1. IntroductionIn a previous paper

1. Introduction
In a previous paper [1] two of the present authors considered in detail the mechanics of a superball bouncing back and forth on a rough horizontal plane. Reversals in direction in the horizontal motion of the ball result from the application of a tangential law of restitution at the point of impact of the ball and the plane. This concept was first introduced by Garwin [2] who used a tangential coefficient of restitution of one, which is not physically realistic. Garwin’s model was modified by Cross [3] who employed a tangential coefficient of restitution a satisfying 0 o a o 1, with the horizontal velocity of the point of impact of the ball being reversed and reduced in magnitude by a factor of a in the impact. Further details of the physics of this model are given in [1], together with references to other theoretical and experimental work.
All who have experimented with a superball will have at sometime bounced the ball on the floor, followed by a bounce on a vertical wall. If the bounce on the wall occurs while the ball is still rising, it gives the ball some backspin, so that the direction of motion is reversed at the next bounce on the floor resulting in the ball hitting the wall a second time. With practice, the ball can be made to bounce between the floor and wall several times. Such motion is illustrated in the animations in Figs. 2, 3, 5, and 11. It is our purpose to give a theoretical investigation of such motions and the non-linear mappings which they engender. To this end we establish in Section 2 the basic equations governing the model.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำในเอกสารก่อนหน้า [1] สองผู้เขียนนำเสนอพิจารณาในรายละเอียดกลศาสตร์ของ superball ที่กำยำและกลับบนเครื่องบินแนวนอนหยาบ กลับทิศทางในการเคลื่อนไหวในแนวนอนของลูกได้จากการประยุกต์ใช้กฎหมาย tangential ของ restitution ณขณะกระทบลูกและเครื่องบิน แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้ครั้งแรก โดย Garwin [2] ที่ใช้สัมประสิทธิ์ tangential ของ restitution หนึ่ง ซึ่งไม่เป็นความจริงจริง ของ Garwin รุ่นล่าสุดโดยข้าม [3] ที่ว่าจ้างสัมประสิทธิ์ tangential ของ restitution 0 ความพึงพอใจ o o 1 มีความเร็วแนวนอนของจุดของผลกระทบของลูกกำลังกลับ และลดขนาดตามสัดส่วนของการในผลกระทบ รายละเอียดเพิ่มเติมของฟิสิกส์รุ่นนี้จะได้รับใน [1], พร้อมกับอ้างอิงทฤษฎี และทดลองการใช้งานอื่น ๆทุกคนมีเบื้องกับ superball มีจะมีในบางครั้งเด้งลูกชั้น ตาม ด้วยการตีกลับบนผนังแนวตั้ง ถ้าตีกลับบนผนังเกิดขึ้นในขณะที่ลูกบอลยังคงสูงขึ้น ให้ลูก backspin บาง เพื่อให้มีกลับทิศทางของการเคลื่อนไหวที่ตีกลับถัดไปบนชั้นที่เกิดในลูกที่ตีกำแพงเป็นครั้งที่สอง แบบฝึกหัด สามารถทำลูกบอลให้เด้งกลับระหว่างพื้นและผนังหลายครั้ง มีแสดงการเคลื่อนไหวดังกล่าวในภาพเคลื่อนไหวใน Figs. 2, 3, 5 และ 11 วัตถุประสงค์เพื่อให้การตรวจสอบทฤษฎีดังกล่าวและการแม็ปไม่ใช่เชิงเส้นที่พวกเขา engender ได้ เพื่อการนี้ เราสร้างใน 2 ส่วนควบคุมแบบจำลองสมการพื้นฐาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1.
บทนำในบทความก่อนหน้านี้[1] สองของผู้เขียนในปัจจุบันการพิจารณาในรายละเอียดกลศาสตร์ของ Superball กระดอนไปมาในแนวระนาบหยาบ กลับในทิศทางการเคลื่อนไหวในแนวนอนของลูกส่งผลให้เกิดจากการประยุกต์ใช้กฎหมายวงของการชดใช้ความเสียหายที่จุดของผลกระทบของลูกและเครื่องบิน แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้เป็นครั้งแรกโดย Garwin [2] ซึ่งใช้ค่าสัมประสิทธิ์ของการชดใช้ความเสียหายวงหนึ่งซึ่งไม่เป็นจริงทางร่างกาย รูปแบบ Garwin ได้รับการแก้ไขโดยการครอส [3] ที่ลูกจ้างค่าสัมประสิทธิ์วงของการชดใช้ความเสียหายพอใจ 0 OAO 1 กับความเร็วในแนวนอนของจุดของผลกระทบของลูกและกลับถูกลดขนาดโดยปัจจัยในผลกระทบ รายละเอียดเพิ่มเติมของฟิสิกส์ของรุ่นนี้จะได้รับใน [1] ร่วมกับการอ้างอิงถึงงานอื่น ๆ ในทางทฤษฎีและการทดลอง.
ทุกคนที่ได้ทดลองกับ Superball จะมีบางครั้งเด้งลูกบนพื้นตามด้วยการตีกลับในแนวตั้ง ผนัง. ถ้าเด้งบนผนังเกิดขึ้นในขณะที่ลูกยังคงเพิ่มขึ้นจะช่วยให้ลูก backspin บางส่วนเพื่อให้ทิศทางของการเคลื่อนไหวจะถูกกลับรายการที่เด้งต่อไปบนพื้นบอลหลุดตีผนังเป็นเวลาที่สอง กับการปฏิบัติลูกสามารถทำที่จะตีกลับระหว่างพื้นและผนังหลายต่อหลายครั้ง การเคลื่อนไหวดังกล่าวจะแสดงในภาพเคลื่อนไหวในมะเดื่อ 2, 3, 5, และ 11 มันเป็นจุดประสงค์ของเราที่จะให้การตรวจสอบทางทฤษฎีของการเคลื่อนไหวดังกล่าวและแมปที่ไม่ใช่เชิงเส้นที่พวกเขาก่อให้เกิด ด้วยเหตุนี้เราสร้างไว้ในมาตรา 2 สมการพื้นฐานการปกครองรูปแบบ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . บทนำ
[ 1 ] ในกระดาษก่อน สอง ปัจจุบันผู้เขียนพิจารณารายละเอียดกลศาสตร์ของ superball กระดอนไปมาบนขรุขระระนาบแนวนอน . การพลิกกลับในทิศทางในการเคลื่อนไหวในแนวนอนของผลลูกบอลจากการใช้กฎหมายตามแนวของที่จุดกระทบของลูกบอล และเครื่องบินแนวคิดนี้เป็นครั้งแรก โดย garwin [ 2 ] ใครใช้สัมประสิทธิ์ของการชดใช้แนวหนึ่งซึ่งไม่มีเหตุผลทางกายภาพ garwin นางแบบถูกแก้ไขโดยข้าม [ 3 ] ใครใช้ค่าสัมประสิทธิ์ของการซ่อมแซมแนวน่าพอใจ 0 o o 1 กับความเร็วแนวนอนจุดกระทบของลูกบอลถูกกลับรายการและลดลงในขนาดโดยปัจจัยในผลกระทบรายละเอียดเพิ่มเติมของฟิสิกส์ของรุ่นนี้ยกให้เป็น [ 1 ] ด้วยกันกับแหล่งอ้างอิงอื่น ทางทฤษฎีและการทดลองงาน
ทุกคนที่ได้ทดลองกับ superball จะมีบางครั้งเด้งลูกบอลบนพื้น ตามด้วยการตีกลับบนผนังในแนวตั้ง ถ้าตีกลับบนผนังเกิดขึ้นในขณะที่ลูกยังเพิ่มขึ้น ให้บอลบางหมุนดังนั้นทิศทางของการเคลื่อนไหวจะถูกกลับรายการที่เด้งต่อไปบนพื้นส่งผลให้บอลไปชนผนังเป็นครั้งที่สอง กับการปฏิบัติ ลูกบอลให้เด้งระหว่างพื้นและผนัง หลายๆ ครั้ง การเคลื่อนไหวดังกล่าวจะแสดงในการเคลื่อนไหวในมะเดื่อ . 2 , 3 , 5 และ 11มันเป็นเป้าหมายของเราที่จะให้ตรวจสอบทางทฤษฎี เช่น การเคลื่อนไหว และเส้นชีวิตที่พวกเขาบังเกิด สุดท้ายเราสร้างในส่วนที่ 2 พื้นฐานสมการในรูปแบบ .