Proof. For I, J ∈ N(L), define I ∧

Proof. For I, J ∈ N(L), define I ∧ J = I ∩ J and I∨ J = (I∗ ∩ J∗)∗. Let I, J ∈
N(L). Then I∗∗ = I and J∗∗ = J. Hence (I∩J)∗∗ = I∗∗∩J∗∗ = I∩J. Thus I∩J ∈
N(L). We have also I∨ J ∈ N(L). It can be easily observed that (N(L), ∧, ∨) is
a lattice. Since [0]∗ = L and L∗ = (0], we get that (0],L ∈ N(L) are the least and
the greatest elements of N(L), respectively. Therefore, (N(L), ∧, ∨) is a bounded
lattice. Let I ∈ N(L). Then clearly I∗ ∈ N(L) and I ∧ I∗ = I ∩ I∗ = (0], I∨ I∗ =
(I∗ ∩ I∗∗)∗ = (I∗ ∩ I)∗ = {0}∗ = [0]∗ = L. Thus I∗ is the complement of I for
any I ∈ N(L). Therefore (N(L), ∧, ∨, ∗, (0],L) is a complemented lattice. Let
I, J,K ∈ N(L). We prove that I∨ (J ∧ K) = (I∨ J) ∧ (I∨ K). We first prove
that (I∨ J) ∧ K ⊆ I∨ (J ∧ K). We have I ∩ K ∩ [I∗ ∩ (J ∩ K)∗] = (0], so
that K ∩ I∗ ∩ (J ∩ K)∗ ⊆ I∗. Similarly J ∩K ∩ [I∗ ∩ (J ∩ K)∗] = (0] implies that
K∩I∗∩(J ∩K)∗ ⊆ J∗. Hence K∩I∗∩(J ∩K)∗ ⊆ I∗∩J∗. Thus, by Lemma 3.4, we
get that [K∩I∗∩(J∩K)∗]∩(I∗∩J∗)∗ = (0]. That is I∗∩(J∩K)∗∩[K∩(I∗∩J∗)∗] =
(0]. Thus K ∩ (I∗ ∩ J∗)∗ ⊆ [I∗ ∩ (J ∩ K)∗]∗. Hence (I∨ J) ∧ K ⊆ I∨ (J ∧ K).
We prove the distributivity. (I∨ J)∩(I∨ K) ⊆ I∨[J ∩(I∨ K)] = I∨ [(I∨ K)∩
J] ⊆ I∨ [I∨ (K ∩J)] = I∨ (J ∩K). Clearly, I∨ (J ∩K) ⊆ (I∨ J)∩(I∨ K). Thus
(N(L), ∧, ∨, ∗, (0],L) is a Boolean algebra.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

พิสูจน์ เพราะเราคือเจ∈ N (L) กำหนดฉัน∧ J = ฉัน∩ J และI∨ J = (I * * * * * * * * ∩ J) * ให้ฉันเจ∈
N (L) แล้วฉัน ** = I และ J = ** เจดังนั้น (I∩J) ** ** = ฉัน∩J ** = I∩J ดังนั้นI∩J∈
N (L) นอกจากนี้เรายังI∨ J ∈ N (L) มันสามารถสังเกตได้ง่ายว่า (N (L) ∧, ∨) เป็น
ตาข่าย ตั้งแต่ [0] * = L และ L * = (0], เราได้รับที่ (0], L ∈ N (L) เป็นอย่างน้อยและ
องค์ประกอบที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ N (L) ตามลำดับ. ดังนั้น (N (L) , ∧, ∨) เป็นขอบเขต
ตาข่าย. ให้ฉัน∈ N (L). แล้วฉันอย่างชัดเจน * ∈ N (L) และฉัน∧ * = ฉันฉันฉัน∩ * = (0], I∨ฉัน * =
(I * ∩ฉัน **) * = (I * ∩ I) * = {0} * = [0] * = ลิตรดังนั้น I * เป็นส่วนประกอบของฉันสำหรับ
ใด ๆ ที่ฉัน∈ N (L). ดังนั้น (N (L) , ∧, ∨ * (0], L) เป็นตาข่ายครบครัน. ให้
ฉัน, J, K ∈ N (L). เราพิสูจน์ให้เห็นว่าI∨ (J ∧ K) = (I∨ J) ∧ (I∨ K). ก่อนอื่นเราพิสูจน์
ว่า (I∨ J) ∧ K ⊆I∨ (J ∧ K). เรามีฉัน K ∩∩ [I * ∩ (∩ J K) *] = (0] ดังนั้น
ที่ K ผม∩ * ∩ (∩ J K) * * * * * * * * ⊆ฉัน. ในทำนองเดียวกันเจ∩K∩ [I * ∩ (∩ J K) *] = (0] หมายความว่า
K∩I * ∩ (J ∩K) * * * * * * * * ⊆เจ. ดังนั้น K∩I * ∩ (J ∩K) * * * * * * * * ⊆ฉัน∩J *. ดังนั้นโดยบทแทรก 3.4 เรา
ได้รับที่ [K∩I * ∩ (J∩K) *] ∩ (ฉัน * * * * * * * * ∩J) * = (0]. นั่นคือ I * ∩ (J∩K) * ∩ [K∩ (ฉัน * * * * * * * * ∩J) *] =
(0]. ดังนั้น K ∩ (ฉัน * * * * * * * * ∩ J) * ⊆ [I * ∩ ( J ∩ K) *] *. ดังนั้น (I∨ J) ∧ K ⊆I∨ (J ∧ K).
เราพิสูจน์ distributivity. (I∨ J) ∩ (I∨ K) ⊆I∨ [J ∩ (I∨ K)] = I∨ [(I∨ K) ∩
J] ⊆I∨ [I∨ (K ∩J)] = I∨ (J ∩K.) เห็นได้ชัดว่าI∨ (J ∩K) ⊆ (I∨ J ) ∩ (I∨ K). ดังนั้น
(N (L) ∧, ∨ * (0], L) เป็นพีชคณิตแบบบูล

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

พิสูจน์ สำหรับฉัน , J ∈ N ( L ) , กำหนดผม∧ J = ผม∩ J และฉัน∨ J = ( ผม∗∩ J ∗ ) ∗ . ให้ฉัน , J ∈
n ( L ) แล้วผม∗∗ = I และ J ∗∗ = J . ดังนั้นฉัน∩ J ) ∗∗ = ฉัน∗∗∩ J ∗∗ = ฉัน∩ J . ดังนั้นผมจึง∩ J ∈
n ( L ) เราก็∨ J ∈ N ( L ) มันสามารถตรวจสอบว่า ( N ( L ) , ∧∨
, ) เป็นตาข่าย ตั้งแต่ [ 0 ] ∗ = L และ L ∗ = 0 ] เราเอา ( 0 ] , L ∈ N ( L ) เป็นอย่างน้อยและ
องค์ประกอบมากที่สุดของ N ( L ) , ตามลำดับเพราะฉะนั้น ( N ( L ) , ∧∨จำกัด
, ) เป็นตาข่าย ให้ฉัน∈ N ( L ) แปลว่าฉัน∗∈ N ( L ) และผม∧ผม∗ = ฉัน∩ผม∗ = 0 ] , ฉัน∨ผม∗ =
( ผม∗∩ผม∗∗ ) ∗ = ( ผม∗∩ ) ∗ = { 0 } ∗ = [ 0 ] ∗ = L . ดังนั้นผมจึง∗คือกว่า ของฉันสำหรับใด ๆที่ฉัน∈
n ( L ) ดังนั้น ( N ( L ) , ∧∨∗ , , , ( 0 ] , L ) เป็น complemented lattice ให้
I , J , K ∈ N ( L ) เราพิสูจน์ว่า ผม∨ ( J ∧ k ) = ( ผม∨ J ) ∧ ( ผม∨ K ) เราพิสูจน์
( ฉัน∨ J ) K ∧⊆ผม∨ ( J ∧ K ) เราเคย∩ K ∩ [ ผม∗∩ ( J ∩ K ) ∗ ] = 0 ] ,
ที่ K ∩ผม∗∩ ( J ∩ K ) ∗⊆ผม∗ . ในทำนองเดียวกัน J ∩ K ∩ [ ผม∗∩ ( J ∩ K ) ∗ ] = 0 ] แสดงว่า
K ∩ผม∗∩ ( J ∩ K ) ∗⊆ J ∗ . ดังนั้นฉัน∗∩∩ K ( J ∩ K ) ∗⊆ผม∗∩ J ∗ . ดังนั้นโดยแทรก 3.4 เรา
รับ [ K ∩ผม∗∩ ( J ∩ K ) ∗ ] ∩ ( ผม∗∩ J ∗ ) ∗ = ( 0 ) ที่ผม∗∩ ( J ∩ K ) ∗∩ [ K ∩ ( ผม∗∩ J ∗ ) ∗ ] =
( 0 )ดังนั้น K ∩ ( ผม∗∩ J ∗ ) ∗⊆ [ ผม∗∩ ( J ∩ K ) ∗ ] ∗ . เพราะ ( ฉัน∨ J ) K ∧⊆ผม∨ ( J ∧ k )
เราพิสูจน์สมบัติการแจกแจง . ( ผม∨ J ) ∩ ( ผม∨ K ) ⊆ผม∨ [ J ∩ ( ผม∨ K ) ] = ผม∨ [ ( ผม∨ K ) ∩
J ] ⊆ผม∨ [ ผม∨ ( K ∩ J ) ] = ผม∨ ( J ∩ K ) ชัดเจน ผม∨ ( J ∩ K ) ⊆ ( ผม∨ J ) ∩ ( ผม∨ K ) ดังนั้น
( N ( L ) , ∧∨∗ , , , ( 0 ] , L ) เป็นพีชคณิตบูลีน .