Solving Constrained Flow-Shop Sched

Solving Constrained Flow-Shop Scheduling
Problems with Three Machines
Flow-shop scheduling problem; Transportation time; Weights of jobs;
Optimal sequence.

Introduction
A new method is proposed to obtain an optimal scheduling sequence
for flow-shop scheduling problems involving transportation time, break down time
and weights of jobs (constrained flow-shop scheduling problems) with 3-machines.
The proposed method is very simple and easy to understand and also, provides an
important tool for decision makers when theydesign a scheduling for constrained
flow-shop scheduling problems with 3 machines. The proposed method is illustrated
with help of numerical examples.
to the problem is to find the sequence of jobs on each machine in order to complete
all the jobs on all the machines in the minimum total time provided each job is
processed on machines 1, 2, 3, …, m in that order. The general flow-shop
scheduling problem is NP-hard.

The scheduling problem practically depends upon three important factors
namely, job transportation time which includes loading time, moving time and
unloading time etc., relative importance ofa job over another job and breakdown
machine time (due to the failure of electric current, the non-supply of raw material
or other technicalinterruptions) . These three factors were separately studied by
many researchers [ 1-3, 5-8]. Chandramouli [4] proposed a heuristic algorithm for
flow-shop scheduling problem with 3-machinesinvolving transportation time, break
down time and weights of jobs to find an optimal or near optimal sequence.

In this paper, we propose a new method for flow-shop scheduling problems
involving transportation time, break down time and weights of jobs ( constrained
flow-shop scheduling problems) with 3-machines to obtain an optimal sequence.
The proposed method is very simple and easy to understand and also, provides an
important tool for decision makers when they design a schedule for constrained
flow-shop scheduling problems with 3-macines. With the help of the numerical
examples, the proposed method is illustrated.

Machine flow-shop problem
Consider the following constrained flow-shop problem with 3-machines
which can be stated as follows:
(a) Let job - n be processed through three machines C and B A, in the order
ABC.
(b) Let ‘i’ denote the job in S where S is an arbitrary sequence.
(c) All jobs are available for processing at time zero.
(d) Let each job be completed through the same production stage, that is, ABC,
in other words, passing is not allowed in the flow shop.
(e) Let i i i C and B , A denote the processing time of job ‘i’ on the machine
C and B A, respectively.
(f) Let i i
g and t denote the transportation time of job ‘i’ from B A to and
from C to B respectively.
(g) Let job ‘i’ be assigned with a weight i waccording to its relative importance
for performance in the given sequence.
(h) The performance measure studied in weighted mean flow time defined by
(i) Let the break down interval ) , ( b a is already known to us , that is,
deterministic nature. The break down interval length a b− which is known.
Then, our aim is to find out the optimal sequence of jobs so as to minimize the
total elapsed time.
The above stated problem (P) in the tabular form may be stated as follows:

Let us assume that the problem (P) satisfies any one of the following
structural conditions involving the processing time and transportation time of jobs
hold.
Structural conditions:
1. } {
i A Minimum ≥ } {
i i B t Maximum +
or } {
i i
g C Minimum + ≥ } {
i i B t Maximum + .
2. } {
i i
t A Minimum + ≥ } {
i B Maximum
or } {
i i g C Minimum + ≥ } {
i B Maximum .
3. } {
i i
t A Minimum + ≥} {
i i g B Maximum +
or } {
i C Minimum ≥} {
i i
g B Maximum + .
4. } {
i A Minimum ≥ } {
i i i
g B t Maximum + +
or } {
i C Minimum ≥ } {
i i i
g B t Maximum + + .

New proposed method
We, now introduce a new method for finding an optimal sequence to the
problem (P).
The new proposed method proceeds as follows.
Step 1: Reduce the given problem (P) into two machines flow-shop problem by
introducing two fictions machines, H and G whose machine processing times
n 1,2,..., i , H and
i i = G are given below:
(a) If the structural condition (1) is satisfied,
(b) If the structural condition (2) is satisfied,
(c) If the structural condition (3) is satisfied,
and
(d) If the structural condition (4) is satisfied,
then
The tabular form of the reduced problem is given below:

Step 2. Compute

Step 3. Formulate a new reduced scheduling problem involving two machines as
follows:

where i i
and H G ′ ′ are obtained from the Step 2.

Step 4. Determine the optimal sequence to the new reduced scheduling problem
obtained in the Step 3. and also, the total elapsed time for the given problem (P) by
using Johnso

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แก้ข้อ จำกัด การไหล-Shop การจัดตารางเวลา
มีปัญหากับสามเครื่อง
ปัญหาการจัดตารางเวลาการไหลของร้านค้า; เวลาการขนส่ง น้ำหนักของงาน;
. ลำดับที่เหมาะสมบทนำวิธีใหม่จะเสนอให้ได้รับการลำดับการจัดตารางเวลาที่ดีที่สุดสำหรับปัญหาการจัดตารางเวลาการไหลของร้านค้าที่เกี่ยวข้องกับเวลาการขนส่ง, การทำลายลงเวลาและน้ำหนักของงาน ( จำกัด ปัญหาการจัดตารางเวลาการไหลของร้าน) มี 3 เครื่อง. วิธีที่นำเสนอสามารถทำได้ง่ายและง่ายต่อการเข้าใจและยังให้เครื่องมือที่สำคัญสำหรับผู้มีอำนาจตัดสินใจเมื่อ theydesign การจัดตารางเวลาสำหรับการ จำกัดปัญหาการจัดตารางเวลาการไหลของร้านค้าที่มี 3 เครื่อง วิธีที่เสนอจะมีภาพประกอบด้วยความช่วยเหลือของตัวอย่างตัวเลข. ในการแก้ไขปัญหาคือการหาลำดับของงานในแต่ละเครื่องเพื่อให้เสร็จสิ้นงานทั้งหมดที่อยู่ในเครื่องทั้งหมดในเวลารวมขั้นต่ำที่ให้บริการแต่ละงานมีการประมวลผลบนเครื่อง 1, 2 , 3, ... , ม. อยู่ในลำดับที่ ทั่วไปไหลร้านปัญหาการตั้งเวลาเป็น NP-ยาก. ปัญหาการตั้งเวลาจริงขึ้นอยู่กับปัจจัยที่สำคัญสามคือเวลาขนส่งงานซึ่งรวมถึงเวลาในการโหลดย้ายเวลาและเวลาถ่าย ฯลฯ งานสำคัญ Ofa ญาติมาทำงานและรายละเอียดอื่นเครื่องเวลา (เนื่องจากความล้มเหลวของกระแสไฟฟ้าที่ไม่ใช่อุปทานของวัตถุดิบหรือ technicalinterruptions อื่น ๆ ) ทั้งสามปัจจัยที่มีการศึกษาโดยแยกนักวิจัยหลายคน [1-3, 5-8] Chandramouli [4] เสนอขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาสำหรับปัญหาการจัดตารางเวลาการไหลของร้านค้าที่มี 3 machinesinvolving เวลาการขนส่ง, การทำลายลงเวลาและน้ำหนักของงานที่จะหาที่ดีที่สุดหรือใกล้ลำดับที่ดีที่สุด. ในบทความนี้เราจึงนำเสนอวิธีการใหม่สำหรับการไหลของร้านค้า กำหนดปัญหาที่เกี่ยวข้องกับเวลาการขนส่ง, การทำลายลงเวลาและน้ำหนักของงาน ( จำกัดปัญหาการจัดตารางเวลาการไหลของร้าน) มี 3 เครื่องเพื่อให้ได้ลำดับที่ดีที่สุด. วิธีการที่นำเสนอสามารถทำได้ง่ายและง่ายต่อการเข้าใจและยังให้เครื่องมือที่สำคัญสำหรับการตัดสินใจ เครื่องชงเมื่อพวกเขาออกแบบตารางเวลาสำหรับข้อ จำกัดปัญหาการจัดตารางเวลาการไหลของร้านค้าที่มี 3 macines ด้วยความช่วยเหลือของตัวเลขตัวอย่างวิธีที่นำเสนอจะมีภาพประกอบ. ปัญหาเครื่องไหลร้านพิจารณาปัญหาการไหลของร้านค้าดังต่อไปนี้ข้อ จำกัด ที่มี 3 เครื่องซึ่งสามารถตามที่ระบุไว้ดังต่อไปนี้(ก) ให้งาน - n จะดำเนินการผ่านสามเครื่อง C และปริญญาตรีในการสั่งซื้อเอบีซี. (ข) ให้ 'I' หมายถึงงานใน S ที่ S เป็นลำดับโดยพล. (c) งานทั้งหมดที่มีอยู่สำหรับการประมวลผลในเวลาที่ศูนย์. (ง) ให้แต่ละงานจะแล้วเสร็จผ่าน ขั้นตอนการผลิตเดียวกันว่ามีเอบีซีในคำอื่น ๆ ที่ผ่านคือไม่ได้รับอนุญาตในร้านไหล. (E) ให้ III C และ B, A หมายถึงเวลาการประมวลผลของงาน 'i' บนเครื่องC และปริญญาตรีตามลำดับ . (ฉ) ให้ II G และ T หมายถึงเวลาการขนส่งของงาน 'i' จากบริติชแอร์เวย์และจาก C ไป B ตามลำดับ. (ช) ให้งาน 'I' ได้รับมอบหมายมีน้ำหนักผม waccording ถึงความสำคัญญาติของตนสำหรับการปฏิบัติงานใน ลำดับที่กำหนด. (H) วัดประสิทธิภาพการศึกษาในเวลาถ่วงน้ำหนักการไหลเฉลี่ยที่กำหนดโดย(i) ให้แบ่งช่วงเวลาการลง), (BA เป็นที่รู้จักกันอยู่แล้วให้เราที่เป็นธรรมชาติกำหนด . แบ่งตามความยาวช่วง AB- ซึ่งเป็นที่รู้จักจากนั้นจุดมุ่งหมายของเราคือการหาลำดับที่ดีที่สุดของงานเพื่อลดเวลาที่ผ่านไปทั้งหมด. ปัญหาที่ระบุไว้ข้างต้น (P) ในรูปแบบตารางอาจมีการระบุไว้ดังต่อไปนี้: ให้เราคิดว่าปัญหา (P) ตอบสนองอย่างใดอย่างหนึ่งดังต่อไปนี้ใด ๆเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้างเวลาการประมวลผลและเวลาการขนส่งของงานถือ. สภาพโครงสร้าง: 1 } { ฉันขั้นต่ำ≥} { II B T สูงสุด + หรือ} { II G + C ค่าต่ำสุด≥} { II B T สูงสุด +. 2 } { II T ขั้นต่ำ + ≥} { ฉัน B สูงสุดหรือ} { IIG C ค่าต่ำสุด + ≥} { B สูงสุด i. 3 } { II T ขั้นต่ำ + ≥} { IIG B สูงสุด + หรือ} { ฉัน C ค่าต่ำสุด≥} { II G B สูงสุด +. 4 } { ฉันขั้นต่ำ≥} { III G B T สูงสุด + + หรือ} { ฉัน C ค่าต่ำสุด≥} { III G B T สูงสุด + +. ใหม่วิธีที่นำเสนอเราตอนนี้แนะนำวิธีการใหม่สำหรับการค้นหาลำดับที่เหมาะสมกับปัญหา . (P) . ใหม่เงินวิธีที่นำเสนอดังนี้ขั้นตอนที่ 1: ลดปัญหาที่กำหนด (P) เป็นสองเครื่องปัญหาการไหลของร้านค้าโดยการแนะนำสองเครื่อง fictions, H, G มีเครื่องประมวลผลครั้งn 1,2 ... ผม, H, I I = G จะได้รับดังนี้(ก) ถ้าสภาพโครงสร้าง (1) เป็นที่พอใจ, (ข) ถ้าสภาพโครงสร้าง (2) เป็นที่พอใจ, (ค) หากสภาพโครงสร้าง (3) มีความพึงพอใจ , และ(ง) ถ้าสภาพโครงสร้าง (4) เป็นที่พอใจแล้วรูปแบบตารางของปัญหาลดลงจะได้รับดังนี้ขั้นตอนที่ 2. การคำนวณขั้นตอนที่ 3. กำหนดปัญหาการตั้งเวลาใหม่ที่เกี่ยวข้องกับการลดลงสองเครื่องเป็นดังนี้ที่สองและ HG '' จะได้รับจากขั้นตอนที่ 2 ขั้นตอนที่ 4. กำหนดลำดับที่เหมาะสมกับปัญหาการตั้งเวลาใหม่ลดลงได้ในขั้นตอนที่ 3 และยังเวลาที่ผ่านไปรวมสำหรับปัญหาที่กำหนด (P) โดยใช้ Johnso