0 และ a1 มีค่าคงที่จะกำหนดสำหรับโซลูชันเฉพาะ
ถ้ามีกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างเช่น 1.13

ค้นหาโซลูชัน Series สำหรับโคลงสั่งซื้อที่สองต่อไปนี้ U


U = 0 ( 1.85 )
แทนซึ่งเป็นชุดสมมุติฐานสำหรับ U ( X )และ U ( x )ช่วยให้
2 A 6 x 12 x 220 x 330 x 4 ???
23456
ที่ x x 2 x 3 x 4 x 5 ???= 0 ,( 1.86 )
012345

ที่สามารถเขียนซ้ำโดย
(ที่ 2 A )(ที่ 6 a ) x ( 12 ) x 2 (ที่ 20 ) x 3
02132435
( 30 ) x 4 ???= 0 . ( 1.87 )
46

สมการนี้คือ satisfied เท่านั้นหาก coefficient ของพลังงานแต่ละของ X vanishes .
แห่งนี้ในการที่จะช่วยให้ความสัมพันธ์การเกิดซ้ำ
022 = 016 ที่ 3 = 0

212 A 4 = 03205 = 0 ( 1.88 )
)
)
)
โดยการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการเกิดซ้ำนี้เราได้

ที่ 112 = -0 3 = - 12
3 ! ( 1.89 )
1111
ที่ 4 = - 2 = 0 a 5 = 3 A = 1 ???
124 ! 205 !
โซลูชันที่อยู่ในรูปแบบซีรี่ส์ที่มอบให้โดย
12141315
U ( X )= 01 - X / X ??? 1 x - X / X ???( 1.90 )
2 ที่ 4 ! 3 ! 5 !
และอยู่ในรูปแบบปิดโดย

U ( X )= 0 x 1 ผักกาดหวานบาป x ( 1.91 )
ที่ 0 และที่ 1 เป็นสิ่งที่จะได้รับการกำหนดสำหรับโซลูชันเฉพาะ
หากเงื่อนไขครั้งแรกจะได้รับ.