Let us attempt a proof using algebr

Let us attempt a proof using algebra

We have the right triangle with sides of unknown lengths a, b, c as shown

We use the another copy of the exact same triangle and stack it on one side like this, with one side aligned with another

We repeat the process with a third copy of the triangle being stacked to the second one

And a final fourth copy being stacked to the third copy to make a shape as shown

Look at this shape closely, it forms a square of side equal to the longest side c of the triangle

Upon further examination, we can see that there is another square formed at the centre with side b minus a

Now we know from our geometry that area of a right triangle half times the base multiplied by the height

Or in other words, half times the product of the two shorter sides

Which gives the area of each triangle as half times a times b

The area of the square shape that is formed by stacking all the triangles together is

The square of the side, which is given by c

The area of the smaller square at the centre, is given by the square of its side (b-a)

Now clearly since the bigger enclosing square is made up of the 4 triangles and the inner square

The area of the inner square plus 4 times the area of one triangle equals the area of the enclosing square

Which algebraically can be expressed as the square of b minus a, plus four times half times a times b equals c squared

Simplifying,

The 2 a b terms cancel out to give

b squared plus a squared equals c squared

What does this mean again? Let us clear away all the extra triangles and squares we made and focus on the original triangle we had

This just means that the sum of the squares of the two shorter sides is equal to the square of the longest side

Thus we have proved the Pythagoras Theorem for a general case since we did not choose any specific lengths to begin with.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แจ้งให้เราพยายามพิสูจน์โดยใช้พีชคณิต

เรามีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านของความยาวไม่ทราบ b, c ดังแสดง

เราใช้สำเนาของรูปสามเหลี่ยมเดียวกันแน่นอนอื่นและกองไว้บนด้านใดด้านหนึ่งเช่นนี้กับหนึ่ง ด้านชิดอีกด้วย

เราทำซ้ำขั้นตอนที่มีสำเนาที่สามของรูปสามเหลี่ยมที่มีการซ้อนกันสอง

และสำเนาที่สี่สุดท้ายที่ถูกซ้อนกันสำเนาที่สามที่จะทำให้รูปร่างดังแสดง

ดูที่รูปร่างอย่างใกล้ชิดนี้มันเป็นตารางของด้านเท่ากับคด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยม

เมื่อตรวจสอบต่อไปเราจะเห็นว่า มีตารางที่เกิดขึ้นที่ศูนย์กับด้านอื่น b ลบ

ตอนนี้เรารู้จากรูปทรงเรขาคณิตของเราว่าพื้นที่ของเท่าครึ่งของรูปสามเหลี่ยมฐานคูณสูง

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งเท่าครึ่งของผลิตภัณฑ์ของทั้งสองฝ่ายที่สั้นกว่า

ซึ่งจะทำให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแต่ละครั้งเป็นเท่าครึ่ง b

พื้นที่ของรูปทรงสี่เหลี่ยมที่เป็นรูปสามเหลี่ยมซ้อนทั้งหมดเข้าด้วยกันเป็น

ตารางด้านข้างซึ่งจะได้รับโดย c

พื้นที่ของตารางที่มีขนาดเล็กที่ศูนย์จะได้รับจากสแควร์จากด้านข้าง (BA)

ขณะนี้อย่างเห็นได้ชัดตั้งแต่ตารางการปิดล้อมที่ใหญ่กว่าถูกสร้างขึ้นจาก 4 รูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมด้านใน

พื้นที่ของตารางด้านบวก 4 ครั้งหนึ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยมเท่ากับพื้นที่ของจัตุรัสล้อมรอบ

พีชคณิตซึ่งจะแสดงเป็น ตารางขลบบวกสี่ครั้งเท่าครึ่งครั้ง b เท่ากับค squared

ง่าย

2 เทอม AB ยกเลิกการออกเพื่อให้

b ยกกำลังสองบวกสองเท่ากับค squared

สิ่งนี้หมายความว่าอีกครั้ง? ให้เราล้างทุกรูปสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมพิเศษที่เราทำและมุ่งเน้นไปที่สามเหลี่ยมเดิมที่เราได้

นี้ก็หมายความว่าผลรวมของสี่เหลี่ยมของทั้งสองฝ่ายที่สั้นลงจะเท่ากับตารางด้านที่ยาวที่สุด

ทำให้เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับกรณีทั่วไปตั้งแต่เราไม่ได้เลือกความยาวที่เฉพาะเจาะจงใด ๆ จะเริ่มต้นด้วย.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราพยายามพิสูจน์การใช้พีชคณิต

เรามีสามเหลี่ยมมุมฉากกับไม่ทราบความยาวด้าน a, b, c แสดง

เราใช้สำเนาอื่นของรูปสามเหลี่ยมเดียวกันแน่นอน และกองบนด้านหนึ่งเช่นนี้ ด้วยสอดคล้องกับอีกด้านหนึ่ง

เราทำซ้ำกับสำเนาที่สามของสามเหลี่ยมที่ซ้อนกับสอง

และสุดท้าย 4 คัดลอกถูกซ้อนสามสำเนาเพื่อให้รูปร่างเหมือน

ดูที่รูปร่างนี้อย่างใกล้ชิด แบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านเท่ากับ c ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยม

เมื่อตรวจต่อไป เราจะเห็นว่า มีสี่เหลี่ยมอื่นที่เกิดขึ้นที่ศูนย์กับด้าน b ลบเป็น

ตอนนี้เรารู้จากเรขาคณิตของเราที่พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเวลาครึ่งฐานคูณความสูง

หรือในคำอื่น ๆ ครึ่งเวลาผลิตภัณฑ์ของทั้งสองด้านสั้น

ซึ่งให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมแต่ละครั้งเป็นเวลาครึ่งบี

คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากการซ้อนสามเหลี่ยมทั้งหมดเข้าด้วยกัน

กำลังสองของด้านข้าง ซึ่งถูกกำหนด โดย c

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดเล็กที่ศูนย์ถูกกำหนด โดยสองฝั่งของ (b-a)

ตอนนี้ชัดเจนตั้งแต่แนบใหญ่สแควร์ถูกสร้างขึ้นภายในช่องสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม 4

เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสล้อมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมภายในรวม 4 ครั้งในพื้นที่ของสามเหลี่ยมหนึ่ง

ซึ่งไว้ algebraically แสดงเป็นสแควร์บีลบ a บวกสี่เท่าครึ่งเวลาครั้ง b เท่ากับ c ลอการิทึม

Simplifying,

2 เป็นเงื่อนไข b ยกให้

ลอการิทึม b บวกที่ยกกำลังสองเท่ากับลอการิทึม c

นี้ไรอีก ล้างเก็บเพิ่มสามเหลี่ยมและสี่เหลี่ยมที่เราทำทั้งหมด และเน้นสามเหลี่ยมเดิมที่เรามีให้เรา

เพียงหมายความ ว่า ผลรวมของกำลังสองของสองด้านสั้นเท่ากับกำลังสองของด้านที่ยาวที่สุด

ดังนั้น เราได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Pythagoras สำหรับกรณีทั่วไปเนื่องจากเราไม่ได้เลือกความยาวเฉพาะใด ๆ จะเริ่มต้นด้วยกัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ปล่อยให้เราพยายามทำการตรวจสอบความถูกต้องที่ใช้ พีชคณิต

เรามีรูปสามเหลี่ยมที่ด้านข้างของความยาวที่ไม่รู้จัก A , B , C ตามที่แสดง ไว้

เราใช้สำเนาอื่นของสามเหลี่ยมทองคำเหมือนกันและที่แน่นอนที่ซ้อนกันบนฝั่งด้านหนึ่งเหมือนกับที่พักแห่งนี้พร้อมด้วยฝั่งด้านหนึ่งในแนวเดียวกับ อีก

เราทำซ้ำขั้นตอนที่พร้อมด้วยชุดที่สามของสามเหลี่ยมทองคำที่ซ้อนกันเพื่อเป็นหนึ่งที่ สอง

และสุดท้ายที่สี่สำเนาการซ้อนกันเพื่อที่คัดลอกไปยังทำให้เป็นรูปตามที่ แสดง

ดูที่แห่งนี้รูปทรงอย่างใกล้ชิด,โดยที่ด้านข้างขนาดเท่ากับที่ยาวที่สุดด้านคของรูปสามเหลี่ยม

อีกการศึกษาเราจะเห็นว่ามีคนอื่น,รูปที่ได้อยู่ในศูนย์กลางพร้อมด้วยด้าน B ลบ ที่

ตอนนี้เราทราบจากของเราทรงเรขาคณิตที่บริเวณด้านขวาของที่สามเหลี่ยมเท่าครึ่งที่ฐานคูณด้วยที่ความ สูง

หรือในคำอื่นๆ,เท่าครึ่งของ ผลิตภัณฑ์ ของสองสั้นกว่าด้าน ข้าง

ซึ่งจะช่วยให้พื้นที่ของแต่ละรูปสามเหลี่ยมเป็นเท่าครึ่งเวลา B

ที่พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปทรงที่มีโดยจัดวางแบบซ้อนกันทั้งหมดที่สามเหลี่ยมเข้าด้วยกันคือ

จัตุรัสด้านข้างซึ่งจะให้บริการใน C

ที่พื้นที่ของที่มีขนาดเล็กกว่าที่ได้อยู่ในศูนย์กลาง,จะให้บริการในจัตุรัสด้านข้างของ( b - a )

อย่างเห็นได้ชัดเนื่องจากที่มีขนาดใหญ่กว่าขนาดใส่เครื่องหมายวงเล็บคือทำให้ได้ใน 4 รูปสามเหลี่ยมที่ด้านในและ พื้นที่

ที่บริเวณด้านในพื้นที่รวมถึง 4 เท่าของพื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับหนึ่งในบริเวณพื้นที่ของที่ใส่เครื่องหมาย วงเล็บ

algebraically ซึ่งสามารถได้รับการแสดงออกเป็นพื้นที่ของ B ลบ,รวมถึงสี่ครั้งเท่าครึ่งเวลา B เท่ากับ C บนสัง เวียน

ง่ายขึ้น,

ที่ 2 A , B ข้อกำหนดการยกเลิกออกไปให้

B บนสังเวียนรวมถึงเท่ากับบนสังเวียนที่ C บนสัง เวียน

สิ่งนี้หมายถึงอะไร?อีกครั้ง ปล่อยให้เราชัดเจนและจัตุรัสอยู่ห่างออกไปในรูปสามเหลี่ยมพิเศษทั้งหมดที่เราทำและเน้นไปที่รูปสามเหลี่ยมแบบดั้งเดิมที่เรา ได้

นี้หมายความว่าจำนวนเงินที่ของจัตุรัสของทั้งสองฝั่งสั้นที่จะเท่ากับขนาดของด้านข้างยาว ที่สุด

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์แล้วว่าบทพิสูจน์ที่ไพธากอรัสเป็นต้นสำหรับกรณีทั่วไปที่นับตั้งแต่เราไม่ได้เลือกความยาวใดเป็นการเฉพาะเพื่อเริ่มต้นด้วย.