Multiples of 2 and 5The easiest div

Multiples of 2 and 5
The easiest divisibility tests are for 2 and 5. A number is divisible by 2 if its last digit is even, by 5 if its last digit is 0 or 5.
(In this article 'number' will always mean 'positive whole number')
These tests refer to 'digits' in the (usual) base 10 representation of the number, so that (for example) 2645 represents the number (5×1)+(4×10)+(6×100)+(2×1000). The tests for 2 and 5 work because the rest of the number (apart from the last digit) is a multiple of 10, and so is always divisible by 2 and 5. If the last digit is a multiple of 2 (or 5), then the whole number must be.
Multiples of 4 and 8
Since 100, 1000 and so on are multiples of 4, it follows (as for 2) that a number is divisible by 4 if the number represented by its last two digits is a multiple of 4.
Example: 3728 is divisible by 4 because 28 is.
Powers of 10, from 1000 on, are divisible by 8, therefore it follows that a number is divisible by 8 if the number represented by its last three digits is a multiple of 8.
Example: 3728 is divisible by 8 because 728 is.
Note: if you think that you need a calculator to decide whether (for example) 728 is divisible by 8, then it will help you to learn the 8 times table and to practice some divisions which you can check on your calculator until you are confident that you can divide by 8 and don't need the calculator.
Multiples of 3 and 9
A slightly more complicated version of such reasoning gives rise to a test for divisibility by 3.
Now 10 is (3×3)+1, so (for example) 50 is (15×3)+5. To decide whether 57 is divisible by 3, we can take out the 15 lots of 3 in 57 and just check whether the remaining 5+7 is divisibly by 3: which it is, since 5+7=12.
Put slightly differently, we reason that 57=(a multiple of 3)+(5+7).
Therefore 57 is a multiple of 3 if and only if 12 is.
For 257, we note that 100 is (33×3)+1, so 200=(66×3)+2. We looked at 57 above.
Therefore 257=(a multiple of 3)+(2+5+7).
Once again, 257 is a multiple of 3 if and only if the sum of its digits is a multiple of 3.
Actually, that sum is 14, which is a multiple of 3 if and only if 1+4 is.
Since 5 is not a multiple of 3, neither is 257.
In general, 10=9+1, 100=99+1, 1000=999+1 and so on:
every 'power' of 10 (like 10, 100, 1000, 10000 and so on) is just 1 more than a multiple of 3, and so the method for divisibility can be applied to a number with any number of digits.
Example: is 1997 divisible by 3?
Now 1+9+9+7=26, and 2+6=8 which is not divisible by 3.
Therefore 1997 is not divisible by 3.
Note: in this example, we added the digits of 1997, then we added the digits of the answer, and so on, until we arrived at an answer with just one digit, sometimes called the 'digital root' of the original number. So we can say that a number is divisible by 3 if and only if its digital root is 3, 6 or 9.
Because 10=9+1, 100=99+1, 1000=999+1 and so on, we can see that every power of 10 is just 1 more than a multiple of 9, and so the method for divisibility by 3 actually transfers to 9 too: a number is divisible by 9 if and only if its digital root is 9.
Multiples of 6 and 12
A number is divisible by 6 if and only if it is divisible by both 2 and 3.
This is not at all obvious: it is true because 2×3=6 and because 2 and 3 are 'coprime' - i.e. they have no common factor (apart from 1).
Example: 1638 is even and its digital root is 9. Therefore it is a multiple of 6.
Similarly, a number is divisible by 12 if and only if it is divisible by both 3 and 4 - because 3×4=12, and 3 and 4 are coprime.
Multiples of 11
The test for 11 is a modified version of that for 3 and 9.
Whereas every power of 10 is 1 more than a multiple of 3 (or 9), an alternating pattern emerges for multiples of 11. That is to say, 10 is 1 less than 11, 100 is 1 more than 9×11, 1000 is 1 less than 91×11, 10000 is 1 more than 909×11, and so on. If we write `m11' as shorthand for 'a multiple of 11', we see that odd powers of 10 are m11−1, and even powers of 10 are m11+1.
Example:
Is 54637 divisible by 11?
Solution: Start with the units digit and work 'left':
54637=7+3×(m11−1)+6×(m11+1)+4×(m11−1)+5×(m11+1),
which equals m11+(7−3+6−4+5) or m11+11. Therefore 54637 must be a multiple of 11.
This is only slightly more complicated than finding the digital root of a number, because we alternately add and subtract the digits, starting from the right. (We could call the answer the 'alternating digital root').
Example:
What is the remainder when 710−7 is divided by 11?
Solution:
710−7=282475242 whose alternating digital root is 2−4+2−5+7−4+2−8+2=−6. Our number is 6 less than a multiple of 11, so if we divide it by 11, the remainder will be 5.
A number is divisible by 11 if its alternating digital root is 0 or 11 (or any other multiple of 11).
INTERLUDE: Remainder arithmetic
See also the article Modular Arithmetic.
What is the final digit of 34×57?
Without doing the full multiplication, we know it must be 8, because 8 is the final

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

หลายรายการที่ 2 และ 5
ที่ง่ายที่สุดการทดสอบแบ่งออกเป็น 2 และ 5 จำนวนหารด้วย 2 ถ้าหลักสุดท้ายของมันคือแม้กระทั่ง 5 หลักสุดท้ายถ้ามันคือ 0 หรือ 5
(ใน 'จำนวน' บทความนี้มักจะหมายถึง จำนวนทั้งหมดบวก)
การทดสอบเหล่านี้หมายถึง 'ตัวเลข' ในปกติฐาน () 10 ตัวแทนของตัวเลขเพื่อให้ (ตัวอย่าง) 2645 แสดงให้เห็นถึงจำนวน (5 × 1) + (4 × 10) + (6 × 100 ) + (2 × 1000) การทดสอบสำหรับ 2 และ 5 การทำงานเพราะส่วนที่เหลือของจำนวน (นอกเหนือจากหลักสุดท้าย) มีหลาย 10 และอื่น ๆ อยู่เสมอหารด้วย 2 และ 5. หากหลักสุดท้ายมีหลาย 2 (5) แล้วจำนวนทั้งหมดจะต้องเป็น.
ชุดละ 4 และ 8
ตั้งแต่ 100 1000 และอื่น ๆ หลายรายการที่ 4 มันดังต่อไป (สำหรับ 2) ว่าเป็นจำนวนที่หารด้วย 4 ถ้าตัวเลขแทนด้วยตัวเลขสองหลักสุดท้ายของมันมีหลาย ของ 4.
ตัวอย่าง: 3728 หารด้วย 4 เพราะ 28.
อำนาจของ 10 จาก 1000 จะถูกหารด้วย 8 จึงต่อไปนี้ว่าเป็นจำนวนที่หารด้วย 8 ถ้าตัวเลขแทนด้วยตัวเลขสามหลักสุดท้ายที่มีหลาย 8.
ตัวอย่าง: 3728 หารด้วย 8 เพราะเป็น 728.
หมายเหตุ: หากคุณคิดว่าคุณจะต้องคิดเลขในการตัดสินใจว่า (ตัวอย่าง) 728 หารด้วย 8 แล้วมันจะช่วยให้คุณเรียนรู้ครั้งที่ตารางที่ 8 และในการฝึก หน่วยงานบางอย่างที่คุณสามารถตรวจสอบในเครื่องคิดเลขของคุณจนกว่าคุณจะมั่นใจว่าคุณสามารถหารด้วย 8 และไม่จำเป็นต้องคิดเลข.
ชุดละ 3 และ 9
รุ่นเล็กน้อยซับซ้อนมากขึ้นของการใช้เหตุผลดังกล่าวก่อให้เกิดการทดสอบสำหรับหารด้วย 3
ตอนนี้ 10 (3 × 3) 1 ดังนั้น (ตัวอย่าง) 50 (15 × 3) 5 ที่จะตัดสินใจว่า 57 หารด้วย 3 เราสามารถที่จะออกจาก 15 จำนวนมาก 3 ใน 57 และเพียงแค่ตรวจสอบว่าที่เหลืออีก 5 + 7 ลงตัวโดย 3:. ซึ่งมันเป็นตั้งแต่ 5 + 7 = 12
ใส่แตกต่างกันเล็กน้อยเรา ด้วยเหตุผลที่ว่า 57 = (หลาย 3) + (5 + 7).
ดังนั้น 57 มีหลาย 3 และถ้าหาก 12.
สำหรับ 257 เราทราบว่า 100 (33 × 3) 1 ดังนั้น 200 = (66 × 3) 2 เรามองที่ 57 ข้างต้น.
ดังนั้น 257 = (หลาย 3) + (2 + 5 + 7).
อีกครั้ง 257 มีหลาย 3 และถ้าหากผลรวมของตัวเลขที่มีหลาย 3.
ที่จริง จำนวนเงินนั้นคือ 14 ซึ่งเป็นผลคูณของ 3 และถ้าหาก 1 + 4.
ตั้งแต่ 5 ไม่ได้เป็นหลาย 3 ไม่เป็น 257.
โดยทั่วไป 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1 และอื่น ๆ :
ทุก 'พลังงาน' 10 (เช่น 10, 100, 1000, 10000 และอื่น ๆ ) เพียง 1 มากกว่าหลายของ 3, และอื่น ๆ วิธีการหารสามารถนำไปใช้ตัวเลขใด ๆ จำนวนของตัวเลข.
ตัวอย่าง: คือ 1997 หารด้วย 3
ตอน 1 + 9 + 9 + 7 = 26 และ 2 + 6 = 8 ซึ่งไม่หารด้วย 3.
ดังนั้น 1997 ไม่หารด้วย 3.
หมายเหตุ: ในตัวอย่างนี้ เราได้เพิ่มตัวเลขของปี 1997 แล้วเราได้เพิ่มตัวเลขของคำตอบและอื่น ๆ จนเรามาถึงที่คำตอบมีเพียงหนึ่งหลักบางครั้งเรียกว่า 'รากดิจิตอลของจำนวนเดิม ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่าเป็นจำนวนที่หารด้วย 3 และถ้าหากรากดิจิตอลคือ 3, 6 หรือ 9
เพราะ 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1 และอื่น ๆ เราสามารถมองเห็น ว่าพลังของทุก 10 เพียง 1 มากกว่าหลายวันที่ 9 และอื่น ๆ วิธีการหารด้วย 3 จริงโอนถึง 9 เกินไป: จำนวนหารด้วย 9 และถ้าหากรากดิจิตอลเป็น 9
ชุดละ 6 และ 12
จำนวนหารด้วย 6 และถ้าหากมันเป็นหารด้วยทั้ง 2 และ 3
นี้ไม่ได้เป็นที่ชัดเจนทั้งหมด: มันเป็นความจริงเพราะ 2 × 3 = 6 และเนื่องจากที่ 2 และ 3 เป็น 'coprime' - คือพวกเขาไม่มีที่พบบ่อย . ปัจจัย (นอกเหนือจาก 1)
ตัวอย่าง: 1638 แม้จะมีรากและดิจิตอลเป็น 9. ดังนั้นจึงมีหลาย 6.
ในทำนองเดียวกันจำนวนหารด้วย 12 และถ้าหากมันเป็นหารด้วยทั้ง 3 และ 4 - เพราะ 3 × 4 = 12 และที่ 3 และ 4 มี coprime.
ชุดละ 11
สำหรับการทดสอบ 11 เป็นรุ่นที่แก้ไขที่ 3 และ 9
ในขณะที่อำนาจของ 10 ทุก 1 มากกว่าหลาย 3 (หรือ 9) สลับกับ A รูปแบบที่โผล่ออกมาสำหรับหลาย 11 กล่าวคือ 10 เป็น 1 น้อยกว่า 11 100 เป็น 1 มากกว่า 9 × 11, 1000 1 น้อยกว่า 91 × 11 10000 1 มากกว่า 909 × 11 และอื่น ๆ ถ้าเราเขียน `M11 'เป็นชวเลขสำหรับ' หลาย 11 'เราจะเห็นว่าอำนาจคี่ 10 m11-1 และแม้กระทั่งอำนาจของ M11 10 + 1.
ตัวอย่าง:
คือ 54,637 หารด้วย 11
วิธีแก้ปัญหา: เริ่มต้นด้วย หน่วยหลักและการทำงาน 'ซ้าย':
54637 = 7 + 3 × (m11-1) + 6 × (M11 + 1) + 4 × (m11-1) + 5 × (M11 + 1)
ซึ่งเท่ากับ M11 + (7 -3 + 6-4 + 5) หรือ M11 + 11 ดังนั้น 54637 จะต้องมีหลาย 11
นี้เป็นเพียงเล็กน้อยที่ซับซ้อนมากขึ้นกว่าการหารากดิจิตอลของจำนวนเพราะเราสลับกันเพิ่มและลบตัวเลขที่เริ่มต้นจากด้านขวา (เราจะเรียกคำตอบ 'สลับรากดิจิตอล').
ตัวอย่าง:
คืออะไรเหลือเมื่อ 710-7 ถูกหารด้วย 11
วิธีแก้ปัญหา:
710-7 = 282,475,242 ซึ่งสลับดิจิตอลรากเป็น 2-4 + 2-5 + 7 -4 + 2-8 + 2 = -6 จำนวนของเราคือ 6 น้อยกว่าหลาย 11 ดังนั้นถ้าเราหารด้วย 11 ส่วนที่เหลือจะเป็น 5.
จำนวนหารด้วย 11 ถ้าสลับรากดิจิตอลคือ 0 หรือ 11 (หรือหลายอื่น ๆ ของ 11).
Interlude : เหลือเลขคณิต
ดูเพิ่มเติมบทความ Modular เลขคณิต.
เป็นหลักสุดท้ายของ 34 × 57 อะไร
โดยไม่ต้องทำคูณเต็มรูปแบบที่เรารู้ว่ามันจะต้องเป็น 8 เพราะ 8 เป็นครั้งสุดท้าย