Cluster PointsThis page is intended

Cluster Points
This page is intended to be a part of the Real Analysis section of Math Online. Similar topics can also be found in the Calculus section of the site.

Fold
Table of Contents
Cluster Points
Example 1
Example 2
Cluster Points

Definition: Let A be a subset of the real numbers. Then the point c∈R is a cluster point of A if ∀δ>0, the delta-neighbourhood of c, Vδ(c) contains at least one point from A different from c. Alternatively a cluster point c can be defined such that ∀δ>0∃aδ∈A∖{c} such that ∣aδ−c∣0Vδ(c)∩(A∖{c})≠∅.
The definition of a cluster point c says that no matter how small δ>0 is, we can always find a point other than c in any δ-neighbourhood Vδ(c), or equivalently, every open interval around the point c will contain infinitely many elements of the set A. Alternatively, we can prove that a specific point c is a cluster point of the set A if there exists a sequence (an) from A such that an≠c ∀n∈N and limn→∞an=c.
Note: A cluster point c of a subset A of real numbers need not be contained within A. Also, a finite subset A will contain no cluster points as it would be impossible for any open interval around c to contain infinitely many points from A regardless of the size of δ since A would be finite.
Let's look at some examples now.
Example 1

Determine all possible cluster points for the set A=[2,3).

All values of x∈[2,3] are cluster points of A. For example, the point 2 is a cluster point of A since any delta-neighbourhood around 2 contains at least one point from A that is different from 2 as illustrated in the following diagram:
Screen%20Shot%202014-11-04%20at%209.22.42%20PM.png
To show that 2 is a cluster point of A, consider Vδ(2)={x∈R:∣x−2∣

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

คลัสเตอร์จุดหน้านี้มีไว้เป็น ส่วนหนึ่งของส่วนวิเคราะห์จริงของคณิตศาสตร์ออนไลน์ หัวข้อคล้ายยังสามารถพบได้ในส่วนแคลคูลัสของไซต์พับสารบัญคลัสเตอร์จุดตัวอย่างที่ 1ตัวอย่างที่ 2คลัสเตอร์จุดนิยาม: ให้ A เป็นเซตย่อยของจำนวนจริง แล้ว c∈R จุดเป็นจุดคลัสเตอร์ของ A ถ้า∀δ > 0 เดลต้าละแวก c, Vδ(c) ประกอบด้วยอย่างน้อยหนึ่งจุดจากแตกต่างจากเซลเซียสหรือจุด c ในคลัสเตอร์สามารถกำหนดเช่น∀δที่ > 0∃aδ∈A∖ {c } เช่นที่ ∣aδ−c∣ <δหรือค่อนข้าง ∀δ > 0Vδ (ค) ∩ (A∖ {c }) ≠∅คำนิยามของจุด c คลัสเตอร์กล่าวว่า ไม่ว่าวิธีการขนาดเล็กδ > 0 เป็น เราสามารถหาจุดอื่นที่ไม่ใช่ c ในใด ๆ δละแวก Vδ(c) หรือ equivalently ทุกช่วงเปิดรอบจุด c จะประกอบด้วยเพียบหลายองค์ประกอบของการตั้ง A. หรือ เราสามารถพิสูจน์ว่า เป็นเฉพาะจุด c เป็นจุดที่คลัสเตอร์ของชุด A ถ้ามีลำดับ (ตัว) จาก A ดังกล่าวว่า an≠c ∀n∈N และ limn→∞an = cหมายเหตุ: คลัสเตอร์จุด c ของเซตย่อย A ของจำนวนจริงต้องไม่มีอยู่ภายในก. จำกัดเซตย่อย A จะประกอบด้วยคลัสเตอร์ไม่มีจุดมันจะเป็นไปไม่ได้สำหรับช่วงเวลาใด ๆ เปิดรอบ c มีเพียบหลายจุดจาก A โดยไม่คำนึงถึงขนาดของδตั้งแต่ A จะมีจำกัดด้วยลองดูตัวอย่างตอนนี้ตัวอย่างที่ 1กำหนดจุดทั้งหมดของคลัสเตอร์เป็นไปได้ของชุด A=[2,3)ค่าทั้งหมดของ x∈ [2, 3] มีคลัสเตอร์ที่น่ารัก เช่น จุด 2 อยู่จุด A คลัสเตอร์เนื่องใด ๆ เดลต้าละแวกรอบ 2 ประกอบด้วยอย่างน้อยหนึ่งจุดจาก A ที่แตกต่างจาก 2 ดังที่แสดงในแผนภาพต่อไปนี้:Screen%20Shot%202014-11-04%20at%209.22.42%20PM.pngเพื่อแสดงว่า 2 เป็นจุด A คลัสเตอร์ พิจารณา Vδ (2) = { x∈R:∣x−2∣ < δ}, นั่นคือการตั้งค่าของ x ซึ่งตอบสนอง 2−δ อสมการ0 เป็น ที่มีอยู่ที่ aδ∈[2,3) จุดที่ 20, corollaries ไปวงมันตามที่มีอยู่เป็นจำนวนธรรมชาติ nδ∈N ดังกล่าวอย่างใดอย่างหนึ่งที่ 0 < 1nδ < δ ถ้าเราเลือก aδ−2 = 1nδ แล้วδ = 2 + 1nδ และดังนั้นตั้งแต่ 0ในทำนองเดียวกัน เราสามารถแสดงที่ 3 เป็นจุดที่ A ของคลัสเตอร์แม้ว่า 3∉[2,3) ใช้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายคลึงกัน เราต้องแสดงว่า Vδ(3) ประกอบด้วยอย่างน้อยหนึ่งจุดจาก [2, 3) นอกเหนือจาก 3 สำหรับ n∈N ทั้งหมด ในคำอื่น ๆ เราจำเป็นต้องแสดงว่า มีการ aδ∈A ดังกล่าวนั้น aδ∈Vδ (3) = { x∈R:∣x−3∣ < δ} สำหรับทั้งหมดδ > 0 ที่เราต้องแสดงว่า มักจะมี aδ∈A ที่ตอบสนอง 3−δ อสมการ0 เราจะแสดงว่า δดังกล่าวการตอบสนอง 3−δถ้าเราปล่อย 3−aδ, 0 = 1nδ 0 แล้ว < 3−aδ = 1nδ < δ และ−δในความเป็นจริง จุดใด ๆ บนช่วง [2, 3] เป็นจุด A. คลัสเตอร์นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงเฉพาะจุดจะไม่จุดคลัสเตอร์ ตัวอย่างเช่น พิจารณาจุด 4 ซึ่งไม่ใช่จุด A. ของคลัสเตอร์ ถ้าเราเลือก δ0 = 1 แล้ว Vδ0 (4) = { x∈R:∣x−4∣ < 1 } เป็นชุดของ x∈R ที่ 3ประกอบด้วยละแวก 0 4 ไม่มีจุดของ A. (ตรวจสอบยังว่าถ้า 0 < δ < Vδ(4) แล้วที่ 1 ประกอบด้วยไม่มีคะแนนจาก A ที่ Vδ(4)∩A=∅)ตัวอย่างที่ 2กำหนดจุดคลัสเตอร์เป็นไปได้ทั้งหมด =ชุด A {1n:n∈N }จุดคลัสเตอร์เดียวของชุดนี้คือ 0 ให้δ > 0 และดูการเดลต้าละแวก 0 ที่ Vδ (0) = { x∈R:∣x∣ < δ}=(−δ,δ) เพื่อแสดงว่า 0 คลัสเตอร์จุดของ A เราต้องหา nδ∈N การดังกล่าวว่า ∩A∖ xnδ∈Vδ (0) { 0 } ซึ่งคือการหา nδ∈N การดังกล่าวนั้น−δ < 1nδ < δ อีกครั้ง โดยคุณสมบัติวงเดียว ตั้งแต่δ > 0 มีอยู่ nδ∈N ดังกล่าว−δที่ < 0 < 1nδ = xnδ < δดัง นั้น 0 เป็นจุดเป็นอ. ของคลัสเตอร์มีไม่มีคลัสเตอร์จุดอื่น ๆ ของชุดนี้ซึ่งเราจะพิสูจน์ในกรณีกรณีที่ 1: สมมติว่า c < 0 เราจะแสดงที่สำหรับบาง δ0 > 0 ∩A∖ ว่า (ค) Vδ0 { 0 } =∅ ปล่อยให้ ∣c∣ = δ0 > 0 แล้ว Vδ0 (c) = { x∈R:∣x−c∣ < ∣c∣ = δ0 } =∅เนื่องไม่เท่าเทียมกันนี้ไม่ถือเป็น −∣c∣0 สำหรับ n∈N ทั้งหมดกรณีที่ 2: สมมติว่า c > 1 เวลานี้ถ้าเราเลือก δ0 = ∣c−1∣ > 0 แล้ว Vδ0 (c) = { x∈R:∣x−c∣ < ∣c−1∣ } =∅ตั้งแต่อีกครั้ง −∣c−1∣ อสมการกรณี 3: สมมติว่า 0 ที่มีแล้ว 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ nc∈N ดังกล่าวที่มีอยู่ที่ nc−1≤1c

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คะแนนคลัสเตอร์
หน้านี้มีวัตถุประสงค์เพื่อเป็นส่วนหนึ่งของส่วนการวิเคราะห์เชิงจริงของคณิตศาสตร์ออนไลน์ หัวข้อที่คล้ายกันนอกจากนี้ยังสามารถพบได้ในส่วนแคลคูลัสของเว็บไซต์

พับ
สารบัญ
คะแนนกลุ่ม
ตัวอย่างที่ 1
ตัวอย่างที่ 2
จุดคลัสเตอร์

นิยาม: ให้ A เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนจริง แล้วc∈Rจุดเป็นจุดที่กลุ่มของ A ในกรณี∀δ> 0 เดลต้าย่าน C, Vδ (ค) มีอย่างน้อยหนึ่งจุดจากที่แตกต่างจาก C อีกวิธีหนึ่งคือจุดคลัสเตอร์ C สามารถกำหนดดังกล่าวว่า∀δ> 0∃aδ∈A∖ {C} เช่นว่า|aδ-c| <δหรือมากกว่า∀δ> 0Vδ (c) ∩ (A ∖ {C}) ≠ ∅
ความหมายของจุดคลัสเตอร์คกล่าวว่าไม่ว่าδขนาดเล็ก> 0 คือไม่มีเราสามารถหาจุดอื่น ๆ กว่า C ในδ-เขตVδ (c) หรือเท่ากันทุกช่วงเวลาที่เปิดให้บริการตลอดจุด C จะมีเพียบ หลายองค์ประกอบของชุดเอหรืออีกวิธีหนึ่งที่เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจุด C ที่เฉพาะเจาะจงเป็นจุดที่กลุ่มของชุดถ้ามีอยู่ลำดับ (เป็น) จาก A เช่นว่า≠ C ∀n∈Nและบรรยาย→∞an = C
หมายเหตุ: จุด C คลัสเตอร์ของเซตของจำนวนจริงไม่จำเป็นต้องอยู่ภายใน A. นอกจากนี้แน่นอนส่วนย่อยจะมีจุดคลัสเตอร์ไม่มีมันจะเป็นไปไม่ได้สำหรับช่วงเวลาใด ๆ ที่เปิดรอบ C จะมีหลายจุดอนันต์จาก A โดยไม่คำนึงถึง ขนาดของδตั้งแต่ที่ A จะ จำกัด
ลองดูที่ตัวอย่างบางส่วนในขณะนี้
ตัวอย่างที่ 1

จะกำหนดจุดคลัสเตอร์ทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับชุด A = [2,3)

ค่าทั้งหมดของx∈ [2,3] เป็นจุดกลุ่มของ A. ตัวอย่างเช่นจุดที่ 2 เป็นจุดที่กลุ่มของตั้งแต่ใด Delta-เขตรอบ 2 มีอย่างน้อยหนึ่งจุดจากที่แตกต่างจาก 2 ดังแสดงใน แผนภาพต่อไปนี้:
หน้าจอ% 20Shot% 202014-11-04% 20at% 209.22.42% 20 PM.png
แสดงให้เห็นว่า 2 เป็นจุดที่กลุ่มของให้พิจารณาVδ (2) = {x∈R: |x-2| <δ} ที่เป็นชุดของ x ซึ่งตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน 2 δ0 คือว่ามีอยู่จุดaδ∈ [2,3) เช่นที่ 20, โดยหนึ่งในผลกระทบไปยัง Archimedean ทรัพย์สินมันตามที่มีอยู่เป็นจำนวนธรรมชาติnδ∈Nดังกล่าวที่ 0 <1nδ <δ ถ้าเราเลือกaδ-2 = 1nδแล้วAδ = 2 + 1nδและดังนั้นจึงตั้งแต่ 0ในทำนองเดียวกันเรายังสามารถแสดงให้เห็นว่า 3 เป็นจุดที่กลุ่มของแม้ว่า3∉ [2,3) โดยใช้อาร์กิวเมนต์คล้ายคลึง เราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่าVδ (3) มีอย่างน้อยหนึ่งจุดจาก [2,3) อื่น ๆ กว่า 3 สำหรับทุกn∈Nในคำอื่น ๆ ที่เราจำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่ามีอยู่เช่นว่าaδ∈Aaδ∈Vδ ( 3) = {x∈R: |x-3| <δ} สำหรับทุกδ> 0 นั่นคือเราต้องแสดงให้เห็นว่ามีอยู่เสมอaδ∈Aที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกัน 3 δ0. เราจะแสดงให้เห็นว่าการดังกล่าวตอบสนองaδ 3 δ0 ถ้าเราปล่อยให้ 3 aδ = 1nδแล้ว 0 <3 aδ = 1nδ <δและ-δในความเป็นจริงจุดบนช่วง [2,3] ใด ๆ ที่เป็นจุดที่กลุ่มของ A.
เรายังสามารถแสดงให้เห็นว่าจุดใดจุดหนึ่งไม่ได้จุดคลัสเตอร์ ยกตัวอย่างเช่นพิจารณาจุดที่ 4 ซึ่งไม่ได้เป็นจุดที่กลุ่มของ A. ถ้าเราเลือกδ0 = 1 แล้วVδ0 (4) = {x∈R: |x-4| <1} คือชุดของx∈Rดังกล่าว ที่ 30 เขต 4 มีจุดที่ไม่มีเอ (ยืนยันว่าถ้า 0 <δ <1 แล้วVδ (4) มีคะแนนจากการไม่มีที่อยู่Vδ (4) ∩A = ∅)
ตัวอย่างที่ 2

จะกำหนดจุดคลัสเตอร์ทั้งหมดที่เป็นไปได้สำหรับชุด A = {1N: n∈N}

จุดคลัสเตอร์เดียวของชุดนี้เป็น 0 Let δ> 0 และมองไปที่ใด Delta-ย่าน 0 นั่นคือVδ (0) = {x∈R: |x| <δ} = (- δ, δ) แสดงให้เห็นว่า 0 เป็นจุดที่กลุ่มของเราต้องไปหาnδ∈Nดังกล่าวว่าxnδ∈Vδ (0) ∩A∖ {0} ที่คือการหาnδ∈Nดังกล่าวว่า-δ <1nδ <δ อีกครั้งโดยสถาน Archimedean ที่เดียวกันตั้งแต่δ> 0 มีอยู่nδ∈Nดังกล่าวว่า-δ <0 <= 1nδxnδ <δและ 0 เป็นจุดที่กลุ่มของ A.
ไม่มีจุดคลัสเตอร์อื่นของชุดนี้อยู่ที่ เราจะพิสูจน์ในกรณี
กรณีที่ 1: สมมติว่า C <0 เราจะแสดงให้เห็นว่าบางδ0> 0 ที่Vδ0 (c) ∩A∖ {0} = ∅ ให้ |c| = δ0> 0 แล้วVδ0 (c) = {x∈R: |x-c| <= |c| δ0} = ∅ตั้งแต่ความไม่เท่าเทียมกันนี้ไม่ถือเป็น -|c|0 n∈Nทั้งหมด
กรณีที่ 2: สมมติว่า C> 1 คราวนี้ถ้าเราเลือกδ0 = |c-1|> 0 แล้วVδ0 (c) = {x∈R: |x-c| <|c-1|} = ∅ตั้งแต่อีกครั้งอสมการ -|c-1 |กรณีที่ 3: สมมติว่า 00 แล้วมีอยู่เป็นจำนวนธรรมชาติnc∈Nดังกล่าวว่า NC-1≤1c

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คะแนนกลุ่มหน้านี้มีไว้เป็นส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์จริงส่วนออนไลน์คณิตศาสตร์ หัวข้อที่คล้ายกันสามารถพบได้ในแคลคูลัสในส่วนของเว็บไซต์พับสารบัญคะแนนกลุ่มตัวอย่างที่ 1ตัวอย่างที่ 2คะแนนกลุ่มนิยาม : ปล่อยให้เป็นสับเซตของจำนวนจริง แล้ว∈จุด C R คือกลุ่มจุดของถ้า∀δ > 0 , เดลต้าตาง ๆของ C , V δ ( C ) มีอย่างน้อยหนึ่งจุดจากแตกต่างจาก C หรือกลุ่มจุด C สามารถกำหนดเช่นที่∀δ > 0 ∃เป็นδ∈∖ { C } เป็นเช่นที่∣เป็นδ− C ∣ < δหรือมากกว่า , ∀δ > 0 δ ( C ) ∩ ( ∖ { C } ) ≠∅ .คำนิยามของกลุ่มจุด C กล่าวว่า ไม่ว่าเล็ก δ > 0 คือ เราสามารถหาจุดอื่นนอกเหนือจาก C ในδ - ตาง ๆδ V ( C ) หรือก้อง ทุกช่วงเปิดรอบจุด C จะประกอบด้วยองค์ประกอบจำนวนของชุด หรืออีกวิธีหนึ่งที่เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า เฉพาะจุด C คือกลุ่มจุดของการตั้งค่าถ้าไม่มีลำดับ ( จากที่เป็น≠ C ∀ N ∈และบรรยาย→∞เป็น = Cหมายเหตุ : กลุ่มของจุด C เป็นเซตย่อยของตัวเลขที่แท้จริง ไม่ต้องอยู่ใน อ. ยัง สับเซตจำกัดจะไม่มีกลุ่ม คะแนนมันจะเป็นไปไม่ได้สำหรับเปิดช่วงเวลาประมาณ C มีจำนวนจุดจากไม่ว่าขนาดของδตั้งแต่จะจำกัดลองดูตัวอย่างแล้วตัวอย่างที่ 1ตรวจสอบคะแนนกลุ่มที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับตั้งค่า = [ 2 , 3 )ค่าทุกค่าของ x ∈ [ 2 ] เป็นคะแนนของกลุ่ม เอ ตัวอย่างเช่น จุดที่ 2 คือ กลุ่มจุดของเนื่องจากเดลต้า ตาง ๆ รอบ 2 มีอย่างน้อยหนึ่งจุดจากที่แตกต่างจาก 2 ดังแสดงในแผนภาพต่อไปนี้20shot หน้าจอ % % % % % 20pm.png 202014-11-04 20at 209.22.42เพื่อแสดงให้เห็นว่า กลุ่ม 2 คือ จุด พิจารณาδ V ( , 2 ) = { x ∈ R : ∣ x − 2 ∣ < δ } ที่เป็นชุดของ X ซึ่งตอบสนองความ 2 −δ < x < 2 + δ . เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า ไม่ว่าเล็ก δ > 0 คือว่ามีอยู่จุดδ∈ [ 2 , 3 ) ซึ่งเป็นδ 2 < < 2 + δซึ่งเท่ากับ 0 < a δ− 2 < δ . ตั้งแต่δ > 0 โดยหนึ่งของผลที่ตามมาจะ Archimedean ทรัพย์สินตามที่มีอยู่เป็นจำนวนธรรมชาติ n δ∈ n เช่น 0 < กับδ < δ . ถ้าเราเลือกδ− 2 = 1n δแล้วδ = 2 + กับδ ดังนั้นตั้งแต่ 0 < a δ− 2 = 1n δ < δแล้ว 2 < a δ = 2 + กับδ < 2 + δ และ 2 คือ กลุ่มจุดของ . เราทราบว่า≠ 2 + กับ 2 δตั้งแต่กับδ≠ 0 ทั้งหมด∈ n n )นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงที่ 3 คือ กลุ่มจุดของแม้ว่า 3 ∉ [ 2 , 3 ) โดยใช้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกัน เราต้องแสดงให้เห็นว่า V δ ( 3 ) มีอย่างน้อยหนึ่งจุดจาก [ 2 , 3 ) นอกเหนือจาก 3 สำหรับทุก n ∈ N , ในคำอื่น ๆที่เราต้องแสดงให้เห็นว่ามีการδ∈เช่นที่δ∈ V δ ( 3 ) = { x ∈ R : ∣− 3 ∣ < X δ } ทั้งหมดδ > 0 นั่นคือเราต้องแสดงให้เห็นว่ามีมักจะมีอยู่ข้อδ∈ที่ตอบสนองความ−δ 3 < x < 3 + δทั้งหมดδ > 0 พวกเราจะแสดงให้เห็นว่าเป็นเป็นδตรง 3 −δ < a δ < 3 ซึ่งเทียบเท่ากับ−δ < a δ− 3 < 0 หรือมากกว่า 0 < 3 −เป็นδ < δ . อีกหนึ่งของ Archimedean ผลที่ตามมาตั้งแต่δ > 0 ถ้าเราปล่อยให้ 3 −เป็นδ = 1n δแล้ว 0 < 3 −เป็นδ = 1n และδ < δ−δ < a δ− 3 = −กับδ < 0 และ 3 −δ < a δ = 3 −กับδ < 3 , และอื่น ๆ 3 กลุ่มจุด .ในความเป็นจริงใด ๆที่จุดในช่วง [ 2 , 3 ] คือกลุ่มจุด .นอกจากนี้เรายังสามารถแสดงเฉพาะจุดไม่ได้เป็นคะแนนกลุ่ม ตัวอย่างเช่นพิจารณา 4 จุด ซึ่งไม่ใช่กลุ่มจุด ถ้าเราเลือกδ 0 = 1 แล้วδ 0 V ( 4 ) = { x ∈ R : ∣ x − 4 ∣ < 1 } เป็นเซตของ x ∈ R เช่นที่ 3 < x < 5 แต่หมายถึงช่วงเวลา [ 2 , 3 ) คือ เซตของ x ∈ R เช่นที่ 2 ≤ X < 3 และดังนั้นมีอยู่ไม่มี x ∈แบบที่ 3 < x < 5 ดังนั้น 4 ไม่ใช่กลุ่มจุดของตั้งแต่δ 0 = 1 > 0 ๆ 4 ประกอบด้วย ไม่มีจุด A ( ยืนยันว่าถ้า 0 < δ < 1 V δ ( 4 ) ไม่มีจุด จากที่เป็น V δ ( 4 ) ∩ = ∅ )ตัวอย่างที่ 2ตรวจสอบความเป็นไปได้ทั้งหมดกลุ่มคะแนนสำหรับชุด = 1n { : N ∈ n }เฉพาะกลุ่มจุดของชุดนี้เป็น 0 ให้δ > 0 และมองเดลต้าตาง ๆของ 0 ที่เป็น V δ ( 0 ) = { x ∈ R : ∣ x ∣ < δ } = ( −δδ , ) แสดง 0 เป็นจุดที่กลุ่มของพวกเราต้องหาให้เจอ N δ∈ n เช่นคริสเตียนδ∈ V δ ( 0 ) ∩เป็น∖ { 0 } , ที่หาδ∈ n n เช่นที่−δ < กับδ < δ . อีกครั้งที่เดียวกัน Archimedean ทรัพย์สิน เนื่องจากδ > 0 มี N δ∈ n เช่นที่−δ < 0 < = 1n δซินδ < δและ 0 เป็น กลุ่มจุด .ไม่มีจุดที่กลุ่มอื่น ๆของชุดนี้ที่เราจะพิสูจน์ในคดีกรณีที่ 1 สมมติว่า c < 0 เราจะแสดงที่ บางδ 0 > 0 ที่δ 0 V ( c ) ∩เป็น∖ { 0 } = ∅ . ให้∣ C ∣ = δ 0 > 0 แล้วδ 0 V ( c ) = { x ∈ R : ∣ x − C ∣ < ∣ C ∣ = δ 0 } = ∅เนื่องจากความไม่ถือเป็น−∣ C ∣ < x < ∣− C C ∣เท่ากับ− ( − c ) < x < −− C C และ C < X −− C และ C < 2 < x < 0 และไม่มี X ∈เช่นว่า x < 0 ตั้งแต่ 1n > 0 สำหรับทุก n ∈ )กรณีที่ 2 สมมติว่า C 1 คราวนี้ ถ้าเราเลือกδ 0 = ∣ C − 1 ∣ > 0 แล้วδ 0 V ( c ) = { x ∈ R : ∣ x − C ∣ < ∣ C − 1 ∣ } = ∅ตั้งแต่อีกครั้งความ−∣ C − 1 ∣ < x − C ∣ C − 1 เทียบเท่ากับ 1 −− C C < x < C − 1 และ 1 < x < 2 − 1 และไม่มี X ∈เช่น 1 < x ตั้งแต่