A pendulum with a moving support po

A pendulum with a moving support point
Gabriela Gonz´alez
September 12, 2006
Consider a pendulum with mass m hanging from a rod of length l. The support point
moves horizontally with a known function R(t) = X(t)ˆi + Y (t)ˆj. We can use the angle
 between the vertical and the pendulum rod as a generalized coordinate, the only one
needed to describe the system.
The position vector of the mass m is
r = R + l(sin ˆi + cos ˆj)
The velocity is
v = ˙R + l ˙ (cos ˆi − sin ˆj)
The kinetic energy is
T =
1
2mv2 =
1
2m(|˙R|2 + l2 ˙ 2 + 2l ˙ ( ˙X cos  − ˙Y sin )
The potential energy is
V = −mg · r = −mg cos  − mgY
and although time dependent (through Y (t), it is not dissipative, since it doesn’t contain
˙.
The Lagrangian is
L = T − V
L(, ˙, t) =
1
2ml2 ˙ 2 + ml ˙ ( ˙X (t) cos  − ˙Y (t) sin ) +
1
2m( ˙X (t)2 + ˙Y (t)2) + mgl cos  + mgY (t)
Lagrange’s equation is
0 = d
dt
@L
@˙
−
@L
@
= d
dt

ml2 ˙  + ml( ˙X cos  − ˙Y sin )

−

ml ˙ (− ˙X sin  − ˙Y cos ) − mgl sin 

= ml2 ¨ + ml(¨X cos  − ¨ Y sin ) + mgl sin 
= ml2 ¨ + ml(g − ¨ Y ) sin  + ml ¨X cos 
1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ลูกตุ้ม มีจุดสนับสนุนเคลื่อนกาเบรียลา Gonz´alez12 กันยายน 2006พิจารณาลูกตุ้มที่ มีมวล m แขวนจากแกนของความยาว l จุดสนับสนุนย้ายในแนวนอนพร้อมฟังก์ชั่นชื่อดัง R(t) = X (t) ˆi + ˆj Y (t) เราสามารถใช้มุมระหว่างแนวตั้งและแกนลูกตุ้มเป็นพิกัดเมจแบบทั่วไป เป็นหนึ่งจำเป็นในการอธิบายระบบคือเวกเตอร์ตำแหน่งของ m มวลr = R + l (บาป ˆi + cos ˆj)ความเร็วได้v = ˙R + l ˙ (cos ˆi −บาป ˆj)พลังงานจลน์เป็นT =12mv2 =1ม. 2 (|˙R|2 + l2 ˙˙ 2 + 2 l (˙X cos − ˙Y บาป)พลังงานศักย์คือV = −mg · r = −mg cos − mgYและแม้ว่าขึ้นอยู่กับเวลา (ผ่าน Y (t), ไม่ dissipative เนื่องจากมันไม่ประกอบด้วย˙.Lagrangian เป็นL = T − VL(, ˙, t) =1˙มล 2 2 2 + ml ˙ (˙X (t) cos sin − ˙Y (t)) +12m (˙X (t) 2 + ˙Y (t) 2) + mgl cos mgY (t) +สมการของโรงแรมลากรองจ์ได้0 = ddt@L@˙−@L@= ddtml2 ˙ + ml (˙X cos − ˙Y บาป)−ml ˙ (− ˙X บาป− ˙Y cos) − mgl บาป=เลขจด ml2 + ml (¨X cos sin −เลขจด Y) + บาป mgl= cos เลขจด ml2 บาป ml (g −เลขจด Y) + มล ¨X1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ลูกตุ้มกับย้ายสนับสนุนจุด gonz ใหม่
-

alez 12 กันยายน 2549 พิจารณาลูกตุ้มที่มีมวล m แขวนจากคทายาว L . สนับสนุนจุด
ย้ายแนวนอนด้วยรู้จักฟังก์ชัน R ( t ) = x ( t ) ˆผม Y ( t ) ˆเราสามารถใช้มุม
J  ระหว่างแนวตั้งและลูกตุ้มเหล็กเป็นประสานงานทั่วไปคนเดียว
ต้องอธิบายระบบ .
ตำแหน่งเวกเตอร์ของมวล m
r = R L ( บาป  ˆผมคอส  ˆ J )

V = ความเร็ว˙ R L ˙  ( เพราะ  ˆผม−บาป  ˆ J )

t พลังงานจลน์เป็น 2mv2 =

=
1
2 M ( 1 | ˙ R | 2 L2 ˙  2 2L ˙  ( ˙ x cos −  ˙ Y บาป  )

v = พลังงานศักย์ คือ R = −−มก. ด้วยมิลลิกรัมเพราะ  − mGy
ถึงแม้ว่าเวลาอยู่กับ ( ผ่าน Y ( t ) , มันไม่ได้เป็น dissipative เพราะมันไม่มี
 ˙ .

ระบบคือL = T − 5
, L (   , ˙ , t ) =
1
2ml2 ˙  2 ml ˙  ( ˙ x ( t ) เพราะ  −˙ Y ( t ) บาป  )
1
2 M ( ˙ x ( t ) 2 ˙ Y ( T ) 2 ) เพราะ  มิลลิกรัมต่อลิตร mGy ( T )
สมการของลากรองจ์
0 = D
L
@  DT
@

@ ˙− l
@ 
= D


ml2 DT  ˙  ml ( ˙ x cos −  ˙บาป  Y )



 −  ˙  ( มล. −−˙ x บาป  ˙ Y เพราะ  ) −มิลลิกรัมต่อลิตร 

= ml2 บาป  ตั้ง  ml ( ตั้ง x cos −  ตั้ง Y บาปบาป  ) มิลลิกรัมต่อลิตร 
= ml2 ตั้ง  มิลลิลิตร ( G −ตั้ง Y ) บาป  มลตั้ง x cos 
1