1. IntroductionInspecting a mathema

1. Introduction
Inspecting a mathematics textbook might give an impression that, in order to be
competent with decimal numbers, all that students need to do is to remember a few
mechanical rules for placing the decimal point, and otherwise perform operations with
decimal numbers as if they were whole numbers (Steinle, 2004). However, when asking a
student to compare 4.8 and 4.75, he/she will choose 4.75 as the larger number because 75 is
bigger that 8 (Steinle, 2004). These observations reflect that the students have neither sense
of the quantitative value of decimal numbers nor any understanding of the place value of each
decimal place though the basic concepts of decimal numbers such as the place value and its
relation with fraction are discussed at the early stage of learning decimals. Thus, students’
computation skills on four operations of decimals are merely rote learning and devoid of any
meaning. With this reason, the research aimed at firstly, unfolding students’ misconception of
decimal number and secondly, understanding whether the connections between conceptual
and procedural knowledge exist when completing decimal tasks.
2. Mathematical analysis of decimal numbers
Decimal numbers are number that can be represented by base-10 numerals with digits
to the right as well the left of the decimal point (Hiebert, 1992). The decimal notation system
is designed to represent quantities that have been measured with units and parts of units. In
contrast to common fractions, decimals require that the parts of units have a specified size
relationship to the unit: tenth, hundredth, thousandth of a unit and so on. Hiebert (1992)
concluded that decimal system could be captured in three principles. The following is the
summary of his analysis.
Principle 1: The value of a digit is a function of its position in the numeral. The value of a
particular position is determined by beginning with the unit and, if moving to the right,
dividing the previous value by 10 and, if moving to the left, multiplying the previous value by
10. The ones position is marked with a decimal point on its immediate right. One
consequence of this principle is that the relationship between any two adjacent places is that
the one on the left is worth 10 times as much as the one on the right or, alternatively, the one
on the right is worth one tenth as much as the one on the left.
Principle 2: The value of a digit is the product of its faces value and its places value. The face
value is the value of a digit without considering its position in the numeral. Multiplying the
face value of a digit times its place value gives the canonical value of the digit, the value in
terms of the number of units of quantity. The value of a digit can be expressed in an endless
variety of ways. For example, the canonical value of 6 could be 6 tenths or 60 hundredths.
Principle 3: The value of a numeral is the sum of the values of the individual digit.
3. Conceptual and procedural knowledge of decimals
Conceptual knowledge in general is defined as knowledge of those facts and
properties of mathematics that are recognised as being related in some ways (Hiebert, 1986).
Wearne and Hiebert (1988) hold similar view and describe it as semantic-based processes
which mean connections between symbols with referents and development of rules by
observing actions on referents. To be more specific, the conceptual knowledge of decimals is
(i) knowledge of concrete or visual objects that can be measured by units, tenths of units, HKIEd International Conference on Primary Education 2009 Proceedings
3
hundredths of units, and so on (Hiebert, 1992; Resnick el at., 1989); and (ii) knowledge of
what happens when the decimals are moved, partitioned, combined, or acted upon in other
ways (Hiebert, 1992). In short, a student who understands thoroughly the concept of decimals
should be able to provide meaning for the symbol notation and provide the reasons for the
symbols rules such as lining up the decimal points before adding or subtracting; dividing the
denominator into the numerator to write a common fraction as a decimal (Hiebert, 1992).
In contrast, procedural knowledge is characterized by the absence of embedding
relationships. Resnick and his colleagues (1989) hold similar view and state that children
always construct erroneous rules without reference to the conceptual content or the meaning
of arithmetic. Wearne and Hiebert (1988) describe it as syntactic processes which mean
developing symbol-manipulation procedures and rountinizing the rules for symbols without
thoroughly understanding the mathematical relationship behind. According to Hiebert (1986),
procedural knowledge of decimals is best thought of in two parts. One part is the knowledge
of written symbols in the syntactic system. This does not necessarily include knowledge of
what the symbols mean, what quantities they represent (Hiebert, 1992). The second part is the
set of rules and algorithms that are used to solve mathematics problems. These procedures are
step-by-step prescriptions for moving from the problem statement to the solution.
Hiebert (1992) concludes that conceptual knowledge is the knowledge that is rich in
relationships but not rich in techniques for completing tasks while procedural knowledge is
rich in rules and strategies but not rich in relationships.
4. Methodology
A test on decimal numbers was constructed following the development and the
measurement concepts in the Hong Kong primary mathematics curriculum (2000), which
includes the following areas:
1. The meaning of decimal notation
2. The concept of place value in decimals
3. Comparison of decimals
4. The addition and subtraction of decimals
5. Renaming single unit to double units or vice versa
6. Multiplication of decimals
7. Division of decimals
8. Convert decimals into fractions
A content validity panel was set up, which includes primary mathematics education
researchers, experienced primary mathematics teachers as well as pre-service primary
mathematics education students. The test was modified after suggestions were given by the
content validity panel. Pilot studies were done with a class of secondary one students twice,
with a period of time in between, to test its reliability and it was satisfactory.
350 primary six students from six schools were invited to do the test. The test was
administered to the participating students after the tested areas had been taught. Samples of
participating students with observed critical features were interviewed. Their misconceptions
are discussed in the next section and pseudo-names are used.HKIEd International Conference on Primary Education 2009 Proceedings
4
5. Findings and Discussion
Altogether thirty-three primary six students whose written tests were identified some
critical features of misconceptions and seven students whose written test got nearly 98%
correct were interviewed. It was purposefully to interview them for unfolding their
understanding of conceptual knowledge in connection with procedural knowledge. They were
probed to answer different questions on the first principle of decimal numbers, relationship
between fraction and decimal, renaming a quantity from single unit to double units or vice
versa, the concept of the rules for written computation procedures of four operations of
decimal numbers such as lining up the decimal point for addition and subtraction. It was
found that most of the students’ knowledge was based on erroneous rules without reference to
the conceptual content or the meaning of arithmetic. The following discussion will mainly
focus on the seven more able students’ interviews.
5.1 Case 1: Renaming single unit to double units or vice versa
One of the students, Peter, could tell clearly the procedure for renaming a quantity
from double units to single unit but he did not conceptually make referent to fraction. The
following is part of the interview (I: interviewer; S: student).
I: How can you change 1m and 32cm into 1.32m?
S: Teacher taught us that we could divide 32cm by 100. It is just that because of 100, you
count two places from the most right of 32 to the left and place the decimal point there and
put a zero on the left of the decimal point if it is 32 cm but it is 1m and 32cm, so you put 1
instead of zero.
I: Why do you do in this way? Why you count two places but not 3 or less places?
S: Because there are 100cm in 1 m and two zero in 100.
Only one of the students, David, mentioned one time the inter-relationship between
fraction and decimal when explaining his procedures for renaming a quantity from double
units to single unit. The following is what he said.
I: How do you rewrite 2.05m into 2m and 5cm?
S: The 2 in 2.05 means two metres and the 0.05 is 5/100 m which means 5 cm because there
are 100 cm in one metre.
5.2 Case 2: The addition and subtraction of decimals
However, when further asking David the rationale for lining up decimal point for
computing addition and subtraction and why it works, he could not explain conceptually that
we have to put the same things together (i.e., units together, tenths together, hundredth
together and so on) but apparently over-generalized certain aspects of whole number
knowledge of operation symbol. The following interaction illustrates this point.HKIEd International Conference on Primary Education 2009 Proceedings
5
I: How can you get the answer of 11.24 – 3.07?
S: You firstly line up the decimal point. Then you treat them as whole numbers such that you
subtract 307 from 1124.
I: How about 5.02 + 1.99?
S: Same as subtraction.
I: Why do you need to align the decimal point? How about if you do not align it?
S: I don't know. This is what my teacher told.
For some students especially the low ability students, they believed that if the decimal points
were not aligned, then two decimal points would need to be placed in the answer and you did
not know which place was f

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำตรวจสอบหนังสือคณิตศาสตร์อาจให้ภาพที่ เพื่อให้เชี่ยวชาญ ด้วยตัวเลขทศนิยม ทั้งหมดที่นักเรียนต้องทำคือการจำกี่เครื่องกลกฎการวางจุดทศนิยม และหรือ ดำเนินการด้วยทศนิยมตัวเลขว่าเป็นเลขจำนวนเต็ม (Steinle, 2004) อย่างไรก็ตาม เมื่อถามเป็นนักเรียนเปรียบเทียบ 4.8 และระดับ 4.75 เขาจะเลือกระดับ 4.75 เป็นหมายเลขที่มีขนาดใหญ่เนื่องจาก 75 ใหญ่ที่ 8 (Steinle, 2004) ข้อสังเกตเหล่านี้สะท้อนว่า นักเรียนมีความรู้สึกไม่ ค่าเชิงปริมาณของตัวเลขทศนิยมหรือความเข้าใจใด ๆ ของค่าสถานที่แต่ละ ทศนิยมทำแม้ว่าแนวคิดพื้นฐานของตัวเลขทศนิยมเช่นค่าสถานที่และ ความสัมพันธ์กับเศษส่วนจะอภิปรายในระยะแรก ๆ ของการเรียนทศนิยม ดังนั้น นักเรียน เพียงอาจจะคำนวณทักษะในการดำเนินงานสี่ของทศนิยมและ ไร้ใด ๆ ความหมาย ด้วยเหตุนี้ การวิจัยมุ่งหมายประการแรก แฉเข้าใจนักเรียนของ เลขทศนิยม และประการที่สอง ความเข้าใจว่าการเชื่อมต่อระหว่างแนวคิด และมีความรู้ขั้นตอนเมื่อเสร็จสิ้นงานทศนิยม2. คณิตศาสตร์วิเคราะห์ตัวเลขทศนิยมตัวเลขทศนิยมเป็นเลขที่สามารถแทน ด้วยตัวเลขฐาน 10 มีเลขทางด้านขวา เช่นด้านซ้ายของจุดทศนิยมจุด (Hiebert, 1992) ระบบสัญลักษณ์ทศนิยม ถูกออกแบบมาเพื่อแสดงปริมาณที่มีการวัด ด้วยหน่วยและส่วนของหน่วย ใน ความแตกต่างกับทั่วไปเศษส่วน ทศนิยมต้องให้ส่วนของหน่วยมีขนาดระบุ ความสัมพันธ์กับหน่วย: สิบ ร้อย พันหน่วยและอื่น ๆ Hiebert (1992) สรุประบบทศนิยมที่สามารถจับภาพในสามหลัก ต่อไปนี้ สรุปการวิเคราะห์ของเขาหลักที่ 1: ค่าของตัวเลขคือ ฟังก์ชันของตำแหน่งในตัวเลข ค่าของการเฉพาะตำแหน่งจะถูกกำหนด โดยเริ่มต้นด้วยหน่วย และ การย้าย การหารค่าก่อนหน้านี้ ด้วย 10 และ ถ้าเลื่อนไปทางซ้าย คูณค่าโดยก่อนหน้านี้ 10. ตำแหน่ง มีจุดทศนิยมบนขวาทันทีที่เครื่อง หนึ่ง ผลมาจากหลักการนี้คือความสัมพันธ์ระหว่างสถานอยู่ติดกันมีสองที่ ในซ้ายเที่ยว 10 ครั้งเป็นมากเป็นหนึ่งทางด้านขวาหรือ หรือ หนึ่ง ด้านขวาเป็นมูลค่าหนึ่งสิบเท่าด้านซ้ายหลักที่ 2: ค่าของตัวเลขเป็นผลคูณของค่าของใบหน้าและค่าสถาน หน้า ค่าคือ ค่าของตัวเลขโดยพิจารณาในรูป คูณ มูลค่าตัวเลขเวลาเป็นค่าให้ค่าของตัวเลข ค่าในมาตรฐาน เงื่อนไขของจำนวนของหน่วยของปริมาณ สามารถแสดงค่าของตัวเลขในการสิ้นสุด หลากหลายวิธี ตัว ค่ามาตรฐานของ 6 อย่าง 6 หนึ่งตำแหน่งหรือ 60 เป็นหนึ่งส่วนร้อยหลักที่ 3: ค่าของตัวเลขคือ ผลรวมของค่าของตัวเลขแต่ละ3. ความรู้แนวคิด และขั้นตอนของทศนิยมความรู้แนวคิดทั่วไปถูกกำหนดให้เป็นความรู้ข้อเท็จจริงเหล่านั้น และคุณสมบัติของคณิตศาสตร์ที่ยังเป็นเกี่ยวข้องในบางวิธี (Hiebert, 1986) Wearne และ Hiebert (1988) ค้างดูคล้าย และอธิบายถึงกระบวนการที่เป็นความหมายตาม ซึ่งหมายถึง การเชื่อมต่อระหว่างสัญลักษณ์กับ referents และพัฒนากฎด้วย การดำเนินการสังเกตบน referents ให้เฉพาะเจาะจงมากขึ้น มีความรู้แนวคิดของทศนิยม (i) ความรู้คอนกรีต หรือภาพวัตถุที่สามารถวัดได้ โดยหน่วย หนึ่งตำแหน่งของหน่วย ประชุมนานาชาติ HKIEd ตอนปี 2009 การศึกษาหลัก3เป็นหนึ่งส่วนร้อยของหน่วย และอื่น ๆ (Hiebert, 1992 Resnick เอล at., 1989); และความรู้ (ii) เกิดอะไรขึ้นเมื่อทศนิยมถูกย้าย กั้น รวม หรือดำเนินการในที่อื่น ๆ วิธี (Hiebert, 1992) ในระยะสั้น นักเรียนที่ต้องเข้าใจแนวคิดของทศนิยม ควรจะให้ความหมายในสัญลักษณ์เครื่องหมาย และให้เหตุผลในการ สัญลักษณ์กฎเช่นซับก่อนเพิ่ม หรือ ลบ ค่าจุดทศนิยม แบ่งการ ตัวหารเป็นตัวเศษเขียนทั่วไปเศษส่วนเป็นทศนิยม (Hiebert, 1992)ในทางตรงกันข้าม รู้ขั้นตอนเป็นลักษณะของการฝังความสัมพันธ์ Resnick และเพื่อนร่วมงานของเขา (1989) ค้างไว้ดูและรัฐคล้ายเด็กที่สร้างกฎมีข้อผิดพลาด โดยอ้างอิงเนื้อหาแนวคิดหรือความหมายเสมอ ของเลขคณิต Wearne และ Hiebert (1988) อธิบายว่า กระบวนการเป็นทางไวยากรณ์ซึ่งหมายถึง พัฒนากระบวนการจัดการสัญลักษณ์และ rountinizing แต่สัญลักษณ์ไม่มี ทำความเข้าใจความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์หลัง ตาม Hiebert (1986), ส่วนความรู้ขั้นตอนของทศนิยมคิดของในสองส่วน ส่วนหนึ่งเป็นความรู้ สัญลักษณ์ที่เป็นลายลักษณ์อักษรในระบบทางไวยากรณ์ นี้ไม่จำเป็นต้องมีความรู้ ความหมายของสัญลักษณ์ ปริมาณแทน (Hiebert, 1992) ส่วนที่สองเป็นการ ชุดของกฎและอัลกอริทึมที่ใช้ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ขั้นตอนเหล่านี้จะ แผนทีละขั้นตอนสำหรับการย้ายจากรายงานปัญหาการแก้ปัญหาHiebert (1992) สรุปว่า ความรู้แนวคิดความรู้ที่ความสัมพันธ์ แต่ไม่อุดมไปด้วยเทคนิคในการทำงานขณะความรู้ขั้นตอน กฎและกลยุทธ์ แต่ไม่รวยในความสัมพันธ์4. วิธีการทดสอบหมายเลขทศนิยมถูกสร้างขึ้นตามการพัฒนาและแนวคิดการประเมินในหลักสูตรคณิตศาสตร์หลัก Hong Kong (2000), ซึ่งมีดังนี้:1. ความหมายของสัญลักษณ์ทศนิยม2. แนวคิดค่าทศนิยม3. การเปรียบเทียบทศนิยม4. การบวกและการลบของทศนิยม5. ชื่อหน่วยเดียวหน่วยคู่ หรือในทางกลับกัน6. คูณของทศนิยม7. ส่วนของทศนิยม8. แปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วนแผงตั้งแต่เนื้อหาถูกตั้งค่าไว้ ซึ่งรวมถึงการศึกษาคณิตศาสตร์หลัก นักวิจัย ครูคณิตศาสตร์หลักประสบการณ์ ตลอดจนหลักบริการล่วงหน้า นักศึกษาคณิตศาสตร์ การทดสอบล่าสุดหลังจากที่ได้รับคำแนะนำโดย แผงตั้งแต่เนื้อหา การศึกษานำร่องทำกับชั้นเรียนของนักเรียนหนึ่งรองสองครั้ง มีระยะเวลาในระหว่าง การทดสอบความน่าเชื่อถือและได้พอใจ350 หลักหกเรียนจาก 6 โรงเรียนได้รับเชิญให้ทำการทดสอบ การทดสอบดูแลนักเรียนเข้าร่วมหลังจากที่มีการสอนในพื้นที่ทดสอบ ตัวอย่างของ นักศึกษาเข้าร่วม มีลักษณะสำคัญที่สังเกตได้สัมภาษณ์ ความเข้าใจผิดของพวกเขา มีกล่าวถึงใน ส่วนชื่อเทียมมีใช้และการประชุมนานาชาติ HKIEd ตอนปี 2009 การศึกษาหลัก45. ผลการวิจัยและการสนทนานักเรียนกันสามสามสิบหกหลักทดสอบเป็นลายลักษณ์อักษรได้ระบุบางคุณลักษณะสำคัญของความเข้าใจผิดและ 7 นักเรียนสอบข้อเขียนได้เกือบ 98%ถูกต้องถูกสัมภาษณ์ มันเป็นทุกการสัมภาษณ์พวกเขาในกลุ่มของพวกเขาเข้าใจความรู้แนวคิดกับความรู้ขั้นตอน พวกเขา พิสูจน์การตอบคำถามหลักแรกของเลขทศนิยม ความสัมพันธ์ ระหว่างเศษส่วนและทศนิยม ชื่อปริมาณจากหน่วยเดียวสองหน่วยหรือรอง ในทางกลับ แนวคิดของกฎสำหรับคำนวณเขียนขั้นตอนที่ 4 การดำเนินงานของ ตัวเลขทศนิยมเช่นซับค่าทศนิยมการบวกและการลบ มันเป็น พบว่าส่วนใหญ่นักเรียนที่ความรู้เป็นไปตามกฎที่มีข้อผิดพลาดโดยไม่อ้างอิงถึง เนื้อหาแนวคิดหรือความหมายของเลขคณิต จะสนทนาต่อไปนี้ส่วนใหญ่ เน้นการสัมภาษณ์ผู้เรียนมากขึ้นสามารถเจ็ด5.1 กรณี 1: ชื่อหน่วยเดียวหน่วยคู่ หรือในทางกลับกันนักเรียน ปีเตอร์ หนึ่งสามารถบอกได้ว่า ชัดเจนขั้นตอนในการเปลี่ยนชื่อปริมาณจากสองหน่วยหน่วยเดียว แต่เขาก็ไม่ทางแนวคิดให้ใช้เศษส่วน ที่ต่อไปนี้เป็นส่วนหนึ่งของการสัมภาษณ์ (ทีมงาน i: S:นักเรียน)I:วิธีใดคุณจึงสามารถเปลี่ยน 1 เมตร 32 เซนติเมตรเป็น 1.32 เมตรS:ครูสอนว่า เราสามารถแบ่ง 32 ซม. ด้วย 100 มันเป็นเพียงว่า เพราะ 100 คุณจำนวนสถานสองจากขวาสุดของ 32 ทางด้านซ้าย และใส่จุดทศนิยมมี และ ใส่ศูนย์ทางด้านซ้ายของจุดทศนิยมถ้าเป็น 32 ซม. แต่เป็น 1m และ 32 ซม. เพื่อให้คุณใส่ 1 แทนที่จะเป็นศูนย์I:ทำไมคุณทำวิธีนี้ ทำไมคุณนับสองตำแหน่ง แต่ไม่ 3 หรือน้อย กว่าสถานS:เนื่องจากมีสองศูนย์ใน 100 และ 1 เมตร 100 ซม.เดียวของนักเรียน David ความสัมพันธ์ระหว่างระหว่างเวลาหนึ่งกล่าว เศษส่วนและทศนิยมเมื่ออธิบายขั้นตอนของเขาชื่อปริมาณจากคู่ หน่วยที่หน่วยเดียว ต่อไปนี้คือ สิ่งที่เขากล่าวว่าI:คุณเขียน 2.05m เป็น 2m 5 ซม.วิธีS: 2 ใน 2.05 หมายถึง สองเมตร และ 0.05 เป็น m 5/100 ซึ่งหมายความว่า 5 ซม.เนื่องจากมี มีหนึ่งเมตร 100 ซม.5.2 กรณี 2: เพิ่มและการลบทศนิยมอย่างไรก็ตาม เมื่อไปถามเหตุผล David สำหรับซับค่าจุดทศนิยมคำนวณบวก และลบ และทำไมจึงได้ผล เขาจะไม่อธิบายกันทางแนวคิดที่ เราต้องใส่เหมือนกันสิ่ง (เช่น หน่วยกัน หนึ่งตำแหน่งร่วมกัน การร้อย กัน และอื่น ๆ) แต่เห็นได้ชัดเกินตั้งค่าทั่วไปในลักษณะของจำนวนเต็มความรู้เกี่ยวกับสัญลักษณ์การดำเนินการ การโต้ตอบต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงจุดนี้ประชุมนานาชาติ HKIEd ตอนปี 2009 การศึกษาหลัก5I:วิธีสามารถหาคำตอบของ 11.24 – อาหาร 3.07S:คุณแรกบรรทัดค่าจุดทศนิยม แล้วคุณคิดว่าเป็นตัวเลขจำนวนเต็มเช่นคุณ ลบ 307 จาก 1124I:วิธีประมาณ 5.02 + 1.99S:เหมือนลบI:คุณต้องการจัดตำแหน่งจุดทศนิยมอย่างทำไม วิธีการเกี่ยวกับถ้าคุณไม่จัดวางมันS:ฉันไม่ทราบ ครูของฉันที่บอกได้สำหรับนักเรียนบางคนโดยเฉพาะนักเรียนที่ความสามารถต่ำ พวกเขาเชื่อว่าถ้าจุดทศนิยม ไม่สอดคล้อง แล้วจุดทศนิยมสองจะต้องถูกวางลงในคำตอบ และคุณได้ ไม่ทราบที่ครับ f

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . บทนำ
ตรวจสอบเป็นหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ที่อาจทำให้รู้สึกว่า เพื่อเป็น
ความสามารถมีตัวเลขทศนิยม ที่นักเรียนต้องทำคือจำไม่กี่
กลกฎสำหรับการวางจุดทศนิยม และหรือดำเนินการกับ
ตัวเลขทศนิยมเป็นถ้าพวกเขามีตัวเลขทั้งหมด ( steinle , 2004 ) อย่างไรก็ตาม เมื่อถาม
นักศึกษา 4.8 และ 4.75 เปรียบเทียบ ,เขา / เธอจะเลือก - เป็นจํานวนมาก เพราะคือ
ใหญ่กว่าที่ 8 ( steinle , 2004 ) ข้อสังเกตเหล่านี้สะท้อนให้เห็นว่านักเรียนไม่มีความรู้สึก
ของค่าเชิงปริมาณของตัวเลขทศนิยมหรือความเข้าใจของค่าสถานที่ของแต่ละ
ที่ทศนิยมแม้ว่าแนวคิดพื้นฐานของตัวเลขทศนิยม เช่น ค่าสถานที่และ
ความสัมพันธ์กับเศษส่วนจะกล่าวถึงในขั้นตอนแรกของการเรียนรู้ทศนิยม ดังนั้น นักศึกษา
การคำนวณทักษะสี่การดำเนินงานทศนิยมเรียนเพียงการท่องจำและไร้ความหมายใด ๆ
. ด้วยเหตุผลนี้ การวิจัยครั้งนี้ มีวัตถุประสงค์ประการแรก แฉนักศึกษาเข้าใจผิดของ
เลขฐานสิบ ประการที่สองคือ ความเข้าใจว่าการเชื่อมต่อระหว่างแนวคิด
และความรู้เชิงกระบวนการที่มีอยู่เมื่อเสร็จสิ้นงานทศนิยม .
2 การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของตัวเลขทศนิยม
ตัวเลขทศนิยมจำนวนที่สามารถแทนได้ด้วยค่าตัวเลขกับตัวเลข
ไปดีทางซ้ายของจุดทศนิยม ( ฮีเบิร์ต , 1992 ) ระบบสัญกรณ์ทศนิยม
ถูกออกแบบมาเพื่อแสดงปริมาณที่ถูกวัดด้วยหน่วยและส่วนของหน่วย ใน
ตรงกันข้ามกับเศษส่วนทศนิยมต้องใช้ทั่วไป ที่ส่วนของหน่วยมีการระบุขนาด
ความสัมพันธ์กับหน่วยสิบร้อยพันของหน่วย , และอื่น ๆ ฮีเบิร์ต ( 1992 )
สรุปได้ว่า ระบบนี้สามารถจับภาพในทศนิยม 3 หลัก ต่อไปนี้เป็นสรุปการวิเคราะห์ของเขา
.
หลักการค่าของตัวเลขที่เป็นฟังก์ชันของตำแหน่งในตัวเลข ค่าของ
ตำแหน่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งจะถูกกำหนดโดยเริ่มต้นด้วยหน่วย และถ้าย้ายไปทางขวา
หารค่าก่อนหน้า 10 และ ถ้าขยับไปทางซ้ายคูณค่าก่อนหน้านี้โดย
10 ที่ตำแหน่งที่ถูกทำเครื่องหมายไว้ด้วยจุดทศนิยมอยู่ในทันที หนึ่งผลของหลักการนี้
คือความสัมพันธ์ระหว่างสองสถานที่ที่อยู่ติดกันคือ
คนซ้ายคือมูลค่า 10 เท่าของด้านขวา หรือ อีกวิธีหนึ่งคือ หนึ่ง
บนขวามีมูลค่าหนึ่งในสิบเท่าด้านซ้ายหนึ่ง .
หลักการ 2 : ค่าของเลขโดดเป็นผลิตภัณฑ์ของใบหน้าของมูลค่าและสถานที่ค่า ค่าหน้าค่า
เป็นหลัก โดยไม่ได้พิจารณาจุดยืนของตนในตัวเลข คูณ
มูลค่าของหลักเท่าของค่าสถานที่ให้คุณค่าในสารบบของตัวเลข ค่าใน
แง่ของจำนวนหน่วยของปริมาณ ค่าของตัวเลขที่สามารถแสดงในหลากหลายไม่มีที่สิ้นสุด
วิธี ตัวอย่างเช่นค่า Canonical 6 สามารถ 6 / 10 หรือ 60 หนึ่งในร้อย .
หลักการ 3 : ค่าของตัวเลขคือผลรวมของค่าของตัวเลขแต่ละ .
3แนวคิดและกระบวนการความรู้ของทศนิยม
ความคิดรวบยอดโดยทั่วไป หมายถึง ความรู้ของข้อเท็จจริงเหล่านั้นและ
ของคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับเป็นคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องในบางวิธี ( ฮีเบิร์ต , 1986 )
wearne ฮีเบิร์ต ( 1988 ) และถือมุมมองที่คล้ายกันและอธิบายว่ามันเป็นตามความหมายกระบวนการ
ซึ่งหมายถึงการเชื่อมต่อระหว่างสัญลักษณ์กับการพัฒนาของกฎโดย
referentsการกระทำของการสังเกตใน referents . จะเฉพาะเจาะจงมากขึ้น ความรู้เรื่องทศนิยมคือ
( i ) ความรู้ของวัตถุคอนกรีต หรือภาพที่สามารถวัดได้ โดยหน่วย หนึ่งในสิบของหน่วย hkied การประชุมระหว่างประเทศว่าด้วยการศึกษา 2552 รายงานการประชุม
3
hundredths ของหน่วย และอื่น ๆ ( ฮีเบิร์ต , 1992 ; เรสนิคเอลที่ . , 1989 ) ; และ ( 2 ) ความรู้ของ
เกิดอะไรขึ้นเมื่อทศนิยมจะย้ายไปแยก , รวม , หรือทำตามวิธีอื่น
( ฮีเบิร์ต , 1992 ) ในสั้น นักเรียนที่เข้าใจอย่างทั่วถึง แนวคิดของทศนิยม
ควรจะสามารถให้ความหมายสัญลักษณ์สัญกรณ์และให้เหตุผลสำหรับ
สัญลักษณ์กฎ เช่น แถวจุด ทศนิยม ก่อนที่จะเพิ่มหรือลบหาร
;ตัวหารเป็นเศษเขียนเศษส่วนที่พบเป็นทศนิยม ( ฮีเบิร์ต , 1992 ) .
ในความคมชัด , ความรู้เชิงกระบวนการเป็นลักษณะการขาดของการฝังตัว
ความสัมพันธ์ เรสนิคและเพื่อนร่วมงานของเขา ( 1989 ) ถือมุมมองที่คล้ายกันและสภาพที่เด็ก
เสมอกฎที่ผิดพลาดโดยไม่มีการอ้างอิงถึงเนื้อหาแนวคิดหรือความหมาย
ของเลขคณิตwearne ฮีเบิร์ต ( 1988 ) และอธิบายว่ามันเป็นประโยค ซึ่งหมายถึง กระบวนการพัฒนากระบวนการจัดการ rountinizing
สัญลักษณ์และกฎสำหรับสัญลักษณ์โดยไม่
อย่างละเอียดเข้าใจความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่อยู่เบื้องหลัง ตามฮีเบิร์ต ( 1986 ) ,
ความรู้เชิงกระบวนการของทศนิยมที่ดีที่สุดคือคิดใน 2 ส่วน ส่วนหนึ่งคือความรู้
เขียนสัญลักษณ์ในระบบการ .นี้ไม่จำเป็นต้องมีความรู้
สิ่งที่สัญลักษณ์ หมายถึง สิ่งที่ปริมาณพวกเขาเป็นตัวแทน ( ฮีเบิร์ต , 1992 ) ส่วนที่สองคือ
ชุดของกฎและขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ขั้นตอนเหล่านี้เป็นขั้นตอนสำหรับการย้ายจาก
เกี่ยวปัญหางบเพื่อแก้ปัญหา .
ฮีเบิร์ต ( 1992 ) พบว่า ความรู้ แนวคิด คือ ความรู้ที่อุดมไปด้วย
ความสัมพันธ์ แต่ไม่ได้รวยในเทคนิคจบงานในขณะที่ความรู้เชิงกระบวนการคือ
รวยในกฎและกลยุทธ์ แต่ไม่ได้รวยในความสัมพันธ์ .
4 วิธีการ
ทดสอบตัวเลขทศนิยมที่ถูกสร้างขึ้นตามการพัฒนาและ
การวัดมโนทัศน์ในฮ่องกง ประถมศึกษา หลักสูตรคณิตศาสตร์ ( 2000 ) ซึ่งรวมถึงพื้นที่ต่อไปนี้ :

1 คำแปล / ความหมาย :
สัญกรณ์ทศนิยม 2 แนวคิดของค่าสถานที่ในทศนิยม
3 การเปรียบเทียบทศนิยม
4 การบวกและการลบทศนิยม
5 ชื่อหน่วยหน่วยเดียว สองครั้ง หรือในทางกลับกัน
6 การคูณทศนิยม
7 การหารทศนิยม
8แปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วน
มีความตรงเชิงเนื้อหาแผงตั้งขึ้น ซึ่งรวมถึงหลักคณิตศาสตร์อุดมศึกษา
นักวิจัยที่มีประสบการณ์ครูคณิตศาสตร์ประถมศึกษา ตลอดจนบริการปฐมภูมิก่อน
คณิตศาสตร์นักเรียน วิธีแก้ไขตามข้อเสนอแนะที่ได้รับจาก
ตามเนื้อหา แผง การศึกษานำร่องเสร็จชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายสองครั้ง
ด้วยระยะเวลาในระหว่างการทดสอบความน่าเชื่อถือและเป็นที่น่าพอใจ
350 หลักหกนักเรียนจาก 6 โรงเรียนได้รับเชิญไปทำแบบทดสอบ แบบทดสอบหลังเรียน หลังจาก
เข้าร่วมทดสอบพื้นที่ได้รับการสอน ตัวอย่างของ
นักเรียนสังเกตคุณลักษณะที่สำคัญคน ความเข้าใจผิดของพวกเขา
จะกล่าวถึงในส่วนถัดไป และชื่อ ปลอมเป็น used.hkied การประชุมนานาชาติในระดับประถมศึกษา 2552 รายงานการประชุม
4
5 พบและสนทนา
ทั้งหมด 33 หลักหก ที่เรียนเขียนแบบระบุคุณลักษณะที่สำคัญของความเข้าใจผิดและบาง
7 นักเรียนที่สอบข้อเขียนได้เกือบ 98%
ถูกต้อง ใช้วิธีการสัมภาษณ์มันตั้งใจจะสัมภาษณ์พวกเขาแฉความเข้าใจ
ความรู้แนวคิดในการเชื่อมต่อกับความรู้เชิงกระบวนการ . พวกเขา
เมื่อตอบคำถามที่แตกต่างกันในหลักการแรกของตัวเลขทศนิยม ความสัมพันธ์
ระหว่างเศษส่วนและทศนิยม , เปลี่ยนชื่อ ปริมาณ จากหน่วยเดียว หน่วยคู่รองหรือในทางกลับกัน
,แนวคิดของกฎที่เขียนการคำนวณขั้นตอนสี่การดำเนินงาน
ตัวเลขทศนิยม เช่น แถว จุด ทศนิยม การบวกและลบ มันคือ
พบว่า ส่วนใหญ่นักเรียนมีความรู้ตามกฎที่ผิดพลาดโดยไม่อ้างอิง

เนื้อหาแนวคิดหรือความหมายของคณิตศาสตร์ การสนทนาต่อไปนี้ส่วนใหญ่จะ
เน้นเจ็ดการสัมภาษณ์นักเรียนสามารถเพิ่มเติม .
5.1 กรณีที่ 1 : ชื่อหน่วยเดียวหน่วยคู่หรือในทางกลับกัน
นักเรียนคนหนึ่ง ปีเตอร์ อาจบอกอย่างชัดเจน ขั้นตอนการเปลี่ยนปริมาณ
จากหน่วยสองหน่วยเดียว แต่เขาไม่ได้แนวคิดที่ให้อ้างอิงกับเศษส่วน
ต่อไปนี้เป็นส่วนหนึ่งของการสัมภาษณ์ ( ฉัน : ผู้สัมภาษณ์ ; S : นักเรียน )
ฉัน : วิธีที่คุณสามารถเปลี่ยนเป็น 1 M และ 32cm 132m ?
S : อาจารย์ที่สอนเราว่า เราสามารถแบ่ง 32cm 100 มันเป็นแค่เพราะ 100 คุณ
นับสองสถานที่จากขวาสุดของ 32 แล้ววางจุดทศนิยมนั้น
ใส่ศูนย์ทางซ้ายของจุดทศนิยม ถ้ามันเป็น 32 เซนติเมตร แต่มันคือ 1 M และ 32cm , ดังนั้น คุณใส่ 1

ฉัน : แทนศูนย์ ทำไมคุณถึงทำแบบนี้ ? ทำไมคุณนับสองแห่ง แต่ไม่ใช่ 3 หรือน้อยกว่าที่
s :เพราะมี 100cm 1 M และสองศูนย์ใน 100
แค่นักเรียนคนหนึ่ง เวลาหนึ่งระหว่างเดวิด กล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่าง
เศษส่วนและทศนิยมเมื่ออธิบายของเขาสำหรับขั้นตอนการเปลี่ยนชื่อเป็นปริมาณจากหน่วยคู่
หน่วยเดียว ต่อไปนี้คือสิ่งที่เขาพูด .
: คุณเขียน 2.05m เป็น 2M และ 5cm ?
S : 2 ใน 2.05 หมายถึงสองเมตรและ 005 เป็น 5 / 100 M ซึ่งหมายถึง 5 ซม. เพราะมีเป็น 100 เซนติเมตร 1 เมตร
.
5.2 กรณีที่ 2 : การบวกและการลบทศนิยม
เมื่อเพิ่มเติมถามเดวิด เหตุผลแถวจุดทศนิยม
นอกจากคอมพิวเตอร์และการลบและทำไมมันทำงาน เขาไม่สามารถอธิบายแนวคิดที่
เราต้องใส่สิ่งที่เดียวกัน ( เช่น หน่วยด้วยกัน หนึ่งในสิบเข้าด้วยกัน ร้อย
ด้วยกันและ ) แต่เห็นได้ชัดมากกว่าด้านความรู้ทั่วไปบางหมายเลข
ทั้งหมดของสัญลักษณ์การ ต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึง point.hkied ปฏิสัมพันธ์นี้ในการประชุมวิชาการนานาชาติ ครั้งที่ 5 ระดับประถมศึกษา 2552

ฉัน : วิธีที่คุณสามารถได้คำตอบของ 11.24 – 3.07 ?
S : ท่านแรกแถวจุดทศนิยม แล้วคุณปฏิบัติต่อพวกเขาเป็นตัวเลขทั้งหมดที่คุณ
ลบฉันจาก 124 .
ผม : วิธีการเกี่ยวกับ 5.02 1.99 ?
S : เช่นเดียวกับการลบ .
: ทำไมต้องจัดจุดทศนิยม ? แล้วถ้าคุณไม่จัดล่ะ
S : ไม่รู้สิ นี่คือสิ่งที่คุณครูบอก .
สำหรับนักเรียนโดยเฉพาะระดับความสามารถต่ำ พวกเขาเชื่อว่าถ้าจุดทศนิยม
ไม่ได้ชิด ก็ทศนิยม 2 จุด จะต้องถูกวางไว้ในคำตอบและคุณ
ไม่ทราบว่าสถานที่ f