A SIMPLE PROOF OF CARMICHAELfS THEO

A SIMPLE PROOF OF CARMICHAELf
S THEOREM
ON PRIMITIVE DIVISORS
Minora Yabuta
46-35 Senriokanaka Suita-sl, Osaka 565-0812, Japan
(Submitted September 1999-Final Revision March 2000)
1. INTRODUCTION
For arbitrary positive integer «, numbers of the form Dn = {an
-pn
)l{a-fJ) are called the
Lucas numbers, where a and fi are distinct roots of the polynomial f(z) = z
2 -Lz + M, and L
and Mare integers that are nonzero. The Lucas sequence (D): Dh D2, D3,... is called real when
a and ft are real. Throughout this paper, we assume that L and M are coprime. Each Dn is an
integer. A prime p is called a primitive divisor of Dn ifp divides Dn but does not divide Dm for
0 0 in this paper.
In 1913, Carmichael [2] established the following.
Theorem 1 (Carmichael): If a and /} are real and n & 1,2,6, then Dn contains at least one primitive
divisor except when « = 12, L = M = -l,
In 1974, Schinzel [6] proved that if the roots off are complex and their quotient is not a root
of unity and if n is sufficiently large then the w* term in the associated Lucas sequence has a
primitive divisor. In 1976, Stewart [7] proved that if n - 5 or n > 6 there are only finitely many
Lucas sequences that do not have a primitive divisor, and they may be determined. In 1995,
Voutier [8] determined all the exceptional Lucas sequences with n at most 30. Finally, Bilu,
Hanrot, and Voutier [1] have recently shown that there are no other exceptional sequences that
do not have a primitive divisor for the w* term with n larger than 30.
The aim of this paper is to give an elementary and simple proof of Theorem 1. To prove that
Theorem 1 istrue for all real Lucas sequences, it is sufficient to discuss the two special sequences,
namely, the Fibonacci sequence and the so-called Fermat sequence.
2* A SUFFICIENT CONDITION THAT Dn HAS A PRIMITIVE DIVISOR
Let n > 1 be an integer. Following Ward [9], we call the numbers

n
(r,n)=l
the cyclotomic numbers associated with the Lucas sequence, where a, fi are the roots of the
polynomial f(z) = z
2
-Lz + M and the product is extended over all positive integers less than n
and prime to n. Each Qn is an integer, and Dn = Hd
Qm where the product is extended over all
divisors d of n. Hence, p is a primitive divisor of Dn if and only lip is a primitive divisor of Qn.
Lemma 1 below was shown by several authors (Carmichael, Durst, Ward, and others).
2001] 439
A SIMPLE PROOF OF CARMICHAEL'S THEOREM ON PRIMITIVE DIVISORS
Lemma 1: Let/? be prime and let k be the least positive value of the index i such that/? divides
Dr If n ^ 1,2,6 and if/? divides Qn and some Qm with 0plp2--PiProof:
We prove the contraposition. Suppose that Dn has no primitive divisors. lip is an
arbitrary prime factor of Qn, thenp divides some Qm with 0 2 be an arbitrary fixed integer. If a and J3 are real, then gw has its least value
either when L = 1 and M = -1 or when Z = 3 and M = 2.
Proof: Take an arbitrary #r and fix it. Since n > 2, we have 0 < 0r < 4. Thus, if M < 0, we
have L2 - M0r >l + 0r, with equality holding only in the case L = 1, M = - 1 . When M > 0, consider
the cases M = 1, M > 1. In the first case we have L > 3, so that
Z2 -M0 r > 9 - 0 r > 9 - 2 l 9 r .
Now assume M > 1. Then, since L2 > 4M+1, we have
Z2 -M^ r > 4M+ l-Mi 9 r = 9 - 2 ^ r + ( M - 2 )( 4 - ^ r ) > 9 - 2 ^ r
with equality holding only in the case M = 2, L.= 3. Hence, by formula (3), we have completed

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หลักฐานเรื่อง CARMICHAELfทฤษฎีบท Sในหารดั้งเดิมMinora YabutaSenriokanaka Suita sl 46-35, 565-0812 โอซาก้าประเทศญี่ปุ่น(ส่ง 1999 กันยายนสุดท้ายปรับปรุง 2000 มีนาคม)1. บทนำสำหรับจำนวนเต็มบวกอำเภอใจ «, หมายเลขของฟอร์ม Dn = {การ-pn) l {a-fJ) เรียกว่าการหมายเลข Lucas ที่เป็น และมีรากทั้งหมดของ f(z) พหุนาม = z2 -Lz + M และ Lและจำนวนเต็มแมร์ที่ nonzero ลำดับ Lucas (D): Dh D2 ดี 3,...คือจริงเมื่อการ และฟุตเป็นจริง ทั้งนี้กระดาษ เราคิดว่า L และ M เป็น coprime แต่ละ Dn เป็นการเลขจำนวนเต็ม เรียกว่าตัวหารดั้งเดิมของ Dn ifp แบ่ง Dn p เฉพาะ แต่แบ่ง Dm สำหรับ0ดวร์สท [4] สังเกต ศึกษาตัวหารดั้งเดิม มัน suffices จะ L > 0 ดังนั้น เราสมมติ L > 0 ในเอกสารนี้ในปี 1913, Carmichael [2] สร้างต่อไปนี้ทฤษฎีบท 1 (Carmichael): ถ้ามี และ / } เป็นจริง n และ 1,2,6 แล้ว Dn ประกอบด้วยกับขึ้นน้อยหารเอง « = 12, L = M = -l1974, Schinzel [6] พิสูจน์ที่หากรากออกจะซับซ้อน และผลหารของพวกเขาไม่ใช่รากสามัคคีและถ้า n มีขนาดใหญ่พอ แล้วระยะ w * ในลำดับ Lucas เกี่ยวข้องได้หารดั้งเดิม ในปี 1976 สจ๊วต [7] พิสูจน์ถ้า n - 5 หรือ n > 6 มีเฉพาะ finitely มากLucas ลำดับที่ไม่มีตัวหารดั้งเดิม และอาจกำหนด ใน 1995Voutier [8] กำหนดทั้งหมดยกเว้น Lucas ลำดับที่ มี n มากที่สุด 30 สุดท้าย BiluHanrot, and Voutier [1] have recently shown that there are no other exceptional sequences thatdo not have a primitive divisor for the w* term with n larger than 30.The aim of this paper is to give an elementary and simple proof of Theorem 1. To prove thatTheorem 1 istrue for all real Lucas sequences, it is sufficient to discuss the two special sequences,namely, the Fibonacci sequence and the so-called Fermat sequence.2* A SUFFICIENT CONDITION THAT Dn HAS A PRIMITIVE DIVISORLet n > 1 be an integer. Following Ward [9], we call the numbers<>r<>n(r,n)=lthe cyclotomic numbers associated with the Lucas sequence, where a, fi are the roots of thepolynomial f(z) = z2-Lz + M and the product is extended over all positive integers less than nand prime to n. Each Qn is an integer, and Dn = Hd
Qm where the product is extended over alldivisors d of n. Hence, p is a primitive divisor of Dn if and only lip is a primitive divisor of Qn.Lemma 1 below was shown by several authors (Carmichael, Durst, Ward, and others).2001] 439 A SIMPLE PROOF OF CARMICHAEL'S THEOREM ON PRIMITIVE DIVISORSLemma 1: Let/? be prime and let k be the least positive value of the index i such that/? dividesDr If n ^ 1,2,6 and if/? divides Qn and some Qm with 0n~prk with r >1.Now suppose that n has a prime-power factorization n = p*lp22..*Pil, where Pi,p2,---,Pi a r edistinct primes and £1? e2,...,el are positive integers. Lemma 1 leads us to the following lemma(cf. Halton [5], [9] Ward)จับมือที่ 2: ให้ n และ 1,2,6 เงื่อนไขเพียงพอว่า Dn ประกอบด้วยหารน้อยดั้งเดิมเป็นที่ Qn > plp2 - PiProof:เราพิสูจน์ contraposition สมมติว่า Dn มีหารไม่ดั้งเดิม lip เป็นการกำหนดเฉพาะปัจจัยของห้องพัก Qm กับบางอย่างแบ่งออก thenpp2 แบ่ง Q ดังนั้น ห้องพักแบ่ง PiP2... ph ดังนั้น Qn < pP2 — ปี่ - •เราพิสูจน์ทฤษฎีบทของ CarmichaePs ขึ้นอยู่กับต่อไปนี้ทฤษฎีบทที่ 2: ถ้า n * 1,2,6 และถ้าทั้งสอง rfi1 cyclotornic หมายเกี่ยวข้องกับ z2 - z -1 และเกี่ยวข้องกับ z2-3z + 2 มีค่ามากกว่าผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของ n แล้ว สำหรับทุกจริงลำดับ Lucas, Dn ประกอบด้วยหารน้อยดั้งเดิมตอนนี้สมมติให้ n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 และมี และมีจริง คือ ฉัน -เป็นบวก ขณะที่ผู้ป่วยสังเกตQ,(a,fi) = X(a-? P) {a-CrP) (1)= U ((cc+fi) 2-น. + Cr+ C % (2)ที่ C, -e2mln และผลิตภัณฑ์ขยายไปเต็ม posjtive ทั้งหมดน้อยกว่า nil และนายกรัฐมนตรีตัน ตั้งแต่ -p~L- และ aj3 = M โดยใส่ 0r = 2 gr + £~ rเรามีห้องพัก = Qn(a^) = Il (L2-M0ry (3)แก้ไขการกำหนด n > 2 แล้ว ห้องพักสามารถถือเป็นฟังก์ชันของตัวแปร M และ L เราต้องสนทนาสำหรับอะไรค่า ofZ และ M 71th cyclotornic จำนวนห้องพักมีค่าน้อยที่สุดจับมือที่ 3: ให้ /1 > 2 จะกำหนดคงที่จำนวนเต็ม ถ้ามี และ J3 เป็นจริง แล้ว gw มีค่าน้อยที่สุดใดเมื่อ L = 1 และ M = -1 หรือเมื่อ Z = 3 และ M = 2Proof: Take an arbitrary #r and fix it. Since n > 2, we have 0 < 0r < 4. Thus, if M < 0, wehave L2 - M0r >l + 0r, with equality holding only in the case L = 1, M = - 1 . When M > 0, considerthe cases M = 1, M > 1. In the first case we have L > 3, so thatZ2 -M0 r > 9 - 0 r > 9 - 2 l 9 r .Now assume M > 1. Then, since L2 > 4M+1, we haveZ2 -M^ r > 4M+ l-Mi 9 r = 9 - 2 ^ r + ( M - 2 )( 4 - ^ r ) > 9 - 2 ^ rwith equality holding only in the case M = 2, L.= 3. Hence, by formula (3), we have completed

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลักฐานที่เรียบง่ายของ CARMICHAELf
S ทฤษฎีบท
ON หารดั้งเดิม
minora Yabuta
46-35 Senriokanaka Suita-SL โอซาก้า 565-0812, ญี่ปุ่น
(Submitted กันยายน 1999 สุดท้าย Revision มีนาคม 2000)
1 บทนำสำหรับจำนวนเต็มบวกโดยพล«ตัวเลขของรูปแบบ Dn = {ที่ -pn) ลิตร {a-FJ) จะเรียกว่าตัวเลขลูคัสซึ่งเป็นสายและมีรากที่แตกต่างกันของฉพหุนาม (ซี) = ซี 2 -Lz + M และ L และจำนวนเต็ม Mare ที่มีเลข ลำดับที่ลูคัส (D): Dh D2, D3, ... เรียกว่าจริงเมื่อและฟุตเป็นจริง ตลอดบทความนี้เราคิดว่า L และ M มี coprime Dn แต่ละคนเป็นจำนวนเต็ม พีสำคัญที่เรียกว่าตัวหารดั้งเดิมของ Dn IFP แบ่ง Dn แต่ไม่ได้แบ่ง Dm สำหรับ0








กล้า [4] สังเกตในการศึกษาของตัวหารดั้งเดิมก็พอเพียงที่จะใช้ L> 0 ดังนั้นเรา. ถือว่า L> 0 ในเอกสารนี้ในปี1913 คาร์ไมเคิ [2] ที่จัดตั้งขึ้นดังต่อไปนี้. ทฤษฎีบทที่ 1 (คาร์ไมเคิ): ถ้าและ /} เป็นจริงและ n และ 1,2,6 แล้ว Dn มีอย่างน้อยหนึ่ง ดั้งเดิมหารยกเว้นเมื่อ« = 12, L = M = -l, ในปี 1974, Schinzel [6] ได้รับการพิสูจน์ว่าถ้ารากออกมีความซับซ้อนและความฉลาดของพวกเขาไม่ได้เป็นรากของความสามัคคีและถ้าn คือขนาดใหญ่พอจากนั้นกว้าง * การ ระยะในลำดับที่ลูคัสที่เกี่ยวข้องมีตัวหารดั้งเดิม ในปี 1976 สจ๊วต [7] ได้รับการพิสูจน์ว่าถ้า n - 5 หรือ n> 6 มีเพียงขีดหลายลำดับลูคัสที่ไม่ได้มีตัวหารดั้งเดิมและพวกเขาอาจได้รับการพิจารณา ในปี 1995 Voutier [8] กำหนดลำดับทั้งหมดที่ลูคัสที่โดดเด่นด้วย n ที่มากที่สุด 30. สุดท้าย Bilu, Hanrot และ Voutier [1] เมื่อเร็ว ๆ นี้ได้แสดงให้เห็นว่าไม่มีลำดับที่โดดเด่นอื่น ๆ ที่ไม่ได้มีตัวหารดั้งเดิมสำหรับนW * ยาวกับ n มีขนาดใหญ่กว่า 30 จุดมุ่งหมายของการวิจัยนี้คือการให้หลักฐานเบื้องต้นและเรียบง่ายของทฤษฎีบท 1. เพื่อพิสูจน์ว่าทฤษฎีบท1 istrue สำหรับลำดับลูคัสจริงทั้งหมดก็จะเพียงพอที่จะหารือเกี่ยวกับลำดับสองพิเศษได้แก่ ลำดับฟีโบนักชีและลำดับของแฟร์มาต์ที่เรียกว่า. 2 * เงื่อนไขที่เพียงพอที่ Dn มีตัวหารดั้งเดิมให้n> 1 เป็นจำนวนเต็ม ต่อไปนี้วอร์ด [9] เราเรียกตัวเลข <> R <> n (R, n) = ลิตรตัวเลขcyclotomic ที่เกี่ยวข้องกับการลำดับลูคัสซึ่งเป็นสายรากของฉพหุนาม(ซี) = z ที่2 -Lz + M กับสินค้าจะขยายมากกว่า integers บวกทั้งหมดน้อยกว่า n และที่สำคัญถึง n Qn แต่ละคนเป็นจำนวนเต็มและ Dn = Hd n Qm สินค้าที่จะขยายไปทั่วตัวหารของd n ดังนั้นพีเป็นตัวหารดั้งเดิมของ Dn ถ้าและริมฝีปากเพียง แต่เป็นตัวหารดั้งเดิมของ Qn. บทแทรกที่ 1 ด้านล่างแสดงให้เห็นโดยผู้เขียนหลายคน (คาร์ไมเคิกล้าวอร์ดและอื่น ๆ ). 2001] 439 หลักฐานที่เรียบง่ายของ CARMICHAEL ของทฤษฎีบท ON ดั้งเดิม หารบทแทรก1: Let /? เป็นสำคัญและให้ k เป็นค่าบวกน้อยที่สุดของฉันเช่นดัชนีที่ /? แบ่งดรถ้า n ^ 1,2,6 และถ้า /? แบ่ง Qn และบาง Qm 0




























n ~ ราคา
k กับอา> 1.
ตอนนี้คิดว่า n มีตัวประกอบที่สำคัญพลังงาน n = * p ลิตร
p2
2
.. * Pil
ที่ Pi, p2, ---, Pi
เป็นช่วงเวลาที่แตกต่างกันและ£ 1 e2, ... , เอลเป็นจำนวนเต็มบวก บทแทรก 1 ทำให้เราแทรกดังต่อไปนี้
(cf Halton [5] วอร์ด [9]).
บทแทรกที่ 2: ให้ n และ 1,2,6 เงื่อนไขเพียงพอที่ Dn มีอย่างน้อยหนึ่งตัวหารดั้งเดิมคือว่า Qn > plp2 - PiProof: เราพิสูจน์ contraposition สมมติว่ามีใคร Dn หารดั้งเดิม ริมฝีปากเป็นปัจจัยสำคัญโดยพลการของ Qn, thenp แบ่ง Qm บางอย่างกับ 0


พี
2 ไม่ได้แบ่ง Q ,. ดังนั้น Qn แบ่ง PiP2 ... ค่า pH เพื่อ Qn <p -P2 Pi-
•หลักฐานของเราทฤษฎีบทCarmichaePs ขึ้นอยู่กับการต่อไป.
ทฤษฎีบทที่ 2: ถ้า n * 1,2,6 และถ้าทั้งสอง rfi1 cyclotornic จำนวน ที่เกี่ยวข้องกับซี
2 - ซี -1
และที่เกี่ยวข้องกับซี
2
-3z + 2 มีมากขึ้นกว่าผลิตภัณฑ์ของปัจจัยที่สำคัญทั้งหมดของ n
แล้วสำหรับทุกลำดับลูคัสจริงDn มีอย่างน้อยหนึ่งตัวหารดั้งเดิม.
ตอนนี้คิดว่า n เป็นจำนวนเต็มมากกว่า 2 และและสายเป็นจริงที่ผม? - AM
เป็นบวก ขณะที่วอร์ดสังเกตคิว (มีสาย) = X (a-? P) {a-Cr P) (1) = U ((ซีซี + FI) 2 -am Cr + + C% (2) ที่ C , -e2mln และผลิตภัณฑ์ที่มีการขยายมากกว่าจำนวนเต็ม posjtive ทั้งหมดน้อยกว่าศูนย์และที่สำคัญ. ตันตั้งแต่ - p - ~ L และ M = aj3 โดยวาง 0r = 2 กรัม + + £ ~ อาเรามีQn = Qn ( a ^) = Il (L2 -M0ry (3) แก้ไขโดยพล n> 2. จากนั้น Qn ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชั่นของตัวแปร L เมตรและเราจะหารือเกี่ยวกับสิ่งที่มีค่าOFZ และ M 71 ชั้นจำนวน cyclotornic Qn มีของ ค่าน้อย. บทแทรก 3: Let / 1> 2 เป็นจำนวนเต็มคงที่โดยพลการและหาก J3 เป็นจริงแล้ว GW มีค่าน้อยของ. ทั้งเมื่อ L = 1 และ M = -1 หรือเมื่อ Z = 3 และ M = 2 พิสูจน์: ใช้เวลา smilie # R โดยพลการและแก้ไขได้ตั้งแต่ n> 2 เรามี 0 <0r <4. ดังนั้นหาก M <0 เรา. มี L2 - M0r> L + 0r มีความเท่าเทียมกันถือเฉพาะในกรณีที่ L = 1, M = -. 1 เมื่อ M> 0 พิจารณากรณีM = 1 M> 1. ในกรณีแรกที่เรามี L> 3 เพื่อให้Z2 -M0 R> 9-0 อา> 9-2 ลิตร 9 . อาร์ตอนนี้ถือว่าM> 1 แล้วตั้งแต่ L2> 4M + 1, เรามีZ2 -M ^ R> 4M + l-Mi 9 r = 9-2 ^ R + (M - 2) (4 - ^ R)> 9-2 ^ อาร์ที่มีความเท่าเทียมกันถือเฉพาะในกรณีM = 2 ลิตร = 3 ดังนั้นจากสูตร (3) เราได้เสร็จสิ้น