The Mathematical Association is col

The Mathematical Association is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to The Mathematical Gazette
.
http://www.jstor.org
Euler's Contribution to Number Theory
Author(s): Peter Shiu
Source: The Mathematical Gazette, Vol. 91, No. 522 (Nov., 2007), pp. 453-461
Published by: The Mathematical Association
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/40378418
Accessed: 17-05-2015 14:54 UTC
Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at http://www.jstor.org/page/
info/about/policies/terms.jsp
JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range of content
in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new forms of scholarship.
For more information about JSTOR, please contact [e-mail].
This content downloaded from 110.164.170.1 on Sun, 17 May 2015 14:54:10 UTC
All use subject to JSTOR Terms and ConditionsEULERS CONTRIBUTION TO NUMBER THEORY 453
Euler's contribution to number theory
PETER SHIU
1. Introduction
Individuals who excel in mathematics have always enjoyed a well
deserved high reputation. Nevertheless, a few hundred years back, as an
honourable occupation with means to social advancement, such an individual
would need a patron in order to sustain the creative activities over a long
period. Leonhard Euler (1707-1783) had the fortune of being supported
successively by Peter the Great (1672-1725), Frederich the Great (1712-
1786) and the Great Empress Catherine (1729-1791), enabling him to
become the leading mathematician who dominated much of the eighteenth
century. In this note celebrating his tercentenary, I shall mention his work in
number theory which extended over some fiftyears. Although it makes up
only a small part of his immense scientific output (it occupies only four
volumes out of more than seventy of his complete work) it is mostly through
his research in number theory that he will be remembered as a
mathematician, and it is clear that arithmetic gave him the most satisfaction
and also much frustration. Gazette readers will be familiar with many of his
results which are very well explained in H. Davenport's famous text [1], and
those who want to know more about the historic background, together with
the rest of the subject matter itself, should consult A. Weil's definitive
scholarly work [2], on which much of what I write is based. Some of the
topics being mentioned here are also set out in Euler's own Introductio in
analysin infinitorum (1748), which has now been translated into English [3].
Number theory, as a branch of mathematics concerned with the
properties of whole numbers, can be said to date from the discoveries of
Fermât (1601-1665). There is little doubt that he had proofs for many of the
results discovered by him, but he did not publish them and was content with
private communications with other interested scientists. It was thus left to
Euler to set out the proofs for the mathematical community, and it will not
be out of place here to quote G. H. Hardy: 'In number theory, proof is
everything!' Euler took up Fermat's writing in 1730 and found many
interesting statements concerning primes and sums of squares. As Weil [2]
put it, 'He had discovered a topic which was to haunt him all his life.'
Besides admiration from Lagrange (1736-1813) and Goldbach (1690-1764),
there was not much enthusiasm for Euler's research in arithmetic among
fellow scientists. Even his old friend Daniel Bernoulli (1700-1782)
sometimes spoke disparagingly about such work - for example, when
replying to a letter from Nicolas Fuss (1755-1826) reporting on what Euler
had discovered, his less than enthusiastic reply might be paraphrased as 'So
what! Why does the great man pay so much attention to prime numbers?
Personally I value more your research into the strength of beams.'
In the following I shall, of course, make use of the congruence notation
introduced by Gauss (1777-1855). However, readers should remember that
This content downloaded from 110.164.170.1 on Sun, 17 May 2015 14:54:10 UTC
All use subject to JSTOR Terms and Conditions454 THE MATHEMATICAL GAZETTE
this vital tool, which not only simplifies the arithmetic involved but also
leads at once to the abstract notion of congruence classes, was not available
to Euler. Again even the useful Legendre symbol for the quadratic character
of a number, which would have simplified and perhaps enhanced much of
his work, was introduced only towards the end of the period concerned.
Incidentally, on the notion of congruence classes, Davenport [1] wrote The
fact that there are only a finite number of essentially different numbers in
arithmetic to a modulus m means that there are algebraic relations which are
satisfied by every number in that arithmetic. There is nothing analogous to
these relations in ordinary arithmetic' and Weil [2] wrote 'Noteworthy is
Euler's increasing awareness that in such matters he is dealing, not with
individual integers, but with what we would call congruence classes.'
2. The Fermat-Euler theorem
Let us begin with Fermat's 'Little Theorem', which was given in a letter
dated 18 October 1640 and states that, for a prime /?, the congruence aF = a
(mod/?) is satisfied by every a. This was generalised by Euler in 1760 to the
famous Fermat-Euler theorem
a*m) = 1 (modm),
where (p (m) counts the numbers up to m which are coprime with m, and the
congruence is satisfied by every such number a; this important result forces
us to consider the multiplicative group of integers modulo m, and indeed
marks the beginning of group theory. Fermât discovered his theorem from
'additive' considerations involving the binomial expansion. More
specifically, all the binomial coeffcients in the expansion
(a + If = d + 1 + X (íV~* 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ที่ได้ร่วมมือกับ JSTOR digitize รักษา และขยายเข้าไปประกาศทางคณิตศาสตร์.http://www.jstor.orgเงินสมทบของออยเลอร์ทฤษฎีจำนวนAuthor(s): ปีเตอร์ Shiuที่มา: คณิตศาสตร์ประกาศ ปี 91 หมายเลข 522 (พฤศจิกายน 2007), นำ 453-461ประกาศโดย: สมาคมคณิตศาสตร์มีเสถียรภาพ URL: http://www.jstor.org/stable/40378418เข้าถึงเมื่อ: 17-05-2015 14:54 UTCการใช้การเก็บถาวร JSTOR บ่งชี้ว่า คุณยอมรับข้อตกลงและเงื่อนไขของใช้ http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jspJSTOR เป็นบริการไม่สำหรับกำไรที่ ช่วยนักวิชาการ นักวิจัย นักเรียนได้ ใช้ และสร้างความหลากหลายของเนื้อหาในเก็บถาวรดิจิทัลเชื่อถือได้ เราใช้เทคโนโลยีสารสนเทศและเครื่องมือเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพ และอำนวยความสะดวกรูปแบบใหม่ของการศึกษาสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ JSTOR กรุณาติดต่อ [e-mail]เนื้อหานี้ดาวน์โหลดจาก 110.164.170.1 เมื่ออาทิตย์ 17 2015 พฤษภาคม 14:54:10 UTCใช้ทั้งหมดภายใต้เงื่อนไข JSTOR และ ConditionsEULERS ส่วนการเลขทฤษฎี 453เงินสมทบของออยเลอร์ทฤษฎีจำนวนปีเตอร์ SHIU1. บทนำผู้ใช้ excel ในคณิตศาสตร์มีความสุขดีเสมอสมควรได้รับชื่อเสียงสูง อย่างไรก็ตาม ไม่กี่ร้อยปีหลัง เป็นการยกย่องอาชีพ ด้วยวิธีดังกล่าวบุคคล ความก้าวหน้าทางสังคมต้องการสมาชิกเพื่อรักษากิจกรรมที่สร้างสรรค์กว่ายาวรอบระยะเวลา ฟอร์จูนของสนับสนุนมี Leonhard ออยเลอร์ (1707-1783)ติด ๆ กัน โดยปีเตอร์มหาราช (1672 จน-1725), Frederich มหาราช (1712-1786) และดีจักรพรรดินีแคทเธอรี (1729-ค.ศ. 1791), เปิดใช้งานเขาเป็น นักคณิตศาสตร์ชั้นนำที่ครอบงำมากที่ราชเซ็นจูรี่ ในบันทึกนี้ฉลอง tercentenary ของเขา ฉันจะพูดถึงงานของเขาทฤษฎีจำนวนที่ขยายผ่านบาง fiftyears ถึงแม้ว่ามันทำให้ค่าเพียงส่วนเล็ก ๆ ของผลผลิตทางวิทยาศาสตร์ของเขาใหญ่ (จะใช้เพียงสี่ไดรฟ์ข้อมูลจากกว่า seventy ของงานของเขาเสร็จสมบูรณ์) ก็ถือเป็นส่วนใหญ่เขาวิจัยในทฤษฎีจำนวนที่เขาจะจดจำเป็นการนักคณิตศาสตร์ และมันเป็นที่ชัดเจนว่า เลขคณิตให้เขาพึงพอใจมากที่สุดและยังแห้วมาก อ่านประกาศจะคุ้นเคยกับเขามากผลลัพธ์ที่ดีได้อธิบายในข้อความมีชื่อเสียงของดาเวนพอร์ท H. [1], และผู้ที่ต้องการทราบข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นหลังทางประวัติศาสตร์ กันส่วนเหลือของเรื่องเอง ควรปรึกษาทั่วไปของ A. Weilscholarly งาน [2], มากสิ่งที่ผมเขียนจะขึ้นอยู่ บางหัวข้อที่กำลังกล่าวถึงนี่ยังกำหนดใน Introductio ของออยเลอร์ในanalysin infinitorum (1748), ซึ่งขณะนี้ได้รับการแปลเป็นภาษาอังกฤษ [3]หมายเลขทฤษฎี เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการคุณสมบัติของจำนวนเต็ม สามารถกล่าววันที่จากการค้นพบของFermât (1601-1665) มีข้อสงสัยเล็กน้อยที่เขามีหลักฐานมากมายresults discovered by him, but he did not publish them and was content withprivate communications with other interested scientists. It was thus left toEuler to set out the proofs for the mathematical community, and it will notbe out of place here to quote G. H. Hardy: 'In number theory, proof iseverything!' Euler took up Fermat's writing in 1730 and found manyinteresting statements concerning primes and sums of squares. As Weil [2]put it, 'He had discovered a topic which was to haunt him all his life.'Besides admiration from Lagrange (1736-1813) and Goldbach (1690-1764),there was not much enthusiasm for Euler's research in arithmetic amongfellow scientists. Even his old friend Daniel Bernoulli (1700-1782)sometimes spoke disparagingly about such work - for example, whenreplying to a letter from Nicolas Fuss (1755-1826) reporting on what Eulerhad discovered, his less than enthusiastic reply might be paraphrased as 'Sowhat! Why does the great man pay so much attention to prime numbers?Personally I value more your research into the strength of beams.'In the following I shall, of course, make use of the congruence notationintroduced by Gauss (1777-1855). However, readers should remember thatThis content downloaded from 110.164.170.1 on Sun, 17 May 2015 14:54:10 UTCAll use subject to JSTOR Terms and Conditions454 THE MATHEMATICAL GAZETTEthis vital tool, which not only simplifies the arithmetic involved but alsoนำไปสู่แนวคิดนามธรรมของคลาสที่ลงตัว ในเวลาเดียวกันไม่มีกับออยเลอร์ อีกแม้ประโยชน์เลอฌ็องดร์สัญลักษณ์อักขระกำลังสองจำนวน ซึ่งจะมีภาษา และอาจจะเพิ่มขึ้นมากงานของเขา ถูกนำไปยังจุดสิ้นสุดของรอบระยะเวลาเกี่ยวข้องเท่านั้นบังเอิญ ในความคิดของชั้นเรียนลงตัว ดาเวนพอร์ท [1] เขียนความจริงที่ว่ามีเพียงจำนวนจำกัดเลขในหลักต่าง ๆเลขคณิตไปยังโมดูลัส m หมายความ ว่า มีความสัมพันธ์พีชคณิตซึ่งเป็นมีความสุข โดยทุกเลขที่นั่งในชั้นเรียน ไม่มีอะไรที่คล้ายคลึงกับความสัมพันธ์เหล่านี้ในทางคณิตศาสตร์ธรรมดา ' และเขียน Weil [2] ' เป็น Noteworthyออยเลอร์ของเพิ่มความตระหนักว่า ในเช่นเขาเป็นเรื่องซื้อขาย ไม่มีแต่ละจำนวนเต็ม แต่ว่าเราจะโทรเรียนลงตัว '2.ทฤษฎีบทของออยเลอร์แฟร์มาเราเริ่มต้น ด้วยของแฟร์มา 'ทฤษฎีบทเล็ก' ซึ่งถูกกำหนดในจดหมายวันที่ 18 เดือน 1640 ตุลาคม และระบุว่า สำหรับเป็นนายก / ?, ลงตัว aF =การ(mod / ?) ความพึงพอใจโดยทุก นี้มี generalised โดยออยเลอร์ใน 1760 เพื่อทฤษฎีบทของออยเลอร์แฟร์มามีชื่อเสียงเป็น * m) = 1 (modm),ที่ (p (m) นับเลขได้ถึง m ที่มี coprime เมตร และลงตัวคือพอใจตามหมายเลขดังกล่าวทุก ผลลัพธ์สำคัญนี้บังคับเราต้องพิจารณากลุ่มเชิงการคูณจำนวนเต็ม modulo m และแน่นอนทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้นของทฤษฎีกลุ่ม ทฤษฎีบทของเขาจากการค้นพบ Fermât'สามารถ' พิจารณาที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวทวินาม เพิ่มเติมโดยเฉพาะ ทั้งหมดทวินาม coeffcients ในการขยายตัว(เป็น + ถ้า = 1 d + X (íV ~ * 1 < *คือผลคูณของ / หรือไม่ และผลจำเป็นดังต่อไปนี้ โดยการเหนี่ยวนำใน n. นี้อาร์กิวเมนต์ถูกนำเสนอ โดยออยเลอร์ใน 1742 มันสามารถยังสามารถสร้างโดยใช้'ก็ตามสูตร' เป็น Leibniz (1646-1716) ไม่ Fermât แม้จะโปรดทราบว่า ผลลัพธ์เกี่ยวข้องกับสิ่งนี้ที่เรียกว่าเป็นโรงแรมของลากรองจ์ทฤษฎีบท คือว่าสั่งของกลุ่มหลายลำดับใด ๆกลุ่มย่อย การที่ให้ นายกกับ p ถ้าเราแบ่งตัวเลข a, a2, ...โดย p remainders ต้องทำซ้ำตัวเอง นำบวกน้อยที่สุดn ให้การ = 1 (mod / ?) ดังนั้น p - สอนลงตัว 1modulo p ตกเป็นตัวตั้งแต่ละที่มีองค์ประกอบ n, n ต้องแบ่งที่/ 7-1 นี่คือข้อพิสูจน์เชิงการคูณได้ โดยออยเลอร์ประมาณ 1750 และเขาบอกว่า มันเป็นได้ดีกว่าเนื่องจากอาร์กิวเมนต์ generalises เดินไปทฤษฎีบทของออยเลอร์แฟร์มา ข้อทฤษฎีเลขประถมศึกษาให้ต่อไปนี้พิสูจน์ง่ายกว่า: ให้ h = 0 (m), และใช้เป็นสารตกค้างลดลงระบบ b, b2 •••»bh modulo m ที่เป็นชุดของหมายเลข incongruent h coprime เมตรถ้ามีคือ coprime กับ m แล้วบู ab2,..., abh ยัง ฟอร์มกล่าวยอด และดังนั้น abab2... abh = b2... bh (modm) ยกเลิกการร่วมปัจจัย b2... bh แล้วส่งผลต้องอา = 1 (modm) นี้เนื้อหานี้ดาวน์โหลดจาก 110.164.170.1 เมื่ออาทิตย์ 17 2015 พฤษภาคม 14:54:10 UTCAll use subject to JSTOR Terms and ConditionsEULER'S CONTRIBUTION TO NUMBER THEORY 455elegant proof eluded Euler, Lagrange, Legendre (1752-1833), and evenGauss; it was given in 1806 by Ivory. Again we need to remind ourselvesthat, in those days, there was no such concept as a 'field' and hence thenotion of an integereciprocal might be as difficult as that of an 'imaginarynumber'. Euler realised the significance of his 'totient function' 0(m) innumber theory, but he seemed to have overlooked the simple resultžd
(d) = n, which was first noted by Gauss.3. Sums of two and four squares; quadratic formsThe identity{a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + {ad - be)2is generally attributed to Fibonacci (11707-1240?), who did not claim creditfor it and instead gave an elaborate proof in 1202; there is some evidencethat Diophantus (circa 250) was aware of it, and it might have been knowneven earlier. As far as elementary number theory is concerned, the identityis vital in the study of the setW = {1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, ... }of numbers which are representable as a sum of two squares - for example,it shows that the set is ' multiplicad vely closed'. Since a square must becongruent to 0 or 1 (mod 4), numbers conguent to 3 (mod 4) cannot be in W.In fact a necessary and sufficient condition for w e W is that it can bewritten as w = AB2, where A is free of prime divisors congruent to 3(mod 4). In other words, if a prime p = 4k + 3 divides w e W then pmust divide w to an exact even power. This condition was first given by theDutch mathematician Albert Girard (1595-1632) in 1625, and again byFermât alittle later. Following from the identity, the main problem on W isto show that every prime p congruent to 1 (mod 4) is representable as a sumof two squares; this was clearly stated by Fermât in 1640, and heemphasised the uniqueness of the two squares involved. The first proofs weknow of are those published by Euler, and they include a vital initial partwhich involves the quadratic character of -1 modulo an odd prime - we saythat a is a quadratic residue, or non-residue, modulo a prime p, depending onwhether the congruence x2 = a (mod/?) is soluble, or not.After a seven-year campaign to establish all that Fermât claimedconcerning the set W, Euler was able to write to Goldbach to say that he had'at last found a conclusive proof . Concerning the quadratic character of - 1 ,Davenport [1] wrote 'The fact [...] seems to have been first proved by Euler,after repeated failure, in about 1749, whereas he did not discover hiscriterion until 1755. Lagrange, in 1773, pointed out that there is a verysimple way of giving explicitly the solution of the congruence when it issoluble [using Wilson'

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สมาคมคณิตศาสตร์จะร่วมมือกับบริการรูปแบบ รักษา และขยายการเข้าถึง
ราชกิจจานุเบกษาคณิตศาสตร์ .
http : / / www.jstor . org
ข้อความคาดการณ์ของบริจาคให้ผู้เขียนทฤษฎี
หมายเลข ( s ) : แหล่งที่มาของปีเตอร์ ชิว
: คณิตศาสตร์ราชกิจจานุเบกษา ฉบับที่ 91 ฉบับที่ 522 ( พ.ย. 2550 ) 453-461
. เผยแพร่โดย : สมาคมคณิตศาสตร์
คงที่ URL : http : / / www.jstor . org / มั่นคง / 40378418
เข้าถึงได้ :17-05-2015 14 : 54 UTC
ใช้ของบริการเก็บแสดงว่าคุณยอมรับเงื่อนไข&เงื่อนไขการใช้งานได้ที่ http : / / www.jstor . org / หน้า /
ข้อมูล / เกี่ยวกับ / นโยบาย / เงื่อนไข JSP
บริการเป็นบริการไม่หวังผลกำไรที่ช่วยให้นักวิชาการ นักวิจัย และนักศึกษาค้นพบและสร้างขึ้นใช้ หลากหลายเนื้อหา
ในความไว้วางใจดิจิตอลเก็บเราใช้เทคโนโลยี สารสนเทศ และเครื่องมือในการเพิ่มผลผลิตและบริการรูปแบบใหม่ของทุนการศึกษา
สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับบริการโปรดติดต่อบริการสนับสนุน @ . org .
นี้เนื้อหาที่ดาวน์โหลดจาก 110.164.170.1 บน Sun , 17 พฤษภาคม 2015 14:54:10 UTC
ทั้งหมดใช้บริการเงื่อนไขและ conditionseulers ผลงานเรื่องทฤษฎีจำนวน 453
ข้อความคาดการณ์ของบริจาคทฤษฎีจำนวน
ปีเตอร์ชิว
1บทนำ
บุคคลที่เก่งคณิตศาสตร์มีความสุขเสมอดี
สมควรได้รับชื่อเสียงสูง อย่างไรก็ตาม ไม่กี่ร้อยปี กลับไปเป็นอาชีพมีเกียรติด้วย
หมายถึงความก้าวหน้าทางสังคม เช่นแต่ละ
ต้องการอุปถัมภ์เพื่อสนับสนุนกิจกรรมสร้างสรรค์ในระยะยาว

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ( 1707-1783 ) มีโชคลาภได้รับการสนับสนุน
อย่างต่อเนื่อง โดย ปีเตอร์ มหาราช ( 1672-1725 ) frederich มหา ( 1712 -
1 ) และมหาจักรพรรดินีแคทเธอรีน ( 1729-1791 ) ทำให้เขากลายเป็นนัก

ชั้นนำที่โดดเด่นมากของศตวรรษที่สิบแปด

ในบันทึกนี้ ร่วมฉลองครบรอบ 300 ปี ของเขา ผมจะพูดถึงผลงานของเขาในทฤษฎีจำนวนซึ่งขยายไปบ้าง
fiftyears . แต่มันก็ทำให้ขึ้น
เพียงส่วนเล็ก ๆของผลผลิตทางวิทยาศาสตร์อันยิ่งใหญ่ของเขา ( มันใช้แค่ 4
) จากกว่า 70 งานสมบูรณ์ของเขา ) เป็นส่วนใหญ่ผ่าน
การวิจัยของเขาในทฤษฎีจำนวนที่เขาจะถูกจดจำในฐานะ
นักคณิตศาสตร์และเป็นที่ชัดเจนว่าคณิตศาสตร์ให้ความพึงพอใจมากที่สุดและยังแห้ว
มากครับ ผู้อ่านหนังสือพิมพ์จะคุ้นเคยกับหลายของเขา