An idempotent of a semigroup S is a

An idempotent of a semigroup S is an element a ∈ S with a
2 = a. The set of all
idempotents of S is denoted by E(S). A semigroup S is called a regular semigroup
if for every x ∈ S, x = xyx for some y ∈ S, and S is called an inverse semigroup
if for every x ∈ S, there is a unique element x
−1 ∈ S such that x = xx−1x and
x
−1 = x
−1xx−1
. It is well-known that a semigroup S is inverse if and only if S
is regular and any two idempotents commute with each other ([1], page 28). A
semigroup S is called right [left] simple if S itself is the only right [left] ideal of S.
It follows that S is right [left] simple if and only if aS = S [Sa = S] for all a ∈ S
([1], page 7).
Let N be the set of natural numbers (positive integers), n ∈ N, F a field
and Mn(F) the multiplicative semigroup of all n × n matrices over F. It is wellknown
that Mn(F) is a regular semigroup ([3], page 114) with identity In, the
identity n × n matrix over F. Let Un(F) be the set of upper triangular matrices
A ∈ Mn(F). Then Un(F) is a subsemigroup of Mn(F) but it is clearly seen that
Un(F) is not regular if n > 1. For i, j ∈ {1, . . . , n}, the (i, j)-entry of A ∈ Mn(F)
is denoted by Aij . Let

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การ idempotent semigroup S เป็นองค์ประกอบ∈ S กับการ2 =มีการ ชุดทั้งหมดidempotents ของ S สามารถระบุโดย E (S) เรียกว่า semigroup S semigroup ปกติถ้าสำหรับทุก x ∈ S, x = xyx สำหรับบาง y ∈ S และ S คือ semigroup การผกผันสำหรับ x ทุก∈ S ว่ามีองค์ประกอบเฉพาะ x−1 ∈ S เช่นให้ x = xx−1x และx−1 = x−1xx−1. เป็นที่รู้จักว่า semigroup S ถ้าผกผันและเฉพาะ Sเป็นปกติและ idempotents สองการเดินทาง ด้วยกัน ([1], หน้า 28) Asemigroup S เรียกว่าขวา [ซ้าย] S เองเหมาะสมเฉพาะอย่าง [ซ้าย] เหมาะของ s ได้ต่อ S ว่าถ้าง่ายขวา [ซ้าย] และรับเป็น = S [Sa = S] สำหรับทั้งหมด∈ S([1], หน้า 7)ให้ N เป็นชุดตัวเลขธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก), n ∈ N, F เขตและ Mn(F) semigroup เชิงการคูณของเมทริกซ์ n n ×ทั้งหมดกว่าเอฟ อุดรธานีมีว่า Mn(F) semigroup ปกติ ([3], หน้า 114) มีการเมตริกซ์ n n ×ตัวกว่าเอฟ ให้ Un(F) เป็นชุดของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบน∈ Mn(F) จาก Un(F) เป็น subsemigroup ของ Mn(F) แต่จะเห็นได้อย่างชัดเจนที่Un(F) ไม่ปกติถ้า n > 1 สำหรับฉัน เจ∈ {1,..., n }, (i, j) -รายการของ∈ Mn(F)จะสามารถบุจาก Aij ปล่อยให้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

idempotent ของ S semigroup เป็นองค์ประกอบ∈ S กับ
2 = ชุดของทุก
idempotents ของ S จะเขียนแทนด้วย E (S) S semigroup เรียกว่ากึ่งปกติ
ถ้าทุก x ∈ S, x = xyx สำหรับบางคนและ∈ S และ S ที่เรียกว่า semigroup ตรงกันข้าม
ถ้าทุก x ∈ S มีองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกัน x
-1 ∈ S ดังกล่าวว่า x = xx-1x และ
x
= x -1
-1xx-1
มันเป็นที่รู้จักกันดีว่า semigroup S เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามถ้าหาก S
เป็นปกติและสอง idempotents เดินทางกับแต่ละอื่น ๆ ([1], หน้า 28)
S semigroup เรียกว่าขวา [ซ้าย] ง่ายถ้า S ตัวเองเป็นที่เหมาะสมเท่านั้น [ซ้าย] อุดมคติของ S.
มันตามที่ที่เหมาะสม [ซ้าย] ง่ายและถ้าหาก aS = S [Sa = S] สำหรับทุก∈ S
([1], หน้า 7).
ให้ n เป็นชุดของจำนวนธรรมชาติ (จำนวนเต็มบวก), n ∈ N, F ข้อมูล
และแมงกานีส (F) semigroup คูณของ n × n เมทริกซ์กว่าเอฟทั้งหมดมันเป็นที่รู้จัก
ที่ Mn (F) เป็นกึ่งกลุ่มปกติ ([3], หน้า 114) ที่มีตัวตนในการ
เป็นตัวตน n × n เมทริกซ์กว่าเอฟให้ Un (F) เป็นชุดของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน
∈ Mn (F) แล้ว Un (F) เป็น subsemigroup ของ Mn (F) แต่มันก็เห็นได้ชัดว่า
ไม่ (F) ไม่ปกติถ้า n> 1. สำหรับฉัน j ∈ {1, . . , n}, (I, J) -entry ของ∈ Mn (F)
จะแสดงโดย Aij ให้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เป็นนิจพลของกึ่งกรุปเป็นองค์ประกอบ∈ด้วย
2 = a . ชุดเลย
idempotents S เขียน E ( s ) กึ่งกรุป S เรียกว่า
กึ่งกลุ่มปกติ ถ้าทุก ๆ x ∈ S , X = xyx บาง Y ∈ S และ S เป็นกึ่งกลุ่มผกผันเรียกว่า
ถ้าสำหรับทุกๆ x ∈ S มีเฉพาะธาตุ X
− 1 ∈ s เช่น x = xx − 1
x
− 1 1xx −− 1 = x

มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นกึ่งกลุ่มผกผันถ้าและเพียงถ้า S
เป็นปกติและสอง idempotents เดินทางกับแต่ละอื่น ๆ ( [ 1 ] , หน้า 28 ) เป็นกึ่งกรุป S
เรียกว่าขวา [ ซ้าย ] ง่าย ๆว่า ตัวเองเป็น [ ขวาซ้าย ] ในอุดมคติของ S .
มันเป็นไปตามที่ถูกต้อง [ ซ้าย ] ง่าย ถ้าและเพียงถ้าเป็น = [ s ] ซา = S ทั้งหมด∈ S
( [ 1 ] , หน้า 7 )
ให้ N เป็นชุดของตัวเลขที่เป็นธรรมชาติ ( จำนวนเต็มบวก ) n ∈ nF สนาม
และ Mn ( F ) n × n กึ่งกรุปการคูณของเมทริกซ์ใหม่ . มันเป็น wellknown
ที่ MN ( F ) เป็นกึ่งกลุ่มปกติ ( [ 3 ] , หน้า 114 ) ที่มีเอกลักษณ์ในตัวตน n × n ,
เมทริกซ์ผ่าน F . ให้สหประชาชาติ ( F ) เป็นเซตของเมทริกซ์ สามเหลี่ยมด้านบน
เป็น∈ Mn ( F ) แล้วอุน ( F ) เป็น subsemigroup ของ Mn ( F ) แต่จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่า
a ( F ) ไม่ได้ปกติถ้า n > 1 สำหรับฉัน , J ∈ { 1 . . . . . . . . , n ) , ( ฉันJ ) -- รายการของ∈ Mn ( F )
เขียนโดย aij . ปล่อยให้