A simple topological graph is a gra

A simple topological graph is a graph drawn in the plane so that its edges are represented by continuous arcs with the property that any two of them meet at most once. Let G be a simple complete topological graph. The three edges induced by any triple of vertices in G form a simple closed curve. If this curve contains no vertex in its interior (exterior), then we say that the triplet forms an empty triangle. In 1998, Harborth [Harborth, Heiko, Empty triangles in drawings of the complete graph, Discrete Mathematics, 191 (1998), 109–111; Brass, Peter, William O. J. Moser and János Pach, “Research Problems in Discrete Geometry” Springer, (2005)] proved that G has at least 2 empty triangles, and he conjectured that the number of empty triangles is at least image. In this note, we verify Harborthʼs conjecture.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

กราฟ topological อย่างเป็นกราฟที่วาดในระนาบเพื่อให้ขอบมันจะแสดง โดยเส้นโค้งต่อเนื่องด้วยคุณสมบัติที่สองใด ๆ ของพวกเขาตรงกันมากที่สุด ให้ G เป็นกราฟ topological สมบูรณ์เรียบง่าย ขอบสามเกิดจากทริปเปิลใด ๆ ของจุดยอดใน G ฟอร์มเส้นโค้งปิดง่าย ถ้าเส้นโค้งนี้ประกอบด้วยไม่มีจุดในการตกแต่งภายใน (ภายนอก), แล้วเราบอกว่า triplet ที่รูปสามเหลี่ยมที่ว่างเปล่า ในปี 1998, Harborth [Harborth, Heiko สามเหลี่ยมว่างเปล่าในภาพวาดของสมบูรณ์กราฟ คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 191 (1998), 109 – 111 ทองเหลือง ปีเตอร์ William โอเจโม และ János Pach, Springer "วิจัยปัญหาในเดี่ยว ๆ รูปทรงเรขาคณิต", (2005)] พิสูจน์ว่า G มีสามเหลี่ยมว่างน้อย 2 และเขา conjectured จำนวนสามเหลี่ยมที่ว่างว่าน้อยภาพ ในบันทึกนี้ เราตรวจสอบข้อความคาดการณ์ Harborthʼs

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

กราฟทอพอโลยีง่ายๆคือกราฟวาดในเครื่องบินเพื่อให้ขอบเป็นตัวแทนจากส่วนโค้งอย่างต่อเนื่องกับทรัพย์สินที่สองของพวกเขาตอบสนองความต้องการที่มากที่สุดครั้งหนึ่ง ให้ G เป็นกราฟทอพอโลยีง่ายที่สมบูรณ์ สามขอบใด ๆ ที่เกิดจากสามของจุดใน G รูปแบบโค้งปิดง่าย ถ้าเส้นโค้งนี้มีจุดสุดยอดในการตกแต่งภายในของ (ภายนอก) แล้วเราบอกว่าแฝดรูปแบบสามเหลี่ยมที่ว่างเปล่า ในปี 1998 Harborth [Harborth, Heiko สามเหลี่ยมว่างในภาพวาดของกราฟสมบูรณ์คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องที่ 191 (1998), 109-111; ทองเหลือง, ปีเตอร์วิลเลียม OJ โมเซอร์และJános Pach "ปัญหาการวิจัยในรูปทรงเรขาคณิตแบบไม่ต่อเนื่อง" สปริงเกอร์ (2005)] พิสูจน์ให้เห็นว่า G มีอย่างน้อย 2 รูปสามเหลี่ยมที่ว่างเปล่าและเขาคาดคะเนว่าจำนวนของรูปสามเหลี่ยมที่ว่างเปล่าอย่างน้อยภาพ ในบันทึกนี้เราตรวจสอบการคาดเดา Harborth's

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

กราฟรูปแบบง่ายเป็นกราฟที่วาดในเครื่องบินเพื่อให้ขอบแทนด้วยส่วนโค้งอย่างต่อเนื่องด้วยคุณสมบัติที่พวกเขาทั้งสองพบมากที่สุดครั้งหนึ่ง ให้ g เป็นรูปแบบง่ายสมบูรณ์กราฟ สามขอบชักนำโดยสามจุดในกรัมเป็นเส้นโค้งปิดเชิงเดียว . ถ้าเส้นโค้งนี้ไม่มีจุดยอดในการตกแต่งภายในของมัน ( ภายนอก )เราก็บอกว่าสามรูปแบบสามเหลี่ยมว่างเปล่า ในปี 1998 harborth [ harborth ดาวน์โหลด ว่างเปล่า , สามเหลี่ยมในแบบของกราฟสมบูรณ์ , คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง , 191 ( 1998 ) 109 - 111 ; ทองเหลือง , ปีเตอร์ วิลเลี่ยม โอ เจ โมเซอร์ และ J . kgm คือ พัช " วิจัยปัญหาในเรขาคณิต " แบบสปริงเกอร์ ( 2005 ) ] G มีสามเหลี่ยมว่างเปล่าที่พิสูจน์แล้วว่า อย่างน้อย 2และเขา conjectured ที่จำนวนสามเหลี่ยมว่างเปล่า อย่างน้อยที่สุดคือภาพ ในบันทึกนี้ เราตรวจสอบ harborth ʼของการคาดเดา