Theorem 2.1. The solutions to the D

Theorem 2.1. The solutions to the Diophantine equation 2x + 3y2 = 4z in non-negative integers are given by
(x; y; z) 2 f(2(n ¡ 1); 0; n ¡ 1) : n 2 Ng [ f(2(n ¡ 1); 2n¡1; n) : n 2 Ng:
Proof. We ¯rst consider the case when z = 0; obtaining 2x + 3y2 = 1 in which we may deduce immediately that
x = 0 and y = 0: For the case x = 0; we have 4z ¡ 3y2 = 1: This is true only when z = 0, y = 0 and y = 1, z = 1:
On the other hand, if y = 0, we have 2x = 22z; or equivalently x = 2z: Now for the general case, x; y; z > 0; we
have 22z ¡ 2x = 3y2: Then, 2x(22z¡x ¡ 1) = 3y2: Hence, 2x = y2 and 22z¡x ¡ 1 = 3: The latter equation is true
for x = 2(z ¡ 1), and 2x = y2 is satis¯ed for all x = 2(n ¡ 1) and y = 2n¡1, where n is a natural number. Also, it
follows that z = n: This proves the theorem.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบท 2.1 การแก้ไขสมการ Diophantine 2 x + 3y2 = 4z ไม่ใช่ค่าลบเป็นจำนวนเต็มจะได้รับโดย(x; y; z) 2 f (2 (n ¡ 1); 0; n ¡ 1): n 2 Ng [f (2 (n ¡ 1); 2n¡1; n): n 2 Ng:หลักฐานการ เรา ¯rst พิจารณากรณีเมื่อ z = 0 รับ 2 x + 3y2 = 1 ซึ่งเราอาจเดาทันทีที่x = 0 และ y = 0: สำหรับกรณี x = 0 เรามี 4z ¡ 3y2 = 1: นี้เป็นจริงเฉพาะเมื่อ z = 0, y = 0 และ y = 1, z = 1:ในทางกลับกัน ถ้า y = 0 เรามี 2 x = 22z หรือ equivalently x = 2z: สำหรับกรณีทั่วไป x y z > 0 เรามี 22z ¡ 2 x = 3y2: แล้ว 2 x (22z¡x ¡ 1) = 3y2: ดังนั้น 2 x = y2 และ 22z¡x ¡ 1 = 3: หลังสมการเป็นจริงสำหรับ x = 2 (z ¡ 1), และ 2 x = y2 เป็น satis¯ed สำหรับทั้งหมด x = 2 (n ¡ 1) และ y = 2n¡1 โดยที่ n คือ จำนวนธรรมชาติ มันยังตามที่ z = n:นี้พิสูจน์ทฤษฎีบท

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 2.1 การแก้ปัญหาที่จะสม Diophantine 2x + 3Y2 = 4Z ในจำนวนเต็มไม่เป็นลบจะได้รับจาก
(x; y; Z) 2 f (2 (n ¡ 1); 0; n ¡ 1): 2 n Ng [f (2 (n ¡ 1); 2n¡1; n): 2 n Ng:
หลักฐาน เรา RST พิจารณากรณีเมื่อ Z = 0; ได้รับ 2x + 3Y2 = 1 ซึ่งเราอาจสรุปได้ทันทีว่า
x = 0 และ y = 0: สำหรับกรณีที่ x = 0; เรามี 4Z ¡ 3Y2 = 1: นี่คือความจริงเฉพาะเมื่อ Z = 0, y = 0 และ y = 1, Z = 1:
ในทางตรงกันข้ามถ้า y = 0, เรามี 2x = 22z; หรือเท่า x = 2z: ตอนนี้สำหรับกรณีทั่วไป, x; y; Z> 0; เรา
มี 22z ¡ 2x = 3Y2: แล้ว, 2x (22z¡x¡ 1) = 3Y2: ดังนั้น 2x = y2 และ22z¡x¡ 1 = 3: สมหลังเป็นความจริง
สำหรับ x = 2 (Z ¡ 1) และ 2x = y2 เป็นsatis¯edสำหรับทุก x = 2 (n ¡ 1) และ y = 2n¡1ที่ n คือจำนวนธรรมชาติ นอกจากนี้
ตามที่ Z = n: นี้พิสูจน์ทฤษฎีบท

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 2.1 . โซลูชั่นเพื่อสมการไดโอแฟนไทน์ 3y2 2x = 4Z ในจำนวนเต็มไม่ลบจะได้รับโดย
( X ; Y ; Z ) F ( 2 ( N ¡ 1 ) ; 0 ; n ¡ 1 ) : N 2 ของ [ f ( 2 ( N ¡ 1 ) ; 2n ¡ 1 ; n ) : 2 NG :
พิสูจน์ เรา¯ RST พิจารณาคดีเมื่อ z = 0 ; ได้รับ 2x 3y2 = 1 ซึ่งเราอาจอนุมานได้ทันทีว่า
x = 0 และ y = 0 : สำหรับกรณีที่ x = 0 ; เรามี 4Z ¡ 3y2 = 1 : นี้เป็นจริงเฉพาะเมื่อ z = 0 , y = 0 และ y = 1z = 1 :
บนมืออื่น ๆถ้า y = 0 เราได้ 2x = 22z ; หรือก้อง X = 2z : ตอนนี้สำหรับกรณีทั่วไป , X ; Y ; Z > 0 ; เรา
มี 22z ¡ 2x = 3y2 : แล้ว 2x ( 22z ¡ x ¡ 1 ) = 3y2 : ดังนั้น และ¡ 22z , 2x = y2 x ¡ 1 = 3 : สมการหลังเป็นจริงสำหรับ x = 2
( Z ¡ 1 ) และ 2x = 2 คือพอ¯เอ็ดทั้งหมด x = 2 ( N ¡ 1 ) และ y = 2n ¡ 1 เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก . นอกจากนี้ที่ Z =
) N : พิสูจน์ทฤษฎีบท