A function / is continuous at the p

A function / is continuous at the point a if for any neighborhood
V(f(a)) of its value /(a) at a there is a neighborhood U(a) of a whose
image under the mapping / is contained in V(f(a)).
We now give the expression of this concept in logical symbolism, along with
two other versions of it that are frequently used in analysis.
(/ is continuous at a) := (W(f(a)) 3U(a) (/(17(a)) C V(f(a)))) ,
/e > 0 317(a) Vx G 17(a) (f(x) - f(a) < e) ,
/e>03S>0/xeR(x-a < 6 => f(x)-f(a) < e) .
The equivalence of these statements for real-valued functions follows from
the fact (already noted several times) that any neighborhood of a point contains
a symmetric neighborhood of the point.
For example, if for any ^-neighborhood V£
(f(a)) of f(a) one can choose
a neighborhood U(a) of a such that Vx G U(a) (f(x) — f(a) < e), that
is, f(U(a)) C F£
(/(a)), then for any neighborhood V(/(a)) one can also
choose a corresponding neighborhood of a. Indeed, it suffices first to take
an ^-neighborhood of f(a) with V£
(f(a)) C V(/(a)), and then find U(a)
corresponding to V£
(f(a)). Then f(U(a)) C V£
(f(a)) C V(f(a)).
Thus, if a function is continuous at a in the sense of the second of these
definitions, it is also continuous at a in the sense of the original definition.
The converse is obvious, so that the equivalence of the two statements is
established.
We leave the rest of the verification to the reader.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด a ถ้าสำหรับย่านใด ๆ เป็นV(f(a)) ของ /(a) ค่าของที่นั่นเป็นย่าน U(a) ของการที่ภาพใต้การแม็ป / อยู่ใน V(f(a))ตอนนี้เราให้การแสดงออกของแนวคิดนี้ในสัญลักษณ์ตรรกะ พร้อมกับสองรุ่นอื่น ๆ ของมันที่ใช้บ่อยในการวิเคราะห์(เป็นการต่อเนื่องที่มี): = (3U(a) W(f(a)) (/(17(a)) C V(f(a)))/e > 0 317(a) Vx G 17(a) (f(x) - f (a) < e),/e > 03S > 0 \ / xeR (x-a < 6 = > f (x) -f (a) < e)เทียบเท่าของงบการเงินสำหรับมูลค่าจริงฟังก์ชันต่อไปนี้จากความจริง (สังเกตหลายครั้งแล้ว) ที่ประกอบด้วยย่านใด ๆ ของจุดย่านที่สมมาตรของจุดเช่น ถ้าสำหรับใด ๆ ^ -£ย่าน V(f(a)) ของ f(a) หนึ่งสามารถเลือกย่าน U(a) เป็นดังกล่าวนั้น U(a) G Vx (f(x) — f (a) < e), ที่คือ, £ F f(U(a)) C(/ (a)), แล้วสำหรับย่านใด ๆ ยังสามารถ V(/(a)) หนึ่งเลือกย่านที่สอดคล้องกันของแบบนี้ จริง มันอันดับแรกจะการ ^ -ของ f(a) กับ V£(f(a)) C V(/(a)) และจากนั้นค้นหา U(a)ที่สอดคล้องกับ V£(f(a)) £ V f(U(a)) C แล้ว(f(a)) C V(f(a))ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีในความรู้สึกของการที่สองเหล่านี้คำนิยาม ก็ยังต่อเนื่องที่มีในความรู้สึกของคำนิยามเดิมสนทนาเป็นที่ชัดเจน เพื่อให้เทียบเท่าของงบที่สองจัดตั้งขึ้นเราปล่อยให้ส่วนเหลือของการตรวจสอบการอ่าน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟังก์ชั่น / ต่อเนื่องที่จุดถ้าสำหรับพื้นที่ใกล้เคียงใด ๆ
V (F (ก)) ของมูลค่า / (ก) ที่มีเขต U (A) ที่มี
ภาพภายใต้การทำแผนที่ / ที่มีอยู่ใน V ( ฉ. (ก))
ตอนนี้เราให้การแสดงออกของแนวคิดนี้ในสัญลักษณ์ตรรกะพร้อมกับ
สองรุ่นอื่น ๆ ของมันที่ใช้บ่อยในการวิเคราะห์.
(/ ต่อเนื่องใน) = (W (F (ก)) 3U (ก) (/ (17 (ก)) CV (F (ก)))),
/ E> 0 317 (ก) Vx G 17 (ก) ( f (x) - f (ก) <E )
/ E> 03S> 0 / xeR ( XA <6 => f (x) -f (ก) <จ).
สมดุลของงบการเงินนี้สำหรับการทำงานจริงมูลค่าดังมาจาก
ความจริงที่ ( แล้วตั้งข้อสังเกตหลายครั้ง) ที่เขตของจุดใด ๆ ที่มี
พื้นที่ใกล้เคียงสมมาตรจุด.
ตัวอย่างเช่นถ้า ^ V -neighborhood £ใด ๆ
(F (ก)) ของ F (ก) หนึ่งสามารถเลือก
ย่าน U (ก) ของดังกล่าวว่า Vx GU (ก) ( f (x) - f (ก) <E) นั่น
คือ f (U (ก)) CF £
(/ (ก)) แล้วสำหรับพื้นที่ใกล้เคียง V ใด ๆ ( / (ก)) ยังสามารถ
เลือกย่านที่สอดคล้องกันของ อันที่จริงมันพอเพียงครั้งแรกที่จะใช้
^ -neighborhood ของ F (ก) ด้วย V £
(F (ก)) CV (/ (ก)) แล้วพบ U (ก)
ที่สอดคล้องกับ V £
(F (ก)) . แล้ว f (U (ก)) CV £
(F (ก)) CV (F (ก)).
ดังนั้นหากฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องในในความรู้สึกของคนที่สองของเหล่านี้
คำจำกัดความมันก็ยังเป็นอย่างต่อเนื่องใน ความรู้สึกของคำนิยามเดิม.
สนทนาเป็นที่ชัดเจนเพื่อให้ความเท่าเทียมกันของทั้งสองงบที่มีการ
จัดตั้งขึ้น.
เราจะปล่อยให้ส่วนที่เหลือของการตรวจสอบไปยังผู้อ่าน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ฟังก์ชัน / มีความต่อเนื่องที่จุด A ถ้าใด ๆ ใกล้กับV ( f ( a ) ของค่า / ( ) ที่มีเพื่อนบ้าน U ( A ) ของของใครภาพใต้แผนที่ / อยู่ใน V ( f ( a ) )ตอนนี้เราให้การแสดงออกของแนวคิดนี้ในสัญลักษณ์เชิงตรรกะ , พร้อมกับอีกสองรุ่นที่ใช้บ่อยในการวิเคราะห์( / เป็นอย่างต่อเนื่องที่ ) : = ( W ( f ( a ) ) 3U ( ) ( / 17 ( ) C V ( f ( A ) ) ) ) ) ) ) )/ E > 0 317 ( ) VX G 17 ( ) ( f ( x ) - F ( a ) = E )03s / E > > 0 / แห้ง ( X-A < 6 = > f ( x ) - F ( a ) = E )สมมูลของงบเหล่านี้สำหรับฟังก์ชันค่าจริงคือจากความจริง ( ระบุไว้แล้วหลายครั้ง ) ที่ใกล้กับจุด ประกอบด้วยละแวกที่สมมาตรของจุดตัวอย่างเช่น ถ้าใด ๆ ^ - v งใกล้กับ( f ( a ) f ( a ) หนึ่งสามารถเลือกย่าน U ( A ) ของเช่นที่ VX g u ( a ) f ( x ) - F ( a ) < e ) ว่า, F ( u ( a ) C F ง( ( ) ) แล้วสำหรับการใด ๆย่าน V ( / ( ) หนึ่งสามารถเลือกชุมชนที่สอดคล้องกันของ แน่นอนก็เขาก่อนไปมีเพื่อนบ้าน ^ - f ( V ) กับรัฐบาล( f ( a ) V ( C / ( ) และจากนั้นค้นหา u ( A )สอดคล้องกับ วี ง( f ( a ) ) แล้ว F ( u ( a ) C v ง( f ( a ) C V ( f ( a ) )ดังนั้น ถ้าฟังก์ชันเป็นอย่างต่อเนื่องที่ในความรู้สึกของที่สองของเหล่านี้ความหมายก็ยังต่อเนื่องอยู่ในแง่ของความหมายเดิมสนทนา ชัดเจน เพื่อให้ความสมดุลของ 2 ข้อความ คือตั้งขึ้นเราออกจากส่วนที่เหลือของการตรวจสอบเพื่ออ่าน