Computability[edit]Main article: co

Computability[edit]
Main article: computable function
Functions that send integers to integers, or finite strings to finite strings, can sometimes be defined by an algorithm, which gives a precise description of a set of steps for computing the output of the function from its input. Functions definable by an algorithm are called computable functions. For example, the Euclidean algorithm gives a precise process to compute the greatest common divisor of two positive integers. Many of the functions studied in the context of number theory are computable.

Fundamental results of computability theory show that there are functions that can be precisely defined but are not computable. Moreover, in the sense of cardinality, almost all functions from the integers to integers are not computable. The number of computable functions from integers to integers is countable, because the number of possible algorithms is. The number of all functions from integers to integers is higher: the same as the cardinality of the real numbers. Thus most functions from integers to integers are not computable. Specific examples of uncomputable functions are known, including the busy beaver function and functions related to the halting problem and other undecidable problems.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

[แก้] การคำนวณได้บทความหลัก: computable ฟังก์ชันบางครั้งสามารถกำหนดฟังก์ชันที่ส่งจำนวนเต็ม หรือสตริงที่จำกัดเพื่อจำกัดสาย โดยอัลกอริทึม ซึ่งให้คำอธิบายที่ชัดเจนของขั้นตอนการตั้งค่าสำหรับการคำนวณผลลัพธ์ของฟังก์ชันป้อนข้อมูล ฟังก์ชันที่สามารถกำหนดค่าสเกล โดยอัลกอริทึมเรียกว่าฟังก์ชัน computable เช่น อัลกอริทึม Euclidean ให้กระบวนการแม่นยำในการคำนวณตัวหารร่วมของจำนวนเต็มบวกสอง ฟังก์ชันหลายฟังก์ชันในบริบทของทฤษฎีจำนวนเป็น computableผลพื้นฐานของทฤษฎีการคำนวณได้แสดงว่า มีฟังก์ชันที่สามารถกำหนดได้อย่างแม่นยำ แต่ไม่ computable นอกจากนี้ ในแง่ของจำนวนนับ ฟังก์ชั่นเกือบทั้งหมดจากจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มไม่ได้ computable หมายเลขฟังก์ชัน computable จากจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มคือนับได้ เนื่องจากจำนวนอัลกอริทึมได้ จำนวนฟังก์ชันทั้งหมดจากจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มคือสูง: เป็นจำนวนนับของจำนวนจริง ดังนั้น ฟังก์ชันส่วนใหญ่จากจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มไม่ computable ตัวอย่างเฉพาะของ uncomputable ฟังก์ชัน ฟังก์ชันช่องคลอดที่ไม่ว่างและฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับปัญหาหยุดและปัญหาอื่น ๆ undecidable กัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การคำนวณ [แก้ไข]
บทความหลัก: ฟังก์ชันคำนวณ
ฟังก์ชั่นที่ส่งจำนวนเต็มจำนวนเต็มหรือสตริง จำกัด จะแน่นอนทฤษฎีสตริงบางครั้งสามารถกำหนดได้โดยอัลกอริทึมที่ให้คำอธิบายที่ถูกต้องของชุดของขั้นตอนสำหรับการคำนวณการส่งออกของฟังก์ชั่นจากมัน อินพุต ฟังก์ชั่นที่กำหนดโดยอัลกอริทึมที่เรียกว่าฟังก์ชันคำนวณ ยกตัวอย่างเช่นขั้นตอนวิธี Euclidean ให้เป็นกระบวนการที่มีความแม่นยำในการคำนวณตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มบวก หลายฟังก์ชั่นการศึกษาในบริบทของทฤษฎีจำนวนที่มีการคำนวณ. ผลพื้นฐานของทฤษฎีการคำนวณแสดงให้เห็นว่ายังมีฟังก์ชั่นที่สามารถกำหนดได้อย่างแน่นอน แต่ยังไม่ได้คำนวณ นอกจากนี้ในความรู้สึกของ cardinality เกือบทุกฟังก์ชั่นจากจำนวนเต็มจำนวนเต็มไม่ได้คำนวณ จำนวนหน้าที่คำนวณจากจำนวนเต็มจำนวนเต็มคือนับเนื่องจากจำนวนของขั้นตอนวิธีที่เป็นไปได้คือ จำนวนหน้าที่ทั้งหมดจากจำนวนเต็มจำนวนเต็มสูง: เช่นเดียวกับ cardinality ของจำนวนจริง ดังนั้นการทำงานมากที่สุดจากจำนวนเต็มจำนวนเต็มไม่ได้คำนวณ ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงของฟังก์ชั่น uncomputable เป็นที่รู้จักกันรวมทั้งฟังก์ชั่นช่องคลอดไม่ว่างและฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับการลังเลปัญหาและปัญหาอื่น ๆ ที่ตัดสินไม่ได้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คอมพิวเตอร์ [ แก้ไข ]บทความหลัก : ฟังก์ชันคำนวณฟังก์ชันที่ส่งจำนวนเต็มกับจำนวนเต็ม หรือจำกัดสตริงสตริงจำกัด บางครั้งสามารถถูกกำหนดโดยอัลกอริทึม ซึ่งให้รายละเอียดที่ชัดเจนของชุดของขั้นตอนสำหรับการคำนวณผลลัพธ์ของฟังก์ชันจากข้อมูลของ ฟังก์ชันที่กำหนดโดยอัลกอริทึมจะเรียกว่าฟังก์ชันคำนวณ . ตัวอย่าง การใช้วิธีช่วยให้กระบวนการที่ชัดเจนเพื่อหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองบวก . หลายฟังก์ชันใช้ในบริบทของทฤษฎีหมายเลขที่คิดคำนวณได้พื้นฐานของทฤษฎีผลการคำนวณแสดงให้เห็นว่า มีฟังก์ชั่นที่สามารถกำหนดได้อย่างแม่นยำ แต่ไม่ได้คำนวณ . นอกจากนี้ ในแง่ของคาร์ดินาลลิตีเกือบทุกฟังก์ชั่นจากจำนวนเต็มกับจำนวนเต็มไม่ได้คำนวณ . เลขคำนวณจากจำนวนเต็มกับจำนวนเต็มเป็นฟังก์ชันได้ เนื่องจากจำนวนของขั้นตอนวิธีที่เป็นไปได้คือ หมายเลขของฟังก์ชันทั้งหมดจากจำนวนเต็มกับจำนวนเต็มสูงกว่า : เช่นเดียวกับภาวะเชิงการนับของจำนวนจริง ดังนั้นการทำงานจากจำนวนเต็มกับจำนวนเต็มมากที่สุดจะไม่คำนวณ . ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงของฟังก์ชัน uncomputable เป็นที่รู้จัก รวมทั้งฟังก์ชั่น บีเวอร์ ไม่ว่าง และฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับปัญหาที่ลังเลและปัญหาอื่น ๆ undecidable .