4 Applications of the Ramsey Theore

4 Applications of the Ramsey Theorem
Theorem 4.1. For positive integers q
1
; : : : ; q
k
there exists a smallest positive integer R(q
1
; : : : ; q
k
; 2) such that, if
n ¸ R(q
1
; : : : ; q
k
; 2) and for any edge coloring of the complete graph Kn
with k colors c
1
; : : : ; c
k
, there is at least one
i (1 · i · k) such that Kn
has a complete subgraph Kqi
of the color c
i .
Proof. Each edge of Kn
can be considered as a 2-subset of its vertices.
In the book of Richard Brualdi, the Ramsey numbers R(q
1
; : : : ; q
k
; 2) are denoted by r(q
1
; : : : ; q
k
).
5
Theorem 4.2 (ErdÄos-Szekeres). For any integer k ¸ 3 there exists a smallest integer N (k) such that, if n ¸ N (k)
and for any n points on a plane having no three points through a line, then there is a convex k-gon whose vertices
are among the given n points.
Before proving the theorem we prove the following two lemmas ¯rst.
Lemma 4.3. Among any 5 points on a plane, no three points through a line, 4 of them must form a convex
quadrangle.
Proof. Join every pair of two points by a segment to have a con¯guration of 10 segments. The circumference of the
con¯guration forms a convex polygon. If the convex polygon is a pentagon or a quadrangle, the problem is solved.
Otherwise the polygon must be a triangle, and the other two points must be located inside the triangle. Draw a
straight line through the two points; two of the three vertices must be located in one side of the straight line. The
two vertices on the same side and the two points inside the triangle form a quadrangle.
Lemma 4.4. Given k ¸ 4 points on a plane, no 3 points through a line. If any 4 points are vertices of a convex
quadrangle, then the k points are actually the vertices of a convex k-gon.
Proof. Join every pair of two points by a segment to have a con¯guration of k(k ¡ 1)=2 segments. The circumference
of the con¯guration forms a convex l-polygon. If l = k, the problem is solved. If l < k, there must be at least one
point inside the l-polygon. Let v
1
; v
2
; : : : ; v
l
be the vertices of the convex l-polygon, and draw segments between
v
1
and v
3
; v
4
; : : : ; v
l¡1
respectively. The point inside the convex l-polygon must be located in one of the triangles
4v
1
v
2
v
3
; 4v
1
v
3
v
4
; : : : ; 4v
1
v
l¡1
v
l
. Obviously, the three vertices of the triangle with a given point inside together
with the point do not form a convex quadrangle. This is a contradiction.
Proof of Theorem 4.2. We apply the Ramsey theorem to prove Theorem 4.2. For k = 3, it is obviously true. Now for
k ¸ 4, if n ¸ R(k; 5; 4), we divide the 4-subsets of the n points into a class C of 4-subsets whose points are vertices
of a convex quadrangle, and another class D of 4-subsets whose points are not vertices of any convex quadrangle.
By the Ramsey theorem, there is either k points whose any 4-subset belongs to C , or 5 points whose any 4-subset
belongs to D. In the formal case, the problem is solved by Lemma 4.4. In the latter case, it is impossible by
Lemma 4.3. ¤
Theorem 4.5 (Schur). For any positive integer k there exists a smallest integer Nk
such that, if n ¸ Nk
and for
any k-coloring of [1; n], there is a monochromatic sequence x
1
; x
2
; : : : ; x
l
(l ¸ 2) such that x
l =
P
l¡1
i=1
x
i .
Proof. Let n ¸ R(l; : : : ; l; 2) and let fA1; : : : ; A
k
g be a k-coloring of [1; n]. Let fC
1
; : : : ; C
k
g be a k-coloring of
P2
([1; n]) de¯ned by
fa; bg 2 C
i if and only if ja ¡ bj 2 Ai
; where 1 · i · k:
By the Ramsey theorem, there is one r (1 · r · k) and an l-subset A = fa
1
; a
2
; : : : ; a
l g ½ [1; n] such that
P2
(A) µ Cr
. We may assume a
1
< a2 < ¢ ¢ ¢ < al
. Then
fa
i
; aj
g 2 C
r
and a
j ¡ a
i 2 Ar for all i < j .
Let x
i = a
i+1 ¡ a
i
for 1 · i · l ¡ 1 and x
l = a
l ¡ a
1
. Then x
i 2 Ar
for all 1 · i · l and x
l =
P
l¡1
i=1
x
i
.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ใช้ทฤษฎีบทของหอประชุมรัฐสภา 4
ทฤษฎีบท 4.1 สำหรับจำนวนเต็มบวก q
1
; : : : ; q
k
มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด R (q
1
;:::; q
k
; 2 ที่ ถ้า
n ¸ R (q
1
;:::; q
k
; 2) และสำหรับสีขอบใด ๆ ของสมบูรณ์กราฟช็อปปิ้ง
กับ k สี c
1
; : : : ; c
k
, มีอย่างน้อยหนึ่ง
ฉัน (1 ·ฉัน· k) ให้ช็อปปิ้ง
มี subgraph สมบูรณ์ Kqi
ของ c สี
ผม
พิสูจน์ แต่ละขอบของช็อปปิ้ง
ถือได้ว่าเป็นชุดย่อย 2 ของจุดยอดของการ
ในหนังสือของริชาร์ด Brualdi หอประชุมรัฐสภากำหนดหมายเลข R (q
1
;:::; q
k
; 2) คุณสามารถระบุ โดย r(q
1
;:::; q
k
)
5
ทฤษฎีบท 4.2 (ErdÄos-Szekeres) สำหรับทุกจำนวนเต็ม k ¸ 3 มีจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด N (k) ให้ ถ้า¸ n N (k)
และจุด n ใด ๆ บนเครื่องบินที่มีจุด 3 จุดไม่ผ่านสาย แล้วมีกร k นูนที่มีจุดยอด
อยู่ระหว่างการกำหนด n จุด.
ก่อนพิสูจน์ทฤษฎีบทเราพิสูจน์ต่อไปนี้สอง lemmas ¯rst.
4.3 จับมือ ระหว่างจุดใด ๆ 5 เครื่อง ไม่มีจุดสามผ่านสาย 4 ของพวกเขาต้องการแบบนูน
คัวดรานเกิล
พิสูจน์ รวมทุกคู่ของสองจุดตามเซ็กเมนต์จะมี con¯guration ของเซ็กเมนต์ที่ 10 เส้นรอบวงของการ
con¯guration รูปแบบรูปหลายเหลี่ยมนูน ว่ารูปหลายเหลี่ยมนูน แบบห้าเหลี่ยมหรือเป็นคัวดรานเกิล แก้ไขปัญหา.
หรือ รูปหลายเหลี่ยมต้องเป็นรูปสามเหลี่ยม และสองจุดอื่น ๆ ที่ต้องอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยม วาดแบบ
เส้นตรงผ่านจุด 2 สองจุดยอดทั้งสามต้องอยู่ในด้านใดด้านหนึ่งของเส้นตรง ใน
จุดยอดสองด้านเดียวและสองจุดภายในรูปสามเหลี่ยมแบบคัวดรานเกิล.
4.4 จับมือ กำหนดให้ k ¸ 4 จุดบนเครื่องบิน ไม่มี 3 จุดผ่านสาย ถ้ามี 4 จุดเป็นจุดยอดของความนูน
คัวดรานเกิล แล้วจุด k เป็นจริงจุดยอดของ k นูน-กร.
พิสูจน์ รวมทุกคู่ของสองจุดตามเซ็กเมนต์จะมี con¯guration ของ k (k ¡ 1) = 2 เซ็กเมนต์ เส้นรอบวง
ของ con¯guration ใช้รูป l-หลายเหลี่ยมนูน ถ้า l = k แก้ไขปัญหา ถ้า l < k ต้องมีอย่างน้อยหนึ่ง
ชี้ภายใน l-รูปหลายเหลี่ยม ให้ v
1
; v
2
; : : : ; v
l
เป็นจุดยอดของ l-เหลี่ยมนูน และวาดส่วนระหว่าง
v
1
และ v
3
; v
4
; : : : ; v
l¡1
ตามลำดับ จุดภายใน l-เหลี่ยมนูนต้องอยู่ในหนึ่งในสามเหลี่ยม
4v
1
v
2
v
3
; 4v
1
v
3
v
4
; : : : ; 4v
1
v
l¡1
v
l
อย่างชัดเจน จุดยอดทั้งสามของสามเหลี่ยมกับจุดที่กำหนดภายในกัน
มีจุดได้คัวดรานเกิลนูน ความขัดแย้งได้
พิสูจน์ทฤษฎีบท 4.2 เราใช้ทฤษฎีบทของหอประชุมรัฐสภาเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท 4.2 สำหรับ k = 3 มันเป็นความจริงแน่นอน ตอนนี้สำหรับ
k ¸ 4 ถ้า n ¸ R (k; 5; 4), เราแบ่งย่อย 4 จุด n เป็นคลาส C ของจุดยอดอยู่จุดย่อย 4
คัวดรานเกิลนูน และอื่นคลาส D ของจุดเป็นจุดยอดของใด ๆ นูนคัวดรานเกิลไม่ย่อย 4
โดยทฤษฎีบทหอประชุมรัฐสภา มีทั้งจุด k อยู่ที่ใด ๆ 4-ย่อย C หรือ 5 จุดที่ 4-ย่อยใด ๆ
เป็นของดี กรณีศึกษา แก้ไขปัญหา โดยการจับมือ 4.4 นเมื่อ มันเป็นไปไม่ได้โดย
4.3 การจับมือกัน ¤
ทฤษฎีบท 4.5 (Schur) สำหรับ k จำนวนเต็มบวกใดๆ มีจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด Nk
ให้ ถ้า n ¸ Nk
และ
k-สีใด ๆ ของ [1; n], มีลำดับยัง x
1
; x
2
; : : : ; x
l
(l ¸ 2) เช่นว่า x
l =
P
l¡1
ฉัน = 1
x
ผม
พิสูจน์ ให้ n ¸ R (l;:::; l; 2) และให้ fA1 : : : ; A
k
g มีสี k ของ [1; n] ให้ fC
1
; : : : ; C
k
g มีสี k ของ
p 2
([1; n]) de¯ned โดย
ฟ้า bg 2 C
ฉันถ้าและเฉพาะถ้า ja ¡ bj 2 อาย
; ที่ 1 · ฉันขาด k:
โดยทฤษฎีบทหอประชุมรัฐสภา มีอาร์หนึ่ง (1 ·อาร์· k) และ A ย่อย l =ฟ้า
1
; ตัว
2
; : : : ; การ
l g ½ [1; n] เขตเช่น that
P2
(A) Cr
เราอาจสมมติเป็น
1
< a2 < ลอกลอกลอก < อัล
แล้ว
ฟ้า
ฉัน
; aj
g 2 C
r
และ
¡เจเป็น
ฉัน 2 Ar ทั้งหมดฉัน < เจ.
ให้ x
ฉัน =การ
¡ i 1 เป็น
ฉัน
สำหรับ 1 · ฉันขาด l ¡ 1 และ x
l =การ
l ¡การ
1
แล้ว x
2 ผม Ar
สำหรับ 1 ·ทั้งหมด ฉันขาด l และ x
l =
P
l¡1
ฉัน = 1
x
ฉัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

4 การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบททฤษฎีบทแรมซีย์
4.1 . บวกจำนวนเต็ม Q
1
; : : : ; q
k
มีอยู่จำนวนเต็มบวกน้อยที่สุด R ( q
1
; : : : ; q
k
2 ) เช่นว่า ถ้า
n ¸ R ( q
1
; : : : ; q
k
2 ) และสำหรับใด ๆที่ขอบสีของกราฟสมบูรณ์ด้วยสี C K รู้

1
; : : : ; C
k
,
ฉันมีอย่างน้อยหนึ่ง ( 1 ด้วยฉันด้วย K ) ที่รู้ว่ามี kqi

subgraph สมบูรณ์ของสี C
.
พิสูจน์ขอบของ KN
ถือได้ว่าเป็น 2-subset ของจุด .
ในหนังสือของริชาร์ด brualdi , แรมซีย์หมายเลข r ( q
1
; : : : ; q
k
2 ) เขียนแทนด้วย R ( q
1
; : : : K ; Q

)
5
( ERD IKEA OS 4.2 ทฤษฎีบท เซเคเรส ) สำหรับจำนวนเต็ม k ¸ 3 มีอยู่เล็กจำนวนเต็ม N ( k ) เช่นว่า ถ้า N ¸ N ( k )
n และจุดใด ๆบนเครื่องที่ไม่มีจุดสามจุดผ่านเส้นจากนั้นมีการนูน k-gon ที่มีจุดยอดอยู่ระหว่างจำนวนเต็ม

ก่อนจุด พิสูจน์ทฤษฎีบทพิสูจน์สอง lemmas ¯ RST ต่อไปนี้
แทรก 4.3 . หมู่ใด 5 จุด บนเครื่องบิน ไม่มีจุดสามจุดผ่านสาย 4 เลยต้องฟอร์มสี่เหลี่ยมนูน
.
พิสูจน์ รวมทุกคู่สองจุด โดยส่วนที่จะมีคอน¯ guration 10 กลุ่ม เส้นรอบวงของ
¯ guration รูปแบบรูปหลายเหลี่ยมคอนเวกซ์ ถ้ารูปหลายเหลี่ยมนูนเป็นเพนตากอน หรือ สี่เหลี่ยม ปัญหาจะแก้ไข .
ไม่งั้นรูปหลายเหลี่ยมต้องเป็นสามเหลี่ยม และอีกสองจุดต้องตั้งอยู่ภายในสามเหลี่ยม วาดเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด
; สองจากสามจุดต้องตั้งอยู่ในด้านหนึ่งของเส้นตรง
สองจุดบนด้านเดียวกันกับจุดสองจุดในรูปแบบสามเหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส .
แทรก 4.4 . ให้ k ¸ 4 จุดบนเครื่องบิน ไม่มี 3 จุดผ่านสาย ถ้ามี 4 จุดเป็นจุดของสี่เหลี่ยมนูน
, K จุดเป็นจุดของ k-gon นูน
พิสูจน์ รวมทุกคู่สองจุด โดยส่วนที่จะมีคอน¯ guration K ( K ¡ 1 ) = 2 กลุ่ม เส้นรอบวง
ของคอน¯ guration รูปแบบ l-polygon นูน ถ้า L = K ปัญหาจะแก้ไข ถ้าฉัน < K ต้องมีอย่างน้อยหนึ่ง
จุดภายใน l-polygon . ให้ v
1
; v
2
; : : : ; v
L
เป็นจุดยอดของ l-polygon นูน และดึงกลุ่มระหว่าง
v
1
V
3
; v
4
; : : : ; v
L
¡ 1 ตามลำดับ จุดภายใน l-polygon นูนต้องตั้งอยู่ในหนึ่งของสามเหลี่ยม 4v
1
V

V
2
3
; 4v
1
v
3
v
4
; : :: ; 4v
1
v
L

L
¡ 1 V . เห็นได้ชัดว่าทั้งสามจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดที่กําหนดภายในด้วยกัน
กับจุดไม่ฟอร์มสี่เหลี่ยมนูน นี่คือความขัดแย้ง .
พิสูจน์ทฤษฎีบท 4.2 . เราใช้ทฤษฎีบทแรมซีย์เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท 4.2 . ค่า K = 3 , มันเป็นความจริงที่เห็นได้ชัด . ตอนนี้
K ¸ 4 ถ้า N ¸ R ( K ; 5 ; 4 )เราแบ่ง 4-subsets ของ n จุดในคลาส C 4-subsets ที่มีจุดจุด
เป็นสี่เหลี่ยมนูน และอีกห้อง D ของ 4-subsets ที่มีคะแนนไม่จุดใด นูน - .
โดยทฤษฎีบทแรมซีย์ มีทั้ง K จุดที่มีใด ๆ 4-subset เป็นของ C , หรือ 5 จุด ซึ่ง 4-subset ใด ๆ
เป็นของดีในคดีอย่างเป็นทางการ แก้ปัญหาโดยการแทรก 4.4 .ในกรณีหลังนี้มันเป็นไปไม่ได้โดย
แทรก 4.3 . ¤
ทฤษฎีบท 4.5 ( schur ) สำหรับจำนวนเต็มบวก k มีอยู่เล็กจำนวนเต็ม NK
เช่นถ้า N ¸ NK

k-coloring และใด ๆของ [ 1 ; n ] มี monochromatic ลำดับ x
1
; x
2
; : : : ; x
L
( L ¸ x
2 ) เช่น L =
p
L
¡ 1 = 1
x
.
พิสูจน์ ให้ n ¸ R ( L ; : : : ; l ; 2 ) และให้ fa1 ; : : : ;
k
g เป็น k-coloring [ 1 ; n ] ให้ FC
1
; : : : ; C
K
g เป็น k-coloring ของ P2

( [ 1 ; n ] ) เดอ ¯เน็ดด้วย

ผมฟ้า ; BG 2 C ถ้าและเพียงถ้าจา¡ BJ 2 AI
; k :
1 ด้วยผมด้วยโดยทฤษฎีบทแรมซีย์ มี R ( 1 ด้วย R ด้วย K ) และ l-subset = ฟ้า
1
;
2
; : : : ;
l g ½ [ 1 ; n ] เช่น
P2
( ) µ CR

เราอาจถือว่า
1
< A2 < ¢¢¢ < ล

แล้ว

ผมเอเจเอฟเอ
;
c
r
2 G และ J ¡

ผมเป็น 2 AR เลย < J .
ปล่อยให้ฉัน =
x


ผม¡ชั้น 1 มี 1 ด้วย ผมด้วย ผม¡ 1 และ x
L =
L ¡เป็น
1

แล้ว X
ฉัน 2 ar
ทั้งหมด 1 ด้วยฉันด้วยฉันและ x
L =
p
L
¡ 1 = 1
x
ผม