by Chris BuddSubmitted by mf344 on

by Chris Budd

Submitted by mf344 on March 14, 2013
One of my favourite mathematical results is the famous formula

[ frac{pi }{4} = 1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + frac{1}{9} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(1)} ]
As far as I’m concerned, all of maths is here, and if this formula doesn’t blow you away then you simply have no soul. What the formula does is to connect two quite different concepts, the geometry linked to the number $pi $ and the simplicity of the odd numbers. The result is truly magical and surprising, and exactly illustrates the extraordinary way that maths can link patterns together. Whenever I am asked to define mathematics I simply write down equation (1). Those of you who think that maths is just a language, think again.

Pi
How quickly do these series converge to a value involving π?


This formula has a splendid history. It was derived in the West in 1671 by James Gregory from the formula for arctan(x) and slightly later and independently by Gottfried Leibniz. However, the same formula (along with many other results involving infinite series) was discovered long before in the 1300s by the great Indian mathematician Madhava. Similar results of equal beauty are the convergent series given by

[ frac{pi ^2}{6} = 1 + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + ldots , ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(2)} ]
[ frac{pi ^3}{32} = 1 - frac{1}{3^3} + frac{1}{5^3}- frac{1}{7^3} + ldots , ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(3)} ]
and

[ frac{pi ^4}{90} = 1 + frac{1}{2^4}+frac{1}{3^4}+frac{1}{4^4} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(4)} ]
However, in one sense, these formulae are disappointing. If you want to actually calculate $pi ,pi ^2,pi ^3$ or $pi ^4$ then you probably would not reach for one of these formulae. The reason is that they converge very slowly. If you take formula (1), add up 100 terms and multiply by 4, you get 3.146567747182956, which whilst fairly close to $pi =3.141592653589793...$ is not a particularly accurate estimate given the effort involved in adding up 100 terms. If you wanted to calculate $pi $ or $pi ^2$ to an accuracy of six decimal places, you would have to take on the order of $10^6$ terms of either series (1) or (2), and long before you have added up all of the terms in the series, the rounding errors associated with computer calculations will have accumulated to the point where the accuracy of the answer is severely degraded.

The world needs pi

So what, you (and many pure mathematicians) might say. Surely you don’t need to know the value of $pi $ that accurately, after all the Bible was content to give it to just one significant figure. However, $pi $ is not any number. It lies at the heart of any technology that involves rotation or waves, and that is much of mechanical and electrical engineering. If rotating parts in, say, a typical jet engine are not manufactured to high tolerance, then the parts simply won’t rotate. This typically involves measurements correct to one part in $10^4$ and, as these measurements involve $pi $, we require a value of $pi $ to at least this order of accuracy to prevent errors. In medical imaging using CAT or MRI scanners, the scanning devices move on a ring which has to be manufactured to a tolerance of one part in $10^6$, requiring an even more precise value of $pi $.

However, even this level of accuracy pales into insignificance when we look at modern electrical devices. In high frequency electronics, with frequencies in the order of 1GHz (typical for mobile phones or GPS applications), electrical engineers have to work with functions of the form $u(t) = cos (2 pi f t)$ where $f sim 10^9$ and $t$ is a number close to one. To get the accuracy in the function $u(t)$ needed for GPS to work requires a precision in the value used for $pi $ in the order of one part in $10^{15}$.

So, to live in the modern world we really do need to know $pi $ very accurately.

So, what can we do? One possibility is to take a vast number of terms of the series for $pi $ etc. above, book lots of time on a very expensive computer, sit back and wait (and wait, and wait). Or we can try and accelerate their convergence. So that with only a small number of terms (say 10) we can get 10 significant figures for $pi $. The nice thing about this method is that the derivation of the formulae is very transparent (well within the reach of a first year undergraduate or even a good A-level student). In principle this method can also be used to find the sum of other slowly convergent series.

Accelerating the convergence of a series

Let’s suppose that we have a series

[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ldots + a_ n + ldots ]
and we define the sum $S_ n$ by

[ S_ n = a_1 + a_2 + ldots + a_ n. ]
We will assume that this series converges. This means there is a limiting sum $S$ so that

[ S_ n o S quad mbox{as} quad n o infty . ]
If we want to work out the value of $S$ then we can simply take the values $S_ n$ and let $n$ get very large. However, just adding up a series loses quite a lot of the information contained within it, and is really a very crude thing to do. Maybe we can squeeze more information out of the series and use this information to accelerate the convergence of $S_ n$. This means that we add a correction term to $S_ n$ so that it approaches $S$ much more rapidly. What is nice about this approach is that it is quite easy to work out the correction terms.

To illustrate this idea we will take series (2) for $pi ^2/6$. Let’s define

[ S_ n = 1 + frac{1}{2^2} + ldots + frac{1}{n^2}. ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(5)} ]
As $n$ increases, $S_ n$ also increases steadily towards the value of $S = pi ^2/6$. In figure 1 we plot the values of $S_ n$ which you can see are increasing towards the value of $pi ^2/6 = 1.644934066848226$.

Graph 1
Figure 1: The sum Sn which monotonically increases to π2/6.
Suppose that we next look at the difference $E_ n = S - S_ n$. A plot of is given in figure 2(a) and we can see that this decreases to zero as $n$ increases. But how fast?

To estimate this we plot in figure 2(b) the values of $n E_ n$. It is clear from these figures that while $E o 0$ as $n o infty $, $n E_ n $ approaches a constant that looks suspiciously like one.
Graph 2
Figure 2: (a) The error En tending to zero. (b) nEn which tends to one.
From this, we might guess that $E_ n approx 1/n$ so that to a first approximation

[ S = S_ n + frac{1}{n} + ldots ]
We can improve on this guess by assuming that there is a sequence of numbers $B_0,B_1, B_2, B_3, ldots $ such that as $n o infty $

[ S = S _ n + frac{B_0}{n} + frac{B_1}{n^2} + frac{B_2}{n^3} + frac{B_3}{n^4} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(6)} ]
If we can calculate the terms $B_ r$ for $r = 0,1,2, ldots k$ then we can estimate $S$ from the value of $S_ n$ by the expression

[ S approx S_ n + frac{B_0}{n} + frac{B_1}{n^2} + frac{B_2}{n^3} + frac{B_3}{n^4} + ldots + frac{B_{k-1}}{n^ k}. ]
But what are the Br?

It turns out that the Br are a very well-known set of numbers. There is a nice and systematic way to calculate their values (but if you want you can skip this calculation and go straight to the result).

If we take (6) and replace $n$ by $n-1$ then we get

[ S = S_{n-1} + frac{B_0}{n-1} + frac{B_1}{(n-1)^2} + frac{B_2}{(n-1)^3} + frac{B_3}{(n-1)^4} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(7)} ]
so that

[ S_{n-1} - S_{n} = B_0 left( frac{1}{n} - frac{1}{(n-1)}
ight) + B_1 left( frac{1}{n^2} - frac{1}{(n-1)^2}
ight) + B_2 left(frac{1}{n^3} - frac{1}{(n-1)^3}
ight) + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(8)} ]
Also, from the definition of $S_ n$ we know that

[ S_ n - S_{n-1} = frac{1}{n^2}. ]
Combining these two expressions we get

[ -frac{1}{n^2} = B_0 left( frac{1}{n} - frac{1}{(n-1)}
ight) + B_1 left( frac{1}{n^2} - frac{1}{(n-1)^2}
ight) + B_2 left(frac{1}{n^3} - frac{1}{(n-1)^3}
ight) + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(9)} ]
We can now find the values of each of the terms $B_ k$ recursively by expanding each of these expressions in powers of $1/n$ and considering $n$ to be very large. For example

[ frac{1}{(n-1)} = frac{1}{n(1 - 1/n)} = frac{1}{n} + frac{1}{n^2} + frac{1}{n^3} + ldots , ]
and

[ frac{1}{(n-1)^2} = frac{1}{n^2 (1 - 1/n)^2 } = frac{1}{n^2} + frac{2}{n^3} + frac{3}{n^4} + frac{4}{n^5} + ldots . ]
More generally

[ frac{1}{(n-1)^ k} = frac{1}{n^ k ( 1 - 1/n)^ k} = frac{1}{n^ k} + frac{k}{n^{k+1}} + ldots + frac{ left( egin{array}{c} k + r -1\ r end{array}
ight) }{n^{k+r}} + ldots ]
where

[ left( egin{array}{c} k + r -1 \ r end{array}
ight) = frac{ k (k+1) (k+2) ldots (k+r-1)}{r!}. ]
These are the so-called Taylor series expansions for the above expressions.

Now, we can combine these expressions with the equation (9). This gives

$displaystyle frac{1}{n^2} $ $displaystyle = $ $displaystyle B_0 left( frac{1}{n^2} +frac{1}{n^3} + ldots
ight) + B_1 left( frac{2}{n^3} + frac{3}{n^4} + ldots
ight) + $
$displaystyle $ $displaystyle $ $displaystyle ldots + B_{k-1} left( frac{k}{n^{k+1} }+ frac{k(k+1)}

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โดย Chris Buddเขียน โดย mf344 เมื่อ 14 มีนาคม 2013ผลทางคณิตศาสตร์ของฉันชื่นชอบคือสูตรมีชื่อเสียง [ frac{pi }{4} = 1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + frac{1}{9} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(1)} ] เป็นที่ฉันกลัว คณิตศาสตร์ทั้งหมดอยู่ที่นี่ และถ้าสูตรนี้ไม่พัดคุณไป แล้วคุณก็จะไม่มีชีวิต สูตรไม่มีการ เชื่อมต่อสองแนวคิดแตกต่าง เรขาคณิตที่เชื่อมโยงกับตัวเลข $pi $และเรียบง่ายของหมายเลขคี่ ผลลัพธ์มหัศจรรย์ และประหลาดใจอย่างแท้จริง และตรงแสดงที่พิเศษทางคณิตศาสตร์ที่สามารถเชื่อมโยงรูปแบบกันได้ เมื่อถามการกำหนดวิชาคณิตศาสตร์ ผมก็เขียนลงสมการ (1) ผู้ที่คิดว่า คณิตศาสตร์นั้นเป็นเพียงภาษา คิดอีกครั้งปี่ความเร็วทำชุดเหล่านี้จึงทำให้ค่าที่เกี่ยวข้องกับπสูตรนี้มีประวัติอันงดงาม มีมาในตะวันตกใน 1671 โดยเกรก อรี James จากสูตร arctan(x) และเล็กน้อยในภายหลัง และเป็นอิสระ โดย Gottfried Leibniz อย่างไรก็ตาม สูตรเดียวกัน (รวมทั้งหลายอื่น ๆ ผลลัพธ์เกี่ยวข้องกับลำดับอนันต์) ค้นพบยาวก่อนใน 1300s ที่ โดยนักคณิตศาสตร์อินเดียดี Madhava ผลคล้ายความสวยงามเท่าคือ ชุด convergent โดย [ frac{pi ^2}{6} = 1 + frac{1}{2^2} + frac{1}{3^2} + frac{1}{4^2} + ldots , ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(2)} ] [ frac{pi ^3}{32} = 1 - frac{1}{3^3} + frac{1}{5^3}- frac{1}{7^3} + ldots , ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(3)} ] และ [ frac{pi ^4}{90} = 1 + frac{1}{2^4}+frac{1}{3^4}+frac{1}{4^4} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(4)} ] อย่างไรก็ตาม ในความรู้สึกหนึ่ง สูตรเหล่านี้ได้ย่อม ถ้าคุณต้องการคำนวณจริง $pi, pi ^ 2, pi ^ 3$ หรือ $pi ^ 4$ แล้วคุณอาจจะไม่ถึงหนึ่งสูตรเหล่านี้ เหตุผลคือ ว่า จะมาบรรจบกันช้ามาก ถ้าคุณใช้สูตร (1), เพิ่มเงื่อนไข 100 และคูณ ด้วย 4 คุณได้รับ 3.146567747182956 ซึ่งในขณะที่ค่อนข้างใกล้ $pi = 3.141592653589793...$ไม่ใช่การประเมินโดยเฉพาะอย่างยิ่งต้องให้ความพยายามเกี่ยวข้องกับการเพิ่มขึ้น 100 เงื่อนไข ถ้าคุณต้องการคำนวณ $pi $หรือ $pi ^ 2$ เพื่อความถูกต้องของทศนิยม 6 คุณต้องใช้ขั้น $10 ^ เงื่อนไข$ 6 ชุด (1) หรือ (2), และยาวนาน ก่อนที่คุณจะเพิ่มค่าของเงื่อนไขในชุด การปัดเศษข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับคอมพิวเตอร์คำนวณจะได้สะสมไปยังจุดเสื่อมโทรมอย่างรุนแรงความถูกต้องของคำตอบโลกต้องการปี่ดังนั้น สิ่ง คุณ (และบริสุทธิ์ mathematicians มาก) อาจพูด แน่นอน คุณไม่จำเป็นต้องทราบค่าของ $pi $ที่แม่นยำ หลังจากที่พระคัมภีร์มีเนื้อหาเพื่อให้รูปเดียวอย่างมีนัยสำคัญ อย่างไรก็ตาม $pi $ไม่ได้หมายเลขใด มันอยู่ที่เทคโนโลยีอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการหมุนหรือคลื่น และที่เป็นเครื่องกลและวิศวกรรมไฟฟ้า ถ้าหมุนส่วน กล่าวว่า เครื่องยนต์ jet ปกติไม่ผลิตการยอมรับสูง แล้วส่วนก็จะไม่หมุน นี้มักจะเกี่ยวข้องกับวัดที่ถูกต้องส่วนหนึ่งใน $10 ^ 4$ และ วัดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับ $pi เราต้องการค่า$ pi $จะน้อยนี้ลำดับของความถูกต้องเพื่อป้องกันความผิดพลาด ในภาพทางการแพทย์ที่ใช้ CAT หรือ MRI สแกนเนอร์ อุปกรณ์การสแกนเลื่อนวงแหวนซึ่งมีการผลิตเพื่อการยอมรับของส่วนหนึ่งใน $10 ^ 6$ กำหนดค่า $pi $แม่นยำยิ่งขึ้นอย่างไรก็ตาม แม้นี้ระดับความแม่นยำ pales เป็น insignificance เมื่อเรามองไปที่อุปกรณ์ไฟฟ้าที่ทันสมัย อิเล็กทรอนิกส์ความถี่สูง ความถี่กับ 1 GHz (ปกติสำหรับโทรศัพท์มือถือหรือใช้งานจีพีเอส), วิศวกรไฟฟ้ามีการทำงานกับฟังก์ชันของ $u(t) แบบฟอร์ม =$ cos (2 pi f t) ที่ $f sim 10 ^ 9$ และ $t$ เป็นตัวเลขใกล้กับหนึ่ง จะได้รับความถูกต้องใน $u(t) ฟังก์ชัน$ที่จำเป็นสำหรับ GPS เพื่อ งานต้องการความแม่นยำในค่าที่ใช้สำหรับ$ pi $กับส่วนหนึ่งใน $10 ^ { 15 }ดังนั้น ในโลกสมัยใหม่ เราจริง ๆ ต้องรู้ $pi $แม่นยำมากดังนั้น เราทำอะไร ความเป็นไปได้ที่หนึ่งจะใช้จำนวนเงื่อนไขของชุดใหญ่สำหรับ $pi $ฯลฯ ข้างต้น จองมากมายเวลาบนคอมพิวเตอร์ที่มีราคาแพงมาก นั่งหลัง และรอ (และรอ และรอ) หรือเราสามารถลอง และเร่งการบรรจบกันของพวกเขา เพื่อให้ มีเพียงจำนวนน้อยของเงื่อนไข (พูด 10) เราจะได้รับเลขนัยสำคัญ 10 สำหรับ $pi สิ่งที่ดีเกี่ยวกับวิธีการนี้เป็นที่มาของสูตรโปร่งใสมาก (ดี within the reach of ระดับปริญญาตรีปีแรกหรือแม้แต่ดีระดับนักเรียน) ในหลักการ วิธีการนี้ยังสามารถใช้หาผลรวมของชุดอื่น convergent ช้าเร่งการบรรจบกันของชุดลองสมมติว่า เรามีชุด [a_1 a_2 + a_3 + a_4 + ldots + a_ n + ldots ] และเรากำหนด$ n ของ $S_ ผลรวมด้วย [S_ n = a_1 + a_2 + ldots + a_ n. ] เราจะสมมติว่า ชุดนี้ converges ว่า จะมีผลรวม $S$ จำกัดเพื่อให้ [S_ n o S quad mbox{as } quad n o infty. ] ถ้าเราต้องการหาค่าของ $S$ แล้วเราสามารถเพียงแค่ใช้ค่า $S_ n$ และให้ $n$ ได้มาก อย่างไรก็ตาม เพียงเพิ่มค่าชุดสูญเสียค่อนข้างมากของข้อมูลที่อยู่ภายใน และเป็นสิ่งหยาบมากไม่ บางทีเราสามารถบีบข้อมูลเพิ่มเติมจากชุดข้อมูล และใช้ข้อมูลนี้เพื่อเร่งการบรรจบกันของ $S_ n$ ซึ่งหมายความ ว่า เราเพิ่มเงื่อนไขการแก้ไข $S_ n$ เพื่อให้มันใกล้ $S$ รวดเร็วมากยิ่งขึ้น สิ่งดีเกี่ยวกับวิธีการนี้คือ ว่า มันเป็นค่อนข้างง่ายในการทำงานจากการแก้ไขเงื่อนไขแสดงความคิดนี้เราจะนำชุด (2) สำหรับ $pi ^ 2/6$ ลองกำหนด [ S_ n = 1 + frac{1}{2^2} + ldots + frac{1}{n^2}. ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(5)} ] เป็น $n$ เพิ่ม $S_ n$ ยังเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องไปยังค่าของ $S = pi ^ 2/6$ เพิ่มขึ้นในรูปที่ 1 เราลงจุดค่าของ$ n $S_ ซึ่งคุณสามารถดูต่อค่าของ $pi ^ 2/6 = 1.644934066848226$กราฟ 1รูปที่ 1: ผลรวม Sn ที่ monotonically เพิ่มขึ้นπ 2/6สมมติว่า เราต่อไปมองที่แตกต่าง $E_ n = S - S_ n$ จะกำหนดเป็นแผนของ 2(a) รูป และเราสามารถดูว่า นี้ลดลงเป็นศูนย์เป็นเพิ่ม$ $n แต่วิธีที่รวดเร็วหรือไม่การประเมินนี้ เราพล็อตในรูป 2(b) ค่าของ $n E_ n$ เป็นที่ชัดเจนจากตัวเลขเหล่านี้ว่า ในขณะที่ $E o 0$ เป็น $n o infty $, $n E_ n $ยื่นค่าคงที่มีลักษณะพิรุธเช่นหนึ่งกราฟ 2รูปที่ 2: (ก)ข้อผิดพลาดน้ำแนวศูนย์ (ข) ฆราวาสซึ่งมีแนวโน้มที่หนึ่งจากนี้ เราอาจเดาว่า $E_ n approx 1/n$ เพื่อที่จะประมาณการครั้งแรก [S = S_ n + frac{1}{n } + ldots ] เราสามารถปรับปรุงบนนี้เดาโดยสมมติให้เป็นลำดับของตัวเลข $B_0, B_1, B_2, B_3 เช่น$ ldots ที่ $n o infty $ [ S = S _ n + frac{B_0}{n} + frac{B_1}{n^2} + frac{B_2}{n^3} + frac{B_3}{n^4} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(6)} ] ถ้าเราสามารถคำนวณ$ r เงื่อนไข $B_ สำหรับ $r = 0,1,2, ldots k$ แล้วเราสามารถประมาณ $S ดอลลาร์สหรัฐจากค่าของ $S_ n$ โดยนิพจน์ [S approx S_ n + frac{B_0}{n } + frac{B_1}{n^2 } + frac{B_2}{n^3 } + frac{B_3}{n^4 } ldots + frac{B_{k-1}}{n^ k } . ] แต่ Br คืออะไรมันเปลี่ยนจาก Br ชุดมากรู้จักตัวเลข มีวิธีดี และระบบการคำนวณค่า (แต่ถ้าคุณต้องการ คุณสามารถข้ามการคำนวณนี้ และตรงไปผลลัพธ์)ถ้าเราใช้ (6) และ$ $n$ ด้วย $n-1 แทนแล้วเราได้รับ [S = {n-1 } + frac{B_0}{n-1 } S_ + frac{B_1 } {(n-1) ^ 2 } + frac{B_2 } {(n-1) ^ 3 } + frac{B_3 } {(n-1) ^ 4 } + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(7) } ] เพื่อให้ [S_ {n-1 } - S_ {n } = B_0 left (frac{1}{n } -frac{1}{(n-1) }
ight) + B_1 left (frac{1}{n^2 } -frac{1 } {(n-1) ^ 2 }
ight) + B_2 left (frac { 1 } { n ^ 3 } -frac{1 } {(n-1) ^ 3 }
ight) + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(8) } ] ยัง จากคำนิยามของ $S_ n$ เรารู้ว่า [S_ n - S_ {n-1 } = frac{1}{n^2 } ] รวมนิพจน์เหล่านี้สองเราได้รับ [-frac{1}{n^2 } = B_0 left (frac{1}{n } -frac{1}{(n-1) }
ight) + B_1 left (frac{1}{n^2 } -frac{1 } {(n-1) ^ 2 }
ight) + B_2 left (frac { 1 } { n ^ 3 } -frac{1 } {(n-1) ^ 3 }
ight) + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(9) } ] เราสามารถค้นหาค่าของแต่ละเงื่อนไข $B_ k$ recursively ขยายของนิพจน์นี้ในอำนาจของ $1/n$ และพิจารณา $n$ มีขนาดใหญ่มาก ตัวอย่าง [frac{1}{(n-1) } = frac{1}{n(1-1/n) } = frac{1}{n } + frac{1}{n^2 } + frac{1}{n^3 } + ldots, ] และ [frac{1 } {(n-1) ^ 2 } = frac{1}{n^2 (1-1 เตียง/n) ^ 2 } = frac{1}{n^2 } + frac{2}{n^3 } + frac{3}{n^4 } + frac{4}{n^5 } + ldots ] โดยทั่วไปมากขึ้น [frac{1}{(n-1) ^ k } = frac{1}{n^ k (1-1 เตียง/n) ^ k } = frac{1}{n^ k } + frac{k}{n^{k+1 } } ldots + frac {left (egin{array}{c } k + r-1\ r end{array }
ight) } { n ^ {k + r } } + ldots ] ซึ่ง [left (egin{array}{c } k + r -1 \ r end{array }
ight) = frac { k (k + 1) (k + 2) ldots (k + r-1) } {r } . ] เหล่านี้เรียกว่าเทย์เลอร์ชุดขยายสำหรับนิพจน์ข้างต้นได้ตอนนี้ เราสามารถรวมนิพจน์เหล่านี้กับสมการ (9) ซึ่งทำให้ $displaystyle frac{1}{n^2 } $displaystyle = $displaystyle B_0 left (frac{1}{n^2 } + frac{1}{n^3 } + ldots
ight) + B_1 left (frac{2}{n^3 } + frac{3}{n^4 } + ldots
ight) + $ $displaystyle $displaystyle $displaystyle ldots + left B_ {k-1 } (frac{k}{n^{k+1 } } + frac{k(k+1) }

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โดยคริสบุดด์Submitted by mf344 บน 14 มีนาคม 2013 หนึ่งในผลทางคณิตศาสตร์ที่ชื่นชอบเป็นสูตรที่มีชื่อเสียง [ frac { pi} {4} = 1 - frac {1} {3} + frac {1} { 5} - frac {1} {7} + frac {1} {9} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox {(1)} ] เท่าที่ฉันกังวลทั้งหมดของคณิตศาสตร์อยู่ที่นี่และถ้าสูตรนี้ไม่ได้พัดคุณไปแล้วคุณก็มีจิตวิญญาณไม่มี สิ่งที่สูตรไม่สามารถที่จะเชื่อมต่อสองแนวความคิดแตกต่างกันมากรูปทรงเรขาคณิตที่เชื่อมโยงกับจำนวน $ pi $ และความเรียบง่ายของเลขคี่ ผลที่ได้คืออย่างแท้จริงขลังและที่น่าแปลกใจและว่าแสดงให้เห็นถึงวิธีพิเศษที่สามารถเชื่อมโยงคณิตศาสตร์รูปแบบด้วยกัน เมื่อใดก็ตามที่ผมถูกถามในการกำหนดคณิตศาสตร์ผมก็เขียนลงสมการ (1) บรรดาผู้ที่คิดว่าคณิตศาสตร์เป็นเพียงภาษาคิดอีกครั้ง. Pi วิธีการอย่างรวดเร็วไม่ชุดเหล่านี้มาบรรจบกันกับค่าที่เกี่ยวข้องกับπ? สูตรนี้มีประวัติศาสตร์ที่สวยงาม มันได้มาในเวสต์ใน 1671 โดยเจมส์เกรกอรี่จากสูตรสำหรับ arctan (x) และหลังจากนั้นเล็กน้อยและเป็นอิสระโดย Gottfried Leibniz แต่สูตรเดียวกัน (พร้อมกับผลอื่น ๆ อีกมากมายที่เกี่ยวข้องกับชุดอนันต์) ถูกค้นพบนานก่อนที่จะในยุค 1300 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียที่ดี Madhava ผลที่คล้ายกันของความงามที่เท่าเทียมกันคือชุดมาบรรจบกันที่ได้รับจาก [ frac { pi ^ 2} {6} = 1 + frac {1} {2 ^ 2} + frac {1} {3 ^ 2} + frac {1} {4} ^ 2 + ldots, ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox {(2)} ] [ frac { pi ^ 3} {32} = 1 - frac {1} {3 ^ 3} + frac {1} {5 ^ 3} - frac { 1} {7 ^ 3} + ldots, ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox {(3)} ] และ [ frac { pi ^ 4} {90} = 1 + frac {1} {2 ^ 4} + frac {1} {3 ^ 4} + frac {1} {4 ^ 4} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox {(4)} ] แต่ในอีกแง่หนึ่งสูตรเหล่านี้เป็นที่น่าผิดหวัง ถ้าคุณต้องการจริงคำนวณ $ pi, pi ^ 2 pi ^ 3 $ หรือ $ pi ^ 4 $ แล้วคุณอาจจะไม่ถึงหนึ่งในสูตรเหล่านี้ เหตุผลก็คือว่าพวกเขามาบรรจบกันช้ามาก ถ้าคุณใช้สูตร (1) เพิ่มขึ้น 100 คำและคูณด้วย 4 คุณจะได้รับ 3.146567747182956 ซึ่งในขณะที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับ $ pi = 3.141592653589793 ... $ ไม่ได้ประมาณการที่แม่นยำโดยเฉพาะอย่างยิ่งความพยายามให้มีส่วนร่วมในการเพิ่มขึ้น 100 คำ . ถ้าคุณต้องการที่จะคำนวณ $ pi $ หรือ $ pi ^ 2 $ เพื่อความถูกต้องของหกตำแหน่งทศนิยมคุณจะต้องใช้เวลาในการสั่งซื้อของ $ 10 ^ 6 $ แง่ของชุดทั้ง (1) หรือ (2) และ นานก่อนที่คุณได้เพิ่มขึ้นทุกคำในซีรีส์การปัดเศษข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณของคอมพิวเตอร์จะมีการสะสมไปยังจุดที่ถูกต้องของคำตอบที่มีการเสื่อมโทรมอย่างรุนแรง. โลกต้องการปี่ดังนั้นสิ่งที่คุณ (และนักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์จำนวนมาก ) อาจจะบอกว่า แน่นอนคุณไม่จำเป็นต้องรู้ค่าของ $ pi $ ที่ถูกต้องหลังจากที่พระคัมภีร์ทั้งหมดเป็นเนื้อหาที่จะให้มันอยู่กับเพียงหนึ่งรูปอย่างมีนัยสำคัญ อย่างไรก็ตาม $ pi $ ไม่ได้หมายเลขใด มันอยู่ที่หัวใจของเทคโนโลยีที่เกี่ยวข้องกับการหมุนหรือคลื่นใด ๆ และที่มากของวิศวกรรมเครื่องกลและไฟฟ้า ถ้าหมุนชิ้นส่วนในการพูดไอพ่นทั่วไปไม่ได้ผลิตเพื่อความอดทนสูงแล้วส่วนก็จะไม่หมุน นี้มักจะเกี่ยวข้องกับการวัดที่ถูกต้องเพื่อเป็นส่วนหนึ่งใน 10 $ ^ 4 $ และเป็นวัดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับ $ pi $ เราต้องมีค่าของ $ pi $ เพื่ออย่างน้อยคำสั่งนี้ของความถูกต้องเพื่อป้องกันข้อผิดพลาด ในการถ่ายภาพทางการแพทย์โดยใช้ CAT หรือสแกนเนอร์ MRI, สแกนอุปกรณ์ย้ายแหวนซึ่งจะต้องมีการผลิตเพื่อความอดทนของส่วนหนึ่งใน 10 $ ^ 6 $ ต้องคุณค่ามากยิ่งแม่นยำยิ่งขึ้นของ $ pi $. อย่างไรก็ตามแม้ระดับนี้ ของความถูกต้อง pales ลงเล็กน้อยเมื่อเรามองไปที่อุปกรณ์ไฟฟ้าที่ทันสมัย ในอุตสาหกรรมอิเล็กทรอนิกส์ความถี่สูงที่มีความถี่ในการสั่งซื้อของ 1GHz (ทั่วไปสำหรับโทรศัพท์มือถือหรือการใช้งานจีพีเอส), วิศวกรไฟฟ้ามีการทำงานร่วมกับฟังก์ชั่นของรูปแบบ $ U (t) = cos (2 pi ฟุต) $ $ ที่ฉ sim 10 ^ 9 $ และ $ t $ เป็นจำนวนใกล้เคียงกับอย่างใดอย่างหนึ่ง เพื่อให้ได้ความถูกต้องในการทำงานได้ $ U (t) $ จำเป็นสำหรับจีพีเอสในการทำงานต้องใช้ความแม่นยำในมูลค่าที่ใช้สำหรับ $ pi $ ในการสั่งซื้อของส่วนหนึ่งใน 10 $ ^ {15} $. ดังนั้นจะอาศัยอยู่ใน โลกสมัยใหม่เราจริงๆไม่จำเป็นต้องรู้ $ pi $ แม่นยำมาก. ดังนั้นสิ่งที่เราจะทำอย่างไร หนึ่งเป็นไปได้คือการใช้จำนวนมากมายของข้อตกลงของซีรีส์ราคา $ pi $ ฯลฯ ข้างต้นจำนวนมากหนังสือของเวลาในคอมพิวเตอร์ที่มีราคาแพงมากและกลับมานั่งรอ (และรอและรอ) หรือเราสามารถลองและเร่งการบรรจบกันของพวกเขา ดังนั้นที่มีเพียงจำนวนน้อยของข้อตกลง (พูด 10) เราจะได้รับ 10 ตัวเลขที่สำคัญราคา $ pi $ สิ่งที่ดีเกี่ยวกับวิธีการนี้เป็นที่มาของสูตรมีความโปร่งใสมาก (ดีในการเข้าถึงของนักศึกษาปริญญาตรีปีแรกหรือแม้กระทั่งการเป็นนักเรียนที่ดีในระดับ) ในหลักการวิธีการนี้ยังสามารถนำมาใช้ในการหาผลรวมของอื่น ๆ ชุดกันช้า. เร่งการบรรจบกันของชุดลองสมมติว่าเรามีชุด [a_1 + A_2 + a_3 + a_4 + ldots + a_ + n ldots ] และเรากำหนดผลรวม $ S_ n $ โดย [S_ n = a_1 + A_2 + ldots + a_ n ] เราจะสมมติว่าลู่ชุดนี้ ซึ่งหมายความว่ามีการ จำกัด ผลรวม $ S $ เพื่อให้ [S_ n to S สี่เหลี่ยม mbox {เป็น} สี่เหลี่ยม n to infty ] ถ้าเราต้องการที่จะทำงานออกค่าของ $ $ S จากนั้นเราก็สามารถใช้ค่า $ S_ n $ และให้ $ n $ ได้รับมีขนาดใหญ่มาก แต่เพียงการเพิ่มขึ้นชุดสูญเสียค่อนข้างมากของข้อมูลที่มีอยู่ภายในและเป็นจริงเป็นสิ่งที่ดิบมากที่จะทำ บางทีเราสามารถบีบข้อมูลเพิ่มเติมจากชุดและใช้ข้อมูลนี้เพื่อเร่งการบรรจบกันของ $ S_ n $ ซึ่งหมายความว่าเราเพิ่มระยะการแก้ไขเพื่อ S_ $ n $ เพื่อที่จะเข้าใกล้ $ S $ มากขึ้นอย่างรวดเร็ว อะไรคือสิ่งที่ดีเกี่ยวกับวิธีการนี้ก็คือว่ามันเป็นเรื่องง่ายมากที่จะทำงานออกข้อกำหนดการแก้ไข. เพื่อแสดงให้เห็นความคิดนี้เราจะใช้ชุด (2) ราคา $ pi ^ 06/02 $ ให้มีกำหนด [S_ n = 1 + frac {1} {2 ^ 2} + ldots + frac {1} {n ^ 2} ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox {(5)} ] ในฐานะที่ $ n $ เพิ่มขึ้น $ S_ n $ ยังเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องที่มีต่อค่าของ $ S = pi ^ 06/02 $ ในรูปที่ 1 เราพล็อตค่าของ $ S_ n $ ซึ่งคุณสามารถเห็นจะเพิ่มขึ้นต่อค่าของ $ pi ^ 6/2 = 1.644934066848226 $. กราฟ 1 รูปที่ 1: Sn ผลรวมที่เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เพื่อπ 2/6? . สมมติว่าเราต่อไปดูความแตกต่าง $ E_ n = S - S_ n $ พล็อตจะได้รับในรูปที่ 2 (a) และเราจะเห็นว่าเรื่องนี้จะลดลงไปอยู่ที่ศูนย์เป็น $ n $ เพิ่มขึ้น แต่วิธีการที่เร็วกว่าใครในการคำนวณมูลค่าที่เราพล็อตนี้ในรูปที่ 2 (ข) ค่าของ $ n E_ n $ เป็นที่ชัดเจนจากตัวเลขเหล่านี้ว่าในขณะที่ $ E 0 $ เป็น $ n to infty $ $ n E_ n $ วิธีการอย่างต่อเนื่องที่มีลักษณะมีพิรุธอย่างหนึ่ง. กราฟ 2 รูปที่ 2 (ก) ข้อผิดพลาด En พุ่งไป ศูนย์ (ข) เณรซึ่งมีแนวโน้มที่จะเป็นหนึ่ง. จากนี้เราอาจจะเดาว่า $ E_ n ประมาณ 1 / n $ เพื่อให้การครั้งแรกประมาณ [S = S_ n + frac {1} {n} + ldots ] เราสามารถปรับปรุงในการคาดเดานี้โดยการสมมติว่ามีลำดับของตัวเลข $ B_0, B_1, B_2, B_3, ldots $ ดังกล่าวว่าเป็น $ n to infty $ [s = _ + n frac {B_0 } {n} + frac {B_1} {n ^ 2} + frac {B_2} {n ^ 3} + frac {B_3} {n ^ 4} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox {(6)} ] ถ้าเราสามารถคำนวณแง่ $ B_ R $ ราคา $ r = 0,1,2, ldots k $ แล้วเราสามารถประมาณ $ $ S จากค่าของ $ S_ n $ โดย การแสดงออก [S ประมาณ S_ n + frac {B_0} {n} + frac {B_1} {n ^ 2} + frac {B_2} {n ^ 3} + frac {B_3} {n ^ 4} + ldots + frac {B_ {k-1}} {n ^ k} ] แต่สิ่งที่เป็น Br? แต่กลับกลายเป็นว่า Br เป็นชุดที่มีชื่อเสียงมากของตัวเลข มีวิธีการที่ดีและระบบการคำนวณค่าของพวกเขาคือ (แต่ถ้าคุณต้องการคุณสามารถข้ามการคำนวณนี้และตรงไปยังผล). ถ้าเราใช้เวลา (6) และแทนที่ $ n $ โดย $ n-1 $ แล้วเราได้รับ [S = S_ {n-1} + frac {B_0} {n-1} + frac {B_1} {(n-1) ^ 2} + frac {B_2} {(n-1) ^ 3} + frac {B_3} {(n-1) ^ 4} + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox {(7)} ] เพื่อให้ [S_ {n-1} - S_ {n} = B_0 left ( frac {1} {n} - frac {1} {(n-1)} ขวา) + B_1 left ( frac {1} {n ^ 2} - frac {1} {(n-1) ^ 2} ขวา) + B_2 left ( frac {1} {n ^ 3 } - frac {1} {(n-1) ^ 3} ขวา) + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox {(8)} ] นอกจากนี้จากนิยามของ $ S_ n $ เรารู้ว่า [S_ n - S_ {n-1} = frac {1} {n ^ 2} ] รวมทั้งสองสำนวนที่เราได้รับ [- frac {1} {n ^ 2} = B_0 left ( frac {1} {n} - frac {1} {(n-1)} ขวา) + B_1 left ( frac {1} {n ^ 2} - frac {1} {(n-1) ^ 2} ขวา) + B_2 left ( frac {1} {n ^ 3} - frac {1} {(n-1) ^ 3} ขวา) + ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox {(9)} ] ตอนนี้เราสามารถหาค่าของแต่ละแง่ $ B_ k $ ซ้ำโดยการขยายแต่ละของการแสดงออกเหล่านี้ในอำนาจของ $ 1 / n $ และพิจารณา $ $ n จะมีขนาดใหญ่มาก ตัวอย่างเช่น [ frac {1} {(n-1)} = frac {1} {n (1 - 1 / n)} = frac {1} {n} + frac {1} {n ^ 2} + frac {1} {n ^ 3} + ldots, ] และ [ frac {1} {(n-1) ^ 2} = frac {1} {n ^ 2 (1-1 / n) ^ 2} = frac {1} {n ^ 2} + frac {2} {n ^ 3} + frac {3} {n ^ 4} + frac {4} {n ^ 5} + ldots ] มากกว่าปกติ [ frac {1} {(n-1) ^ k} = frac {1} {n ^ k (1 - 1 / n) ^ k} = frac {1} {n ^ k } + frac {K} {n ^ {k + 1}} + ldots + frac { left ( begin {อาร์เรย์} {C} k + R -1 \ r end {อาร์เรย์} ขวา) } {n ^ {K + r}} + ldots ] ที่ [ left ( begin {อาร์เรย์} {C} k + R -1 \ r end {อาร์เรย์} ขวา) = frac {k (k + 1) (k + 2) ldots (k + R-1)} {r} ] เหล่านี้เป็นสิ่งที่เรียกว่าการขยายชุดเทย์เลอร์สำหรับการแสดงออกด้านบน. ตอนนี้เราสามารถรวมการแสดงออกเหล่านี้กับสมการ (9) นี้จะช่วยให้ $ displaystyle frac {1} {n ^ 2} $ $ displaystyle = $ $ displaystyle B_0 left ( frac {1} {n ^ 2} + frac {1} {n ^ 3} + ldots ขวา) + B_1 left ( frac {2} {n ^ 3} + frac {3} {n ^ 4} + ldots ขวา) + $ $ displaystyle $ $ displaystyle $ $ displaystyle ldots + B_ {k-1} left ( frac {K} {n ^ {k + 1}} + frac {k (k + 1)}

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดย คริส บัดด์

ส่งโดย mf344 วันที่ 14 มีนาคม 2556
หนึ่งของฉันชื่นชอบคณิตศาสตร์ผลลัพธ์เป็นที่มีชื่อเสียงสูตร

[ frac { pi } { 4 } = frac { 1 } { 3 } frac { 1 } { 5 } - frac { 1 } { 7 frac } { 1 } { 9 } ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox { ( 1 ) } / ]
เท่าที่ฉันกังวลทั้งหมดของคณิตศาสตร์คือที่นี่ถ้าสูตรนี้ไม่พัดคุณไป แล้วคุณก็ไม่มีวิญญาณ แล้วสูตรจะถูกเชื่อมต่อสองแนวคิดที่แตกต่างกันมาก รูปทรงเรขาคณิตที่เชื่อมโยงกับหมายเลขที่ $ pi $ และความเรียบง่ายของเลขคี่ ผลที่ได้คืออย่างแท้จริงขลังและน่าแปลกใจและถูกต้องแสดงให้เห็นถึงวิธีที่พิเศษคณิตศาสตร์สามารถรูปแบบการเชื่อมโยงเข้าด้วยกันเมื่อใดก็ตามที่ผมขอให้นิยามคณิตศาสตร์ผมเพียงแค่เขียนสมการ ( 1 ) ใครที่คิดว่าคณิตศาสตร์เป็นเรื่องแค่ภาษาคิดอีกครั้ง

pi
ได้อย่างรวดเร็วทำชุดเหล่านี้เป็นค่าที่เกี่ยวข้องกับπ ?


สูตรนี้มีประวัติศาสตร์ที่สวยงาม มันเกิดขึ้นในทิศตะวันตกในให้โดยเจมส์เกรกอรี จากสูตร arctan ( X ) และเล็กน้อยในภายหลังและเป็นอิสระโดยวอลต์ดิสนีย์เวิลด์รีสอร์ต . อย่างไรก็ตามสูตรเดียวกัน ( รวมทั้งหลายอื่น ๆผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับอนุกรมอนันต์ ) ถูกค้นพบมาก่อนใน 1300 โดยอินเดียมากนักคณิตศาสตร์มเธวะ . ผลที่คล้ายกันของเท่ากับความงามมีการระบุโดยชุด

[ frac { pi
2 } { 6 } = 1 frac { 1 } { 2
2 } frac { 1 } { 3
2 } frac { 1 } { 4
2 } ldots N ไป ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(2)} ]
[ frac{pi
3}{32} = 1 - frac{1}{3
3} frac{1}{5
3}- frac{1}{7
3} ldots , ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox{(3)} ]
and

[ frac{pi
4}{90} = 1 frac{1}{2
4} frac{1}{3
4} frac{1}{4
4} ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox } { ( 4 ) ]
แต่ในแง่หนึ่ง สูตรเหล่านี้ที่น่าผิดหวัง ถ้าคุณต้องการจริงคำนวณ $ pi pi
2 pi
2 $ หรือ $ pi
2 $ แล้วคุณอาจจะไม่เข้าถึงหนึ่งของสูตรเหล่านี้ . เหตุผลก็คือพวกเขาบรรจบกันช้ามาก ถ้าคุณใช้สูตร ( 1 ) เพิ่มขึ้น 100 เงื่อนไข คูณด้วย 4คุณได้รับ 3.146567747182956 ซึ่งในขณะที่ค่อนข้างใกล้เคียงกับ $ pi $ = 3.141592653589793 . . . ไม่ใช่เฉพาะถูกต้องประมาณการได้รับความพยายามที่เกี่ยวข้องในการเพิ่มขึ้น 100 คำ ถ้าคุณต้องการคำนวณ $ pi $ หรือ $ pi
2 $ เพื่อความถูกต้องของหกตำแหน่งทศนิยมที่คุณอาจต้องใช้เวลาในการสั่งซื้อ $ 10
6 $ แง่ของทั้งชุด ( 1 ) หรือ ( 2 )และนานก่อนที่คุณเพิ่มทั้งหมดของเงื่อนไขในชุด จับข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณของคอมพิวเตอร์จะได้สะสมจนถึงจุดที่ความถูกต้องของคำตอบคือเสื่อมโทรมอย่างรุนแรง

โลกต้องการพาย

ดังนั้นสิ่งที่คุณ ( และนักคณิตศาสตร์บริสุทธิ์มาก ) อาจจะบอกว่า แน่นอนคุณไม่ต้องการที่จะรู้ค่าของ $ pi $ ที่ถูกต้องหลังจากทั้งหมดในพระคัมภีร์เป็นเนื้อหาให้เพียงหนึ่งที่มีรูป $ pi $ แต่ไม่ทุกเบอร์ มันอยู่ที่หัวใจของเทคโนโลยีที่เกี่ยวข้องกับการหมุนหรือคลื่น , และมากของเครื่องกลและวิศวกรรมไฟฟ้า ถ้าชิ้นส่วนที่หมุน ใน พูด เครื่องยนต์ทั่วไปจะไม่ผลิต ความอดทนสูง แล้วชิ้นส่วนเพียงไม่หมุนนี้มักจะเกี่ยวข้องกับการวัดที่ถูกต้องเพื่อส่วนหนึ่งใน $ 10
4 $ และ วัดเหล่านี้เกี่ยวข้องกับ $ pi $ เราต้องค่าของ $ pi $ อย่างน้อยก็เพื่อความถูกต้อง เพื่อป้องกันข้อผิดพลาด ในการถ่ายภาพทางการแพทย์ที่ใช้ CAT หรือ MRI สแกนเนอร์ , สแกนอุปกรณ์ย้ายแหวนที่ต้องผลิตให้ความอดทนของส่วนหนึ่งใน $ 10
6 $ ที่ต้องการได้แม่นยำกว่าค่าของ $ pi $

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่าระดับของความถูกต้อง หน้าซีดลงเล็กน้อยเมื่อเราดูที่อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ที่ทันสมัย อิเล็กทรอนิกส์ความถี่สูงที่มีความถี่ในการสั่งซื้อของ 1GHz ( ปกติสำหรับโทรศัพท์มือถือหรือโปรแกรม GPS ) , วิศวกรต้องทำงานด้วยฟังก์ชันของรูปแบบ $ u ( t ) = cos ( 2 pi $ ที่ $ F T ) F N ซิม 10
9 $ และ $ t $ เป็นจำนวน ใกล้หนึ่งเพื่อให้ได้ความถูกต้องในฟังก์ชัน $ u ( t ) $ ที่จำเป็นสำหรับ GPS ทำงานต้องแม่นยำในค่าใช้ $ pi $ ในคำสั่งของหนึ่งใน $ 10
{ 15 } $

แล้วจะอยู่ในโลกสมัยใหม่ที่เราจำเป็นต้องรู้ $ pi $

อย่างถูกต้อง ดังนั้น เราสามารถทำอะไรได้บ้าง หนึ่งเป็นไปได้คือการเอาตัวเลขมากมายของเงื่อนไขของชุดสำหรับ $ pi $ ฯลฯ ข้างต้น หนังสือมากมายเวลาในคอมพิวเตอร์ราคาแพงมากนั่งรอ และ รอ และ รอ ) หรือเราสามารถลองและเร่งการบรรจบกันของพวกเขา เพื่อให้มีเพียงจำนวนน้อยของข้อตกลง ( พูด 10 ) เราจะได้รับ 10 ตัวเลขสำคัญสำหรับ $ pi $ สิ่งที่ดีเกี่ยวกับวิธีการนี้ว่ารากศัพท์ของสูตรคือโปร่งใสมาก ( ดีในการเข้าถึงของปีแรกนักศึกษาหรือนักเรียนในระดับดี )ในหลักการ วิธีการนี้ยังสามารถใช้หาผลรวมของอื่น ๆค่อยๆ ลู่เข้าชุด

เร่งการลู่เข้าของอนุกรม

เรามาสมมติว่าเรามีชุด

[ a_1 a_2 a_3 a_4 N N ldots a_ ldots ]
เรากำหนดผลรวม $ n $
s_ โดย
/ [ s_ n = a_1 a_2 ldots a_ . ]
เราถือว่าชุดนี้ๆ .ซึ่งหมายความว่ามีการรวม $ S $ ดังนั้น

N [ s_ S quad mbox { เป็น } quad n n infty . ]
ถ้าเราต้องการทำงานออกค่าของ $ S $ แล้วเราสามารถใช้ค่า $ s_ N $ ให้ $ n $ รับใหญ่มาก อย่างไรก็ตาม การเพิ่มชุดแพ้ค่อนข้างมากของข้อมูลที่อยู่ภายใน และเป็นสิ่งดิบมากที่จะทำบางทีเราสามารถบีบข้อมูลเพิ่มเติมของชุดข้อมูลและใช้ข้อมูลนี้เพื่อเร่งการลู่เข้าของ s_ $ n $ นี่หมายความว่า เราเพิ่มการแก้ไขในระยะ s_ $ $ ดังนั้นวิธี $ S $ มากขึ้นอย่างรวดเร็ว เป็นสิ่งที่ดีเกี่ยวกับวิธีการนี้ก็คือว่ามันค่อนข้างง่ายที่จะทำงานออกแก้ไขเงื่อนไข

นี้แสดงให้เห็นถึงความคิดเราจะเอาชุด ( 2 ) สำหรับ $ pi
2 / 6 $ เรามากำหนด

[ s_ n = 1 frac { 1 } { 2
2 } N ldots frac { 1 } { n
2 } ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox { ( 5 ) } / ]
$ $ $ $ s_ เพิ่มขึ้น ยังเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องไปยังค่าของ $ s = pi
2 / 6 $ ในรูปที่ 1 เราจะแปลงค่าของ $ n $ s_ ซึ่งคุณสามารถดูเพิ่มไปยังค่าของ $ pi
2 / 6 = 1644934066848226 $


รูปที่ 1 : กราฟ 1 ผลรวม SN ซึ่ง monotonically เพิ่มπ  2 / 6
สมมติว่าเราหน้าดูความแตกต่าง $ e_ n = S - s_ N $ พล็อตจะได้รับในรูปที่ 2 ( ก ) และเราสามารถดูว่า นี้ลดลงไปอยู่ที่ศูนย์เป็น $ n $ ที่เพิ่มขึ้น แต่วิธีการที่รวดเร็ว ?

ประมาณนี้เราแปลงในรูปที่ 2 ( ข ) ค่าของ $ n e_ N $ ก็เป็นที่ชัดเจนจากตัวเลขเหล่านี้ระหว่าง $ E 0 $ $ n N infty $ ,$ N $ e_ วิธีคงที่ที่ดูน่าสงสัย เหมือน กราฟ 2

รูปที่ 2 ( ก ) ข้อผิดพลาดและดูแลศูนย์ ( ข ) เณรซึ่งมีแนวโน้ม .
จากนี้เราอาจเดาได้ว่า $ e_ N N ประมาณ 1 / n $ ดังนั้นที่แรกประมาณ

/ [ S = s_ N frac { 1 } { n } N ldots ]
เราสามารถปรับปรุงในเรื่องนี้ว่า โดยสมมติว่ามี ลำดับของตัวเลข $ b_0 b_1 b_2 b_3 , , , , ldots $ ซึ่ง $ n infty $

[ S = S _ N frac b_0 } { n } { frac { b_1 } { n
2 } } { { frac b_2 n
3 } } { { frac b_3 n
4 } ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox { ( 6 ) } / ]
ถ้าเราสามารถคำนวณเงื่อนไข $ b_ R $ $ r = 0,1,2 , ldots K $ แล้วเราสามารถประมาณค่า $ S $ จากค่าของ $ n $ s_ โดยการแสดงออก

n n [ S ประมาณ s_ frac b_0 } { n } { frac { b_1 } { n
2 } } { { frac b_2 n
3 } { frac b_3 } { n
4 } { ldots frac b_ { K - 1 } } { N
k } ]
แต่สิ่งที่เป็น BR ?

ปรากฎว่า BR เป็นชุดมากที่รู้จักกันดีของตัวเลขมันเป็นวิธีที่ดี และระบบจะคำนวณค่าของพวกเขา แต่ถ้าคุณต้องการคุณสามารถข้ามการคำนวณและตรงไปผล )

ถ้าเราใช้ ( 6 ) และแทนที่ $ n $ ด้วย $ N - 1 $ แล้วเรารับ

/ [ S = s_ { } { } frac b_0 N - 1 { N - 1 } } { { frac b_1 ( N - 1 )
2 } { frac b_2 } { ( N - 1 )
3 } { frac b_3 } { ( N - 1 )
4 } ldots ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox { 7 } / ]


ดังนั้นว่า[ s_ } { N - 1 - s_ { n } = b_0 ซ้าย ( frac { 1 } { n } - frac { 1 } { ( N - 1 ) } b_1 ซ้าย ( ขวา ) frac { 1 } { n
2 } - frac { 1 } { ( N - 1 )
2 } ) ( b_2 ซ้าย frac { 1 } { n
3 } - frac { 1 } { ( N - 1 )
3 } ldots ) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox { ( 8 ) } / ]
นอกจากนี้ จากนิยามของ $ n $ s_ เรารู้

[ - N - 1 s_ s_ { } = frac { 1 } { n
2 } ]
รวมเหล่านี้สองสำนวนที่เราได้

[ frac { 1 } { N
2 } = b_0 ซ้าย ( frac { 1 } { n } - frac { 1 } { ( N - 1 ) } ) ( b_1 ซ้าย frac { 1 } { n
2 } - frac { 1 } { ( N - 1 )
2 } b_2 ซ้าย ( ขวา ) frac { 1 } { n
3 } - frac { 1 } { ( N - 1 )
3 } ldots ) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; mbox { ( 9 ) } / ]
ตอนนี้เราสามารถ หาค่าของแต่ละเงื่อนไข $ K $ b_ recursively การขยายแต่ละนิพจน์เหล่านี้ในอำนาจของ $ 1 / n $ และ $ n $ จะพิจารณาขนาดใหญ่มากตัวอย่างเช่น

[ frac { 1 } { ( N - 1 ) } = frac { 1 } { N ( 1 - 1 / n ) } = frac { 1 } { n } { 1 } { frac n
2 } { 1 } { frac n
3 } ldots N , [

] และ N frac { 1 } { ( N - 1 )
2 } = frac { 1 } { n
2 ( 1 - 1 / n )
2 } = frac { 1 } { n
2 } { 2 } { frac n
3 } { frac 3 } { n
4 } { 4 } { frac n
5 } ldots . ]
มากขึ้นโดยทั่วไป

[ frac { 1 } { ( N - 1 )
k } = frac { 1 } { N
K ( 1 - 1 / n )
k } = frac { 1 } { n }
k N frac { K } { N
{ K 1 } } N { frac ldots ซ้าย N เริ่มต้น } { C } { เรย์ K R - 1 r n } { เรย์จบ N ใช่ ) n
{ K } { R } } N ที่ ldots ]


[ N แล้ว ( เริ่ม } { { เรย์ C } K R - 1 r n } { เรย์จบสิทธิ ) = frac { K ( , 1 ) ( , 2 ) ldots ( r-1 } { K ) R } ]
เหล่านี้เรียกว่าการขยายอนุกรมเทย์เลอร์สำหรับนิพจน์ข้างต้น

ตอนนี้เราสามารถใช้สำนวนนี้กับสมการที่ ( 9 ) นี้จะช่วยให้

$ displaystyle frac { 1 } { n
2 } $ $ displaystyle = $ $ ( N displaystyle b_0 ซ้าย frac { 1 } { n
2 } { 1 } { frac n
3 } ldots ขวา ) b_1 ซ้าย ( frac { 2 } { n
3 frac } { 3 } { n
4 } N ใช่ ldots ) $
$ displaystyle $ $ $ $ displaystyle displaystyle ldots b_ { K - 1 } ( N แล้ว frac { K } { n
{ K 1 } } frac { K ( K ) }