Example 7.2.1A simple random sample

Example 7.2.1

A simple random sample of 10 people from a certain population has a mean age of 27. Can we conclude that the mean age of the population is not 30? The variance is known to be 20. Let alpha = .05.

[Note: "Yes we can, if..." A way to help solve this type of problem is to answer "Yes we can, if..." In this case the question is, "Can we conclude that the mean age of the population is not 30?" Answer, "Yes we can, if we can reject the null hypothesis that it is 30." Responding to problems the same way all the time will lead to less confusion and less errors. ]

(1) Data

n = 10 sigma-squared = 20
x-bar= 27 alpha = .05

(2) Assumptions
simple random sample
normally distributed population

(3) Hypotheses

H0 : mu = 30
HA : mu not equal to30

(4) Test statistic

As the population variance is known, we use z as the test statistic.

z-score formula

(a) Distribution of test statistic

If the assumptions are correct and H0 is true, the test statistic follows the standard normal distribution. Therefore, we calculate a z score and use it to test the hypothesis.

(b) Decision rule

Reject H0 if the z value falls in the rejection region. Fail to reject H0 if it falls in the nonrejection region.

normal curve
Because of the structure of H0 it is a two tail test. Therefore, reject H0 if z less than or equal to -1.96 or z greater than or equal to 1.96.


(5) Calculation of test statistic

calculation

(6) Statistical decision

We reject the null hypothesis because z = -2.12 which is in the rejection region. The value is significant at the .05 level.

(7) Conclusion

We conclude that mu is not 30.

p = .0340

A z value of -2.12 corresponds to an area of .0170. Since there are two parts to the rejection region in a two tail test, the p value is twice this which is .0340.

A problem like this can also be solved using a confidence interval. A confidence interval will show that the calculated value of z does not fall within the boundaries of the interval. It will not, however, give a probability.

Confidence interval

confidence interval calculation

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตัวอย่าง 7.2.1

A อย่างสุ่มตัวอย่าง 10 คนจากประชากรบางอย่างมีอายุเฉลี่ยของ 27 เราสามารถสรุปว่า อายุเฉลี่ยของประชากรไม่ 30 ผลต่างรู้จักกันเป็น 20 อัลฟ่าให้ =. 05.

[หมายเหตุ: "ใช่เราสามารถ ถ้า..." วิธีที่จะช่วยแก้ปัญหาชนิดนี้จะตอบ "ใช่เราสามารถ ถ้า..." ในกรณีนี้ คำถามคือ "สามารถเราสรุปว่า อายุเฉลี่ยของประชากรไม่ 30" ตอบ "ใช่เราได้ ถ้าเราสามารถปฏิเสธสมมติฐานว่างที่ว่า มันเป็น 30" ตอบปัญหาเหมือนวิธีตลอดเวลาจะทำสับสนน้อยลง และน้อย กว่าข้อผิดพลาด ]

(1) ข้อมูล

n = 10 ลอการิทึมซิก = 20
x บาร์ =อัลฟา 27 =สมมติฐาน.05

(2)
ตัวอย่างสุ่มแบบง่าย
ปกติกระจายสมมุติฐาน population

(3)

H0: หมู่ = 30
ฮา: หมู่เท่ากับสถิติทดสอบ to30

(4)

เป็นความแปรปรวนของประชากรเป็นที่รู้จักกัน เราใช้ z เป็นสถิติทดสอบ

สูตรคะแนน z

(ก) การกระจายของสถิติทดสอบ

ถ้าสมมติฐานที่ถูกต้อง และ H0 เป็นจริง สถิติทดสอบดังต่อไปนี้การแจกแจงปกติมาตรฐาน ดังนั้น เราคำนวณคะแนน z และใช้ในการทดสอบสมมติฐาน

(b) ตัดสินใจกฎ

ปฏิเสธ H0 ถ้าค่า z อยู่ในภูมิภาคการปฏิเสธ ไม่ปฏิเสธ H0 ถ้ามันอยู่ใน nonrejection ภูมิภาค

ปกติโค้ง
เนื่องจากโครงสร้างของ H0 เป็นการทดสอบสองหาง ปฏิเสธ H0 ดังนั้น ถ้า z น้อยกว่า หรือเท่ากับ-1.96 หรือ z มากกว่า หรือเท่ากับ 1.96 คำนวณสถิติทดสอบ


(5)

คำนวณ

(6) ตัดสินใจสถิติ

เราปฏิเสธสมมติฐานเป็น null เนื่องจาก z = -212 ซึ่งอยู่ในภูมิภาคการปฏิเสธ ค่ามีความสำคัญที่ level.

(7) .05 สรุป

เราสรุปหมู่ที่ไม่ใช่ 30.

p =. 0340

ค่า z-2.12 สอดคล้องกับพื้นที่ของ.0170 เนื่องจากมีสองส่วนเพื่อให้การปฏิเสธในการทดสอบสองหาง ค่า p เป็นสองครั้งซึ่งเป็นได้ 0340 ได้

มีปัญหาเช่นนี้สามารถยังสามารถแก้ไขได้โดยใช้ช่วงความเชื่อมั่นได้ ช่วงความเชื่อมั่นจะแสดงว่า ค่า z ที่คำนวณได้อยู่ภายในขอบเขตของช่วงเวลา มันจะไม่ อย่างไรก็ตาม ให้ความน่าเป็น

ช่วงความเชื่อมั่น

คำนวณช่วงความเชื่อมั่น

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่าง 7.2.1

ตัวอย่างโดยการสุ่มอย่างง่ายจากประชากร 10 คนหนึ่งที่มีอายุเฉลี่ย 27 ปี เราสามารถสรุปได้ว่า อายุเฉลี่ยของประชากรไม่ได้ 30 ? แปรปรวนเป็นที่รู้จักกันเป็น 20 ให้อัลฟา = . 05 .

[ หมายเหตุ : " ใช่ เราทำได้ ถ้า . . . . . . . " วิธีที่จะช่วยแก้ปัญหาชนิดนี้เป็นคำตอบว่า " ใช่ เราทำได้ ถ้า . . . . . . . " ในกรณีนี้ คำถามคือ" เราสามารถสรุปได้ว่า อายุเฉลี่ยของประชากรไม่ได้ 30 ? ตอบ " ใช่ เราทำได้ ถ้าเราสามารถปฏิเสธสมมติฐานว่าง มันเป็น 30 " ตอบปัญหาแบบเดียวกับที่ตลอดเวลาจะทำให้เกิดความสับสนและผิดพลาดน้อยลง น้อยลง ]

( 1 ) ข้อมูล

n = 10 Sigma ยกกำลังสอง = 20
กซ์ บาร์ = 27 อัลฟา = . 05

( 2 ) สมมติฐาน

แจกประชากรตัวอย่างแบบง่ายปกติ

( 3 ) สมมติฐาน

H0 : มู = 30
ฮา : มูไม่เท่ากับ to30

( 4 ) สถิติทดสอบ

เป็นประชากร ความรู้ ที่เราใช้เป็น ตัวสถิติทดสอบ Z .

คะแนนสูตร

( )

ถ้าการแจกแจงของสถิติทดสอบสมมติฐานที่ถูกต้องและ H0 เป็นจริง สถิติทดสอบการแจกแจงปกติแบบมาตรฐาน ดังนั้นเราคำนวณ Z คะแนน และใช้ในการทดสอบสมมติฐาน

( B )

กฎการตัดสินใจถ้าปฏิเสธ H0 Z ค่าตกอยู่ในการภูมิภาค ล้มเหลวในการปฏิเสธ H0 ถ้ามันตกอยู่ใน nonrejection ภูมิภาค โค้งปกติ


เพราะโครงสร้างของ H0 เป็นสองหางทดสอบ ดังนั้น ถ้าปฏิเสธ H0 Z น้อยกว่าหรือเท่ากับ -1.96 หรือ z มากกว่าหรือเท่ากับ 1.96 .


( 5 ) การคำนวณการคำนวณสถิติทดสอบ



( 6 ) สถิติการตัดสินใจ

เราปฏิเสธสมมติฐานโมฆะเพราะ Z = - 212 ซึ่งอยู่ในการปฏิเสธ ) มูลค่าอย่างมีนัยสำคัญ ทางสถิติที่ระดับ . 05

( 7 ) สรุป

สรุปว่ามิวไม่ใช่ 30

p = . 0340

z -2.12 สอดคล้องกับค่าของพื้นที่ของ 0170 . เนื่องจากมีสองส่วนเพื่อปฏิเสธเขตในการทดสอบสองหาง , ค่า P สองครั้งนี้ซึ่งเป็น 0340

ปัญหาแบบนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้ช่วงความเชื่อมั่น .มีความเชื่อมั่นที่จะแสดงให้เห็นว่าคํานวณค่า Z ไม่ได้ตกอยู่ภายในขอบเขตของช่วง มัน จะไม่ อย่างไรก็ตาม ให้ความน่าจะเป็น ช่วงความเชื่อมั่น






ช่วงความเชื่อมั่นที่คำนวณ