MATHEMATICAL THINKING IS ESSENTIAL

MATHEMATICAL THINKING IS ESSENTIAL FOR TEACHING MATHEMATICS. Mathematical thinking is not only important for solving mathematical problems and for learning mathematics. In this section, I will draw on an Australian classroom episode to discuss how mathematical thinking is essential for teaching mathematics. This episode is taken from data collected by Dr Helen Chick, of the University of Melbourne, for a research project on teachers’ pedagogical content knowledge. For other examples, see Chick, 2003; Chick & Baker, 2005, Chick, Baker, Pham & Cheng, 2006a; Chick, Pham & Baker, 2006b). Providing opportunities for students
43
to learn about mathematical thinking requires considerable mathematical thinking on the part of teachers. The first announcement for this conference states that a teacher requires mathematical thinking for analysing subject matter (p. 4), planning lessons for a specified aim (p. 4) and anticipating students’ responses (p. 5).These are indeed key places where mathematical thinking is required. However, in this section, I concentrate on the mathematical thinking that is needed on a minute by minute basis in the process of conducting a good mathematics lesson. Mathematical thinking is not just in planning lessons and curricula; it makes a difference to every minute of the lesson. The teacher in this classroom extract is in her fifth year of teaching. She stands out in Chick’s data as one of the teachers in the sample exhibiting the deepest pedagogical content knowledge (Shulman, 1986, 1987). Her pupils are aged about 11 years, and are in Grade 6. This lesson began by reviewing ideas of both area and perimeter. We will examine just the first 15 minutes. The teacher selected an open and reversed task to encourage investigation and mathematical thinking. Students had 1cm grid paper and were all asked to draw a rectangle with an area of 20 square cm. This task is open in the sense that there are multiple correct answers, and it is ‘reversed’ when it is contrasted to the more common task of being given a rectangle and finding its area. The teacher reminded students that area could be measured by the number of grid squares inside a shape. In terms of the processes of mathematical thinking, the teacher at this stage is ensuring that each student is specialising. They are each working on a special case, and coming to know it well, and this will provide an anchor for future discussions and generalisations. I make no claim that the teacher herself analyses this move in this way. As the teacher circulated around the room assisting and monitoring students, she came to a student who asked if he could draw a square instead of a rectangle. In the dialogue which follows, the teachers’ response highlighted the definition of a rectangle, and she encouraged the student to work from the definition to see that a square is indeed a rectangle. S: Can I do a square? T: Is a square a rectangle? T: What’s a rectangle? T: How do you get something to be a rectangle? What’s the definition of a rectangle? S: Two parallel lines T: Two sets of parallel lines … and … S: Four right angles. T: So is that [square] a rectangle? S: Yes.
44
T: [Pause as teacher realises that student understands that the square is a rectangle, but there is a measurement error] But has that got an area of 20? S: [Thinks] Er, no. T: [Nods and winks] Other responses to this student would have closed down the opportunity to teach him about how definitions are used in mathematics. To the question “Can I do a square?”, she may have simply replied “No, I asked you to draw a rectangle” or she might have immediately focussed on the error that led the student to ask the question. Instead she saw the opportunity to develop his use of definitions. When the teacher realised that the student had asked about the square because he had made a measurement error, she judged that this was within the student’s own capability to correct, and so she simply indicated that he should check his work. In the next segment, a student showed his 4 x 5 rectangle on the overhead projector, and the teacher traced around it, confirmed its area is 20 square cm and showed that multiplying the length by the width can be used instead of counting the squares, which many students did. In this segment, the teacher demonstrated that reasoning is a key component of doing mathematics. She emphasised the mathematical connections between finding the number of squares covered by the rectangle by repeated addition (4 on the first row, 4 on the next, …) and by multiplication. In her classroom, the formula was not just a rule to be remembered, but it was to be understood. The development of the formula was a clear example of ‘seeing the general in a special case’. The formula was developed from the 4 x 5 rectangle in such a way that the generality of the argument was highlighted. The teacher paid further attention to generalisation and over-generalisation at this point, when a student commented: ‘That’s how you work out area – you do the length times the width’. The teacher seized on this opportunity to address students’ tendency to over-generalise, and teased out, through a short class discussion, that LxW only works for rectangles. S1: That’s how you work out area -- you do the length times the width. T: When S said that’s how you find the area of a shape, is he completely correct? S2: That’s what you do with a 2D shape. T: Yes, for this kind of shape. What kind of shape would it not actually work for? S3: Triangles. S4: A circle. T: [With further questioning, teases out that LxW only applies to rectangles] In the next few minutes, the teacher highlighted the link between multiplication and area by asking students to make other rectangles with area 20 square centimetres. Previously all students had made 4 x 5 or 2 x 10, but after a few minutes, the class had found 20 x 1, 1 x 20, 10 x 2, 2 x 10, 4 x 5 and 5 x 4 and had identified all these
45
side lengths as the factors of 20. Making links between different parts of the mathematics curriculum characterises her teaching. Then, in another act of generalisation, the teacher begins to move beyond whole numbers: T: Are there any other numbers that are going to give an area of 20? [Pauses, as if uncertain. There is no response from the students at first] T: No? How do we know that there’s not? S: You could put 40 by 0.5. T: Ah! You’ve gone into decimals. If we go into decimals we’re going to have heaps, aren’t we? After these first 15 minutes of the lesson, the students found rectangles with an area of 16 square centimetres and the teacher stressed the important problem solving strategy of working systematically. Later, in order to contrast the two concepts of area and perimeter, students found many shapes of area 12 square cm (not just rectangles) and determined their perimeters. Even the first 15 minutes of this lesson show that considerable mathematical thinking on behalf of the teacher is necessary to provide a lesson that is rich in mathematical thinking for students. We see how she draws on her mathematical concepts, deeply understood, and on her knowledge of connections among concepts and the links between concepts and procedures. She also draws on important general mathematical principles such as • working systematically • specialising – generalising: learning from examples by looking for the general in the particular • convincing: the need for justification, explanation and connections • the role of definitions in mathematics. Chick’s work analyses teaching in terms of the knowledge possessed by the teachers. She tracks how teachers reveal various categories of pedagogical content knowledge (Shulman, 1986) in the course of teaching a lesson. In the analysis above, I viewed the lesson from the point of view of the process of thinking mathematically within the lesson rather than tracking the knowledge used. To draw an analogy, in researching a students’ solution to a mathematical problem, a researcher can note the mathematical content used, or the researcher can observe the process of solving the problem. Similarly, teaching can be analysed from the “knowledge’ point of view, or analysed from the process point of view. For those us who enjoy mathematical thinking, I believe it is productive to see teaching mathematics as another instance of solving problems with mathematics. This places the emphasis not on the static knowledge used in the lesson asabove but on a process account of teaching. In order to use mathematics to solve a problem in any area of application, whether it is about money or physics or sport or engineering, mathematics must be used in combination with understanding from the area of
46
application. In the case of teaching mathematics, the solver has to bring together expertise in both mathematics and in general pedagogy, and combine these two domains of knowledge together to solve the problem, whether it be to analyse subject matter, to create a plan for a good lesson, or on a minute-by-minute basis to respond to students in a mathematically productive way. If teachers are to encourage mathematical thinking in students, then they need to engage in mathematical thinking throughout the lesson themselves.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ความคิดทางคณิตศาสตร์เท่านั้นไม่สำคัญ สำหรับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ และ การเรียนรู้คณิตศาสตร์ ในส่วนนี้ ฉันจะวาดในห้องเรียนออสเตรเลียตอนอภิปรายคิดว่าคณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการสอนคณิตศาสตร์ ตอนนี้นำมาจากข้อมูลที่รวบรวม โดยดร.เฮเลนเจี๊ยบ มหาวิทยาลัยของเมลเบิร์น โครงการวิจัยครูสอนเนื้อหาความรู้ ตัวอย่างอื่น ๆ ดูเจี๊ยบ 2003 เจี๊ยบ & เบเกอร์ ปี 2005 เจี๊ยบ เบเกอร์ ฟาม และ เฉิง 2006a เจี๊ยบ ฟาม และเบ เกอร์ 2006b) ให้โอกาสสำหรับนักเรียน 43การศึกษาเกี่ยวกับความคิดทางคณิตศาสตร์ต้องการคิดทางคณิตศาสตร์จำนวนมากในส่วนของครู การประกาศครั้งแรกสำหรับการประชุมนี้ระบุว่า ครูต้องใช้คณิตศาสตร์คิดสำหรับวิเคราะห์หัวข้อเรื่อง (p. 4), การวางแผนบทเรียนสำหรับการระบุเป้าหมาย (p. 4) และหยั่งรู้ของนักเรียน (5 p.)เหล่านี้เป็นสถานสำคัญจริง ๆ ต้องใช้ความคิดทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ในส่วนนี้ ฉันมีสมาธิในการคิดทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นในนาทีต่อนาทีกำลังดำเนินบทเรียนคณิตศาสตร์ที่ดี ความคิดทางคณิตศาสตร์ไม่ได้อยู่ในการวางแผนบทเรียนและหลักสูตร ทำให้ความแตกต่างให้ทุกนาทีของบทเรียน ครูในห้องเรียนสารสกัดนี้ในปีห้าของเธอสอนอยู่ เธอโดดในข้อมูลของเจี๊ยบเป็นครูในตัวอย่างที่ข้าพเจ้าสอนเนื้อหาความรู้ (Shulman, 1986, 1987) อย่างมีระดับ นักเรียนของเธอมีอายุประมาณ 11 ปี และอยู่ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 บทเรียนนี้เริ่ม ด้วยการทบทวนความคิดของที่ตั้งและขอบเขต เราจะตรวจสอบเพียงการแรก 15 นาที ครูเลือกงานเปิด และกลับส่งเสริมตรวจสอบและความคิดทางคณิตศาสตร์ นักเรียนมีกระดาษตาราง 1cm และมีทั้งหมดขอให้วาดสี่เหลี่ยม มีพื้นที่ 20 ตารางเซนติเมตร งานนี้ถูกเปิดในแง่ที่ว่า มีหลายคำตอบที่ถูกต้อง และมัน 'กลับ' มันจะต่างกับงานทั่วไปเป็นสี่เหลี่ยมและการหาพื้นที่ของ ครูเตือนนักเรียนว่า สามารถวัดตั้งตามหมายเลขของตารางช่องสี่เหลี่ยมในรูป ในกระบวนการของการคิดทางคณิตศาสตร์ ครูในขั้นตอนนี้จะมั่นใจว่า นักเรียนจะเชี่ยวชาญ พวกเขาจะทำงานในกรณีพิเศษ และมารู้จักดี และมีหลักการสนทนาในอนาคต generalisations ทำการเรียกร้องไม่ว่า อาจารย์ตัวเองวิเคราะห์นี้ย้ายวิธีนี้ เป็นครูหมุนเวียนไปรอบห้องพักให้ความช่วยเหลือ และตรวจสอบนักเรียน เธอมากับนักเรียนที่ขอถ้า เขาสามารถวาดสี่เหลี่ยมแทนสี่เหลี่ยม ในกล่องโต้ตอบซึ่งตาม ตอบสนองสังคมเน้นนิยามของสี่เหลี่ยม และเธอสนับสนุนให้นักเรียนทำงานจากคำนิยามจะเห็นว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสี่เหลี่ยม S:ทำตารางสามารถ T:กำลังเป็นสี่เหลี่ยมสี่เหลี่ยมหรือไม่ T:กำลังสี่เหลี่ยมคืออะไร T:กำลังว่าหาให้เป็นสี่เหลี่ยม คำจำกัดความของสี่เหลี่ยมคืออะไร S:สองขนานบรรทัดชุด t:กำลังสองของเส้นขนาน... และ... S:สี่มุมขวา T:กำลังดังนั้น คือที่ [สี่เหลี่ยม] สี่เหลี่ยม S:ใช่ 44T:กำลัง [หยุดชั่วคราวเป็นครู realises นักเรียนที่เข้าใจว่า สองเป็นสี่เหลี่ยม แต่มีข้อผิดพลาดในการวัด] แต่ที่มีในพื้นที่ของ 20 S: [คิด] Er หมายเลข t:กำลัง [Nods และวิงค์] อื่น ๆ ตอบนี้นักเรียนจะได้ปิดลงโอกาสที่จะสอนเขาเกี่ยวกับวิธีใช้คำนิยามในคณิตศาสตร์ คำถาม "ฉันสามารถทำตาราง" เธออาจมีเพียงตอบกลับ "ไม่ ฉันขอให้คุณวาดสี่เหลี่ยม" หรือเธออาจมีทันที focussed ในข้อผิดพลาดที่นักเรียนถามคำถามได้ แต่ เธอเห็นโอกาสในการพัฒนาใช้งานของข้อกำหนด เมื่อครูเองก็ยังคิดว่า นักเรียนได้ถามเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมเนื่องจากเขามีความผิดพลาดของการวัด เธอตัดสินว่า นี้ภายในความสามารถของนักเรียนเองให้ถูกต้อง และดังนั้น เธอก็แสดงว่า เขาควรตรวจสอบงานของเขา ในเซ็กเมนต์ถัดไป นักแสดงสี่เหลี่ยม 4 x 5 เขาบนเครื่องฉายข้ามศีรษะ และครูตรวจสอบรอบ ๆ ยืนยันการตั้งเป็น 20 ตารางเซนติเมตร และพบว่า ความกว้างคูณความยาวสามารถใช้แทนการนับสี่เหลี่ยม นักเรียนจำนวนมากที่ไม่ได้ ในเซ็กเมนต์นี้ ครูแสดงว่า เหตุผลเป็นองค์ประกอบสำคัญของการทำคณิตศาสตร์ นาง emphasised การเชื่อมต่อระหว่างค้นหาหมายเลขของช่องสี่เหลี่ยมครอบคลุม โดยเพิ่มซ้ำ (4 ในแถวแรก 4 ถัดไป,...) และคูณคณิตศาสตร์ ในห้องเรียนของเธอ สูตรไม่เพียงกฎจะถูกจดจำ แต่มันเป็นการเข้าใจ การพัฒนาสูตรเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของ 'เห็นทั่วไปในกรณีพิเศษ' สูตรได้รับการพัฒนาจากสี่เหลี่ยม 4 x 5 วิธีการ generality ของอาร์กิวเมนต์ถูกเน้น ครูจ่ายเพิ่มเติมสนใจ generalisation และ generalisation เกินจุดนี้ เมื่อนักเรียนแสดงความคิดเห็น: 'เป็นงานออกพื้นที่ – คุณครั้งความยาวความกว้าง' ครูยึดโอกาสนี้เพื่อนักศึกษาแนวโน้มการเกิน generalise และ teased ผ่านการเรียนสั้นสนทนา LxW ที่ทำงานเฉพาะสำหรับรูปสี่เหลี่ยม S1: เป็นงานออกจากพื้นที่ - คุณครั้งความยาวความกว้าง T:กำลังเมื่อ S กล่าวว่า เป็นวิธีหาพื้นที่ของรูปร่าง ถูกเขาสมบูรณ์หรือไม่ S2: นั่นคือสิ่งที่คุณทำกับรูปที่ 2D T:กำลังใช่ สำหรับชนิดนี้รูปร่าง ชนิดของรูปร่างจะไม่จริงทำงานสำหรับ S3: สามเหลี่ยม S4: วงกลม T:กำลัง [มีการซักถามเพิ่มเติม จีนออกว่า LxW เดียวสี่เหลี่ยม] ในไม่กี่นาทีถัดไป ครูเน้นการเชื่อมโยงระหว่างการคูณและถามนักเรียนเพื่อให้สี่เหลี่ยมอื่น ๆ พื้นที่หน่วยขนาด 20 เซนติเมตร ก่อนหน้านี้ นักเรียนทุกคนได้ทำ 4 x 5 หรือ 2 x 10 แต่หลังจากไม่กี่นาที ได้พบ 20 x 1, x 1 20, 10 x 2, 2 x 10, 4 x 5 และ 5 x 4 ชั้น และมีระบุเหล่านี้ทั้งหมด 45side lengths as the factors of 20. Making links between different parts of the mathematics curriculum characterises her teaching. Then, in another act of generalisation, the teacher begins to move beyond whole numbers: T: Are there any other numbers that are going to give an area of 20? [Pauses, as if uncertain. There is no response from the students at first] T: No? How do we know that there’s not? S: You could put 40 by 0.5. T: Ah! You’ve gone into decimals. If we go into decimals we’re going to have heaps, aren’t we? After these first 15 minutes of the lesson, the students found rectangles with an area of 16 square centimetres and the teacher stressed the important problem solving strategy of working systematically. Later, in order to contrast the two concepts of area and perimeter, students found many shapes of area 12 square cm (not just rectangles) and determined their perimeters. Even the first 15 minutes of this lesson show that considerable mathematical thinking on behalf of the teacher is necessary to provide a lesson that is rich in mathematical thinking for students. We see how she draws on her mathematical concepts, deeply understood, and on her knowledge of connections among concepts and the links between concepts and procedures. She also draws on important general mathematical principles such as • working systematically • specialising – generalising: learning from examples by looking for the general in the particular • convincing: the need for justification, explanation and connections • the role of definitions in mathematics. Chick’s work analyses teaching in terms of the knowledge possessed by the teachers. She tracks how teachers reveal various categories of pedagogical content knowledge (Shulman, 1986) in the course of teaching a lesson. In the analysis above, I viewed the lesson from the point of view of the process of thinking mathematically within the lesson rather than tracking the knowledge used. To draw an analogy, in researching a students’ solution to a mathematical problem, a researcher can note the mathematical content used, or the researcher can observe the process of solving the problem. Similarly, teaching can be analysed from the “knowledge’ point of view, or analysed from the process point of view. For those us who enjoy mathematical thinking, I believe it is productive to see teaching mathematics as another instance of solving problems with mathematics. This places the emphasis not on the static knowledge used in the lesson asabove but on a process account of teaching. In order to use mathematics to solve a problem in any area of application, whether it is about money or physics or sport or engineering, mathematics must be used in combination with understanding from the area of 46แอพลิเคชัน ในกรณีที่สอนวิชาคณิตศาสตร์ โปรแกรมแก้ปัญหาที่มี การรวบรวมความเชี่ยวชาญ ในวิชาคณิตศาสตร์ และครูผู้สอนทั่วไป รวมโดเมนเหล่านี้สองความรู้ร่วมกันเพื่อแก้ปัญหา ไม่ว่าจะเป็นการวิเคราะห์เรื่อง การสร้างแผนการเรียนที่ดี หรือเป็นนาทีโดยนาทีตอบสนองนักเรียนในวิธีมีประสิทธิผล mathematically ถ้าครูจะส่งเสริมคิดคณิตศาสตร์ในนักเรียน แล้วพวกเขาต้องการเข้าร่วมในการคิดทางคณิตศาสตร์ตลอดบทเรียนเอง

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คณิตศาสตร์การคิดเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ความคิดทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงสิ่งที่สำคัญในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ในส่วนนี้ผมจะวาดในตอนห้องเรียนออสเตรเลียเพื่อหารือเกี่ยวกับวิธีการคิดทางคณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ตอนนี้นำมาจากข้อมูลที่รวบรวมโดยดรเฮเลนเจี๊ยบของมหาวิทยาลัยเมลเบิร์นสำหรับโครงการวิจัยเกี่ยวกับความรู้เนื้อหาการเรียนการสอนของครู สำหรับตัวอย่างอื่นดูเจี๊ยบ, 2003; เจี๊ยบ & Baker, 2005, เจี๊ยบ, เบเกอร์ Pham & Cheng, 2006a; เจี๊ยบ, Pham & Baker, 2006b) ให้โอกาสสำหรับนักเรียน
43
ที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับการคิดทางคณิตศาสตร์ที่ต้องใช้ความคิดทางคณิตศาสตร์มากในส่วนของครู การประกาศครั้งแรกสำหรับการประชุมครั้งนี้ระบุว่าครูต้องใช้ความคิดทางคณิตศาสตร์สำหรับการวิเคราะห์เรื่องกัน (p. 4), การวางแผนบทเรียนสำหรับจุดมุ่งหมายที่กำหนด (พี. 4) และที่คาดการณ์ไว้การตอบสนองของนักเรียน (พี. 5) เหล่านี้เป็นสถานที่ที่สำคัญแน่นอน ที่ความคิดทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็น อย่างไรก็ตามในส่วนนี้ผมมีสมาธิในการคิดทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นในนาทีเป็นนาทีในขั้นตอนของการดำเนินบทเรียนคณิตศาสตร์ที่ดี ความคิดทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงการวางแผนในการเรียนและหลักสูตร; ก็จะทำให้ความแตกต่างกับนาทีของบทเรียนทุก ครูในสารสกัดจากห้องเรียนนี้อยู่ในปีที่ห้าของเธอในการเรียนการสอน เธอยืนออกในข้อมูลของไก่เป็นหนึ่งในครูในตัวอย่างการแสดงความรู้เนื้อหาการสอนที่ลึกที่สุด (ชู, 1986, 1987) นักเรียนของเธอจะอายุประมาณ 11 ปีและอยู่ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 บทเรียนนี้เริ่มต้นด้วยการทบทวนความคิดของพื้นที่และปริมณฑล เราจะตรวจสอบเพียงแค่ 15 นาทีแรก ครูที่เลือกเปิดและกลับรายการงานเพื่อส่งเสริมให้การตรวจสอบและความคิดทางคณิตศาสตร์ นักเรียนมีกระดาษตาราง 1cm และได้ขอให้วาดสี่เหลี่ยมมีพื้นที่ 20 ตารางเซนติเมตร งานนี้จะเปิดให้บริการในแง่ที่ว่ามีหลายคำตอบที่ถูกต้องและเป็น 'ย้อนกลับ' เมื่อเทียบกับงานทั่วไปของการที่จะได้รับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและการหาพื้นที่ของตน นักเรียนนึกถึงครูพื้นที่ที่สามารถวัดได้จากจำนวนตารางสี่เหลี่ยมภายในรูปร่าง ในแง่ของกระบวนการของความคิดทางคณิตศาสตร์, ครูในขั้นตอนนี้จะมั่นใจว่านักเรียนแต่ละคนมีความเชี่ยวชาญ พวกเขาได้รับการทำงานในแต่ละกรณีพิเศษและมาถึงรู้ว่ามันเป็นอย่างดีและสิ่งนี้จะช่วยให้ผู้ประกาศข่าวสำหรับการอภิปรายในอนาคตและ generalizations ฉันทำให้การเรียกร้องไม่ว่าครูตัวเองวิเคราะห์การย้ายครั้งนี้ด้วยวิธีนี้ ในฐานะที่เป็นครูหมุนเวียนไปรอบ ๆ ห้องพักนักศึกษาให้ความช่วยเหลือและติดตามเธอมาถึงนักเรียนที่ถามว่าเขาจะวาดตารางแทนของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในบทสนทนาซึ่งต่อไปนี้การตอบสนองของครูที่เน้นความหมายของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและเธอสนับสนุนให้นักเรียนในการทำงานจากความหมายที่จะเห็นว่าตารางย่อมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า S: ฉันสามารถทำตาราง? T: เป็นตารางสี่เหลี่ยม? T: อะไรสี่เหลี่ยมผืนผ้า? T: คุณจะได้รับสิ่งที่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า? อะไรคือความหมายของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า? S: สองเส้นคู่ขนาน T: สองชุดของเส้นคู่ขนาน ... และ ... S: สี่มุมขวา T: เพื่อให้เป็นที่ [ตาราง] สี่เหลี่ยมผืนผ้า? S: Yes.
44
T: [หยุดชั่วคราวเป็นครูตระหนักถึงนักศึกษาที่เข้าใจว่าเป็นตารางสี่เหลี่ยม แต่มีข้อผิดพลาดการวัด] แต่ได้ว่ามีพื้นที่ 20? S: [คิด] Er ไม่มี T: [Nods และการเชื่อมโยง] การตอบสนองอื่น ๆ ให้กับนักศึกษานี้จะต้องปิดตัวลงโอกาสที่จะสอนเขาเกี่ยวกับวิธีนิยามที่ใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ กับคำถาม "ผมสามารถทำตาราง?" เธออาจจะมีเพียงแค่ตอบว่า "ไม่ฉันขอให้คุณวาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า" หรือเธออาจจะเพ่งความสนใจไปทันทีในข้อผิดพลาดที่นำนักเรียนที่จะถามคำถาม แต่เธอเห็นโอกาสในการพัฒนาเขาใช้คำจำกัดความ เมื่อครูตระหนักว่านักเรียนได้ถามเกี่ยวกับตารางเพราะเขาได้ทำข้อผิดพลาดการวัดเธอตัดสินว่านี่คือความสามารถของตัวเองภายในของนักเรียนที่ถูกต้องและเพื่อให้เธอเพียงแค่ชี้ให้เห็นว่าเขาควรจะตรวจสอบการทำงานของเขา ในส่วนถัดไปแสดงให้เห็นว่านักเรียน 4 x 5 สี่เหลี่ยมผืนผ้าของเขาในการฉายภาพข้ามศีรษะและครูตรวจสอบรอบ ๆ มันได้รับการยืนยันเป็นพื้นที่ 20 ตารางเซนติเมตรและแสดงให้เห็นว่าการคูณความยาวความกว้างที่สามารถนำมาใช้แทนการนับสี่เหลี่ยม, ซึ่งนักเรียนจำนวนมากได้ ในส่วนนี้แสดงให้เห็นว่าครูเหตุผลที่เป็นองค์ประกอบสำคัญของการทำคณิตศาสตร์ เธอเน้นการเชื่อมต่อทางคณิตศาสตร์ระหว่างการค้นหาหมายเลขของสี่เหลี่ยมที่ครอบคลุมโดยสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยนอกเหนือซ้ำ (4 ในแถวแรกที่ 4 ต่อไป ... ) และโดยการคูณ ในห้องเรียนของเธอ, สูตรไม่ได้เป็นเพียงแค่การปกครองที่จะจำ แต่มันก็จะเข้าใจ การพัฒนาสูตรเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของการ 'เห็นทั่วไปในกรณีพิเศษ' สูตรได้รับการพัฒนาจาก 4 x 5 สี่เหลี่ยมผืนผ้าในลักษณะที่ทั่วไปของการโต้แย้งเป็นไฮไลต์ ครูให้ความสนใจต่อไปทั่วไปและกว่าทั่วไปที่จุดนี้เมื่อนักเรียนแสดงความคิดเห็น: 'นั่นเป็นวิธีที่คุณทำงานออกพื้นที่ - คุณทำเท่าของความยาวความกว้าง' ครูคว้าโอกาสที่จะอยู่ที่แนวโน้มของนักเรียนในการพูดคุยมากกว่านี้และแกล้งออกมาผ่านการอภิปรายในชั้นเรียนระยะสั้นที่ LxW ทำงานเฉพาะสำหรับรูปสี่เหลี่ยม S1: นั่นเป็นวิธีที่คุณทำงานออกพื้นที่ - คุณทำเท่าของความยาวความกว้าง T: เมื่อ S กล่าวว่าเป็นวิธีที่คุณหาพื้นที่ของรูปทรงที่เป็นเขาที่ถูกต้องสมบูรณ์? S2: นั่นคือสิ่งที่คุณทำกับรูปร่าง 2D T: ใช่สำหรับชนิดของรูปร่างนี้ ชนิดของรูปร่างมันจะไม่ทำงานจริงหรือไม่? S3: สามเหลี่ยม S4: วงกลม T: [ด้วยการซักถามเพิ่มเติมยั่วให้เห็นว่า LxW ใช้เฉพาะกับรูปสี่เหลี่ยม] ในไม่กี่นาทีถัดครูเน้นการเชื่อมโยงระหว่างการคูณและพื้นที่โดยขอให้นักเรียนที่จะทำให้รูปสี่เหลี่ยมอื่น ๆ ที่มีพื้นที่ 20 ตารางเซนติเมตร ก่อนหน้านี้นักเรียนทุกคนได้ทำ 4 x 5 หรือ 2 x 10 แต่หลังจากนั้นไม่กี่นาทีในชั้นเรียนได้พบ 20 x 1, 1 x 20, 10 x 2, 2 x 10, 4 x 5 และ 5 x 4 และได้ระบุทั้งหมด เหล่านี้
45
ความยาวด้านปัจจัยของ 20. การเชื่อมโยงระหว่างส่วนต่าง ๆ ของหลักสูตรคณิตศาสตร์ลักษณะการเรียนการสอนของเธอ จากนั้นในการกระทำของทั่วไปอื่นครูเริ่มต้นที่จะย้ายเกินกว่าตัวเลขทั้งหมด: T: มีหมายเลขอื่น ๆ ที่จะให้พื้นที่ 20? [หยุดเช่นถ้ามีความไม่แน่นอน ไม่มีการตอบสนองจากนักศึกษาในตอนแรก] T คือไม่มี? อย่างไรเรารู้ว่ามีไม่? S: คุณสามารถใส่ 40 0.5 T: อ่า! คุณได้ไปเป็นทศนิยม ถ้าเราไปเป็นทศนิยมที่เรากำลังจะมีกองจะไม่ได้เรา? หลังจากที่ทั้ง 15 นาทีแรกของบทเรียนนักเรียนพบสี่เหลี่ยมมีพื้นที่ 16 ตารางเซนติเมตรและครูเน้นการแก้ปัญหาที่สำคัญกลยุทธ์ของการทำงานอย่างเป็นระบบ ต่อมาในการสั่งซื้อเพื่อความคมชัดทั้งสองแนวคิดของพื้นที่และปริมณฑลนักเรียนพบหลายรูปร่างของพื้นที่ 12 ตารางเซนติเมตร (ไม่ใช่เพียงแค่รูปสี่เหลี่ยม) และความมุ่งมั่นของพวกเขาปริมณฑล แม้กระทั่ง 15 นาทีแรกของบทเรียนนี้แสดงให้เห็นว่าการคิดทางคณิตศาสตร์มากในนามของครูมีความจำเป็นที่จะให้บทเรียนที่อุดมไปด้วยความคิดทางคณิตศาสตร์สำหรับนักเรียน เรามาดูกันว่าเธอดึงแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของเธอเข้าใจอย่างลึกซึ้งและความรู้ของเธอในการเชื่อมต่อระหว่างแนวความคิดและการเชื่อมโยงระหว่างแนวความคิดและวิธีการ นอกจากนี้เธอยังเหลืออยู่บนหลักการทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญทั่วไปเช่น•การทำงานอย่างเป็นระบบ•เชี่ยวชาญ - generalising: การเรียนรู้จากตัวอย่างโดยการมองหาทั่วไปโดยเฉพาะอย่างยิ่ง•เชื่อ: ความจำเป็นในการให้เหตุผลคำอธิบายและการเชื่อมต่อ•บทบาทของคำนิยามในวิชาคณิตศาสตร์ ทำงานเจี๊ยบจะวิเคราะห์การเรียนการสอนในแง่ของความรู้ที่ถูกครอบงำโดยครู เธอติดตามวิธีครูเปิดเผยประเภทต่างๆของความรู้เนื้อหาการเรียนการสอน (ชูล, 1986) ในหลักสูตรการเรียนการสอนบทเรียน ในการวิเคราะห์ข้างต้นฉันดูบทเรียนจากมุมมองของกระบวนการของการคิดทางคณิตศาสตร์ภายในบทเรียนมากกว่าการติดตามความรู้ที่ใช้ การวาดการเปรียบเทียบในการวิจัยการแก้ปัญหาของนักเรียนที่จะเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่นักวิจัยสามารถทราบเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ที่ใช้หรือนักวิจัยสามารถสังเกตกระบวนการของการแก้ปัญหา ในทำนองเดียวกันการเรียนการสอนสามารถวิเคราะห์ได้จาก "ความรู้ 'มุมมองหรือวิเคราะห์จากจุดกระบวนการของมุมมอง สำหรับผู้ที่ชื่นชอบเราคิดทางคณิตศาสตร์ที่ผมเชื่อว่ามันเป็นสิ่งที่มีประสิทธิผลเพื่อดูการเรียนการสอนคณิตศาสตร์เป็นตัวอย่างของการแก้ปัญหาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์อื่น นี้ให้ความสำคัญไม่ได้อยู่ในความรู้แบบคงที่ที่ใช้ในการ asabove บทเรียน แต่ในบัญชีกระบวนการของการเรียนการสอน เพื่อที่จะใช้คณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในพื้นที่ของโปรแกรมใด ๆ ไม่ว่าจะเป็นเรื่องเกี่ยวกับเงินหรือฟิสิกส์หรือกีฬาหรือวิศวกรรมคณิตศาสตร์จะต้องใช้ในการรวมกันด้วยความเข้าใจจากพื้นที่ของ
46
แอพลิเคชัน ในกรณีที่มีการเรียนการสอนคณิตศาสตร์แก้ได้จะนำมารวมกันความเชี่ยวชาญทั้งในวิชาคณิตศาสตร์และในการเรียนการสอนทั่วไปและรวมทั้งสองโดเมนของความรู้ร่วมกันเพื่อแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นไม่ว่าจะเป็นในการวิเคราะห์เรื่องการสร้างแผนสำหรับการที่ดี บทเรียนหรือบนพื้นฐานนาทีโดยนาทีที่จะตอบสนองให้กับนักเรียนในวิธีการผลิตทางคณิตศาสตร์ ถ้าครูมีการกระตุ้นให้เกิดความคิดทางคณิตศาสตร์ของนักเรียนแล้วพวกเขาก็ต้องมีส่วนร่วมในการคิดทางคณิตศาสตร์ตลอดบทเรียนตัวเอง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

คิดเชิงคณิตศาสตร์เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการสอนคณิตศาสตร์ . คิดเชิงคณิตศาสตร์ไม่ได้เป็นเพียงที่สำคัญ ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์และการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ในส่วนนี้ผมจะวาดตอนเรียนที่ออสเตรเลียเพื่อหารือเกี่ยวกับวิธีคิดทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับการสอนคณิตศาสตร์ . ตอนนี่เอามาจากข้อมูลที่รวบรวมโดย ดร. เฮเลน ลูกเจี๊ยบของมหาวิทยาลัยเมลเบิร์นสำหรับโครงการวิจัยของอาจารย์สอนเนื้อหาความรู้ สำหรับตัวอย่างอื่น ๆ , เห็นลูกไก่ , 2003 ; เจี๊ยบ& Baker , 2005 , เจี๊ยบ , Baker , ฟาม&เฉิง 2006a ; เจี๊ยบ , ฟาม&เบเกอร์ 2006b ) เปิดโอกาสให้นักเรียน

43 เพื่อเรียนรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ต้องใช้คณิตศาสตร์มาก ในส่วนของครูประกาศครั้งแรกสำหรับการประชุมครั้งนี้ระบุว่า ครูต้องคิดทางคณิตศาสตร์เพื่อวิเคราะห์เรื่อง ( หน้า 4 ) บทเรียนแผนสำหรับเป้าหมายที่ระบุไว้ ( หน้า 4 ) และคาดการณ์การตอบสนองของผู้เรียน ( หน้า 5 ) . เหล่านี้มีแน่นอนสถานที่สำคัญที่ความคิดทางคณิตศาสตร์จะต้อง อย่างไรก็ตาม ในส่วนนี้ผมมีสมาธิในการคิดทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นในนาทีโดยนาทีพื้นฐานในกระบวนการของการสอนคณิตศาสตร์ที่ดี คณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่ในการวางแผนการสอนและหลักสูตรการศึกษา มันทำให้ความแตกต่าง ทุกๆนาทีของบทเรียน ครูในชั้นเรียนนี้แยกเป็นในห้าปีของการสอนเธอยืนออกในข้อมูลของเจี๊ยบเป็นครูคนหนึ่งในตัวอย่างที่แสดงเนื้อหาความรู้สอนที่ลึกที่สุด ( Shulman , 1986 , 1987 ) ม่านตาเธออายุประมาณ 11 ปี และอยู่ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 บทนี้เริ่มต้นโดยการทบทวนความคิดของทั้งสองพื้นที่ และ ปริมณฑล เราจะตรวจสอบก่อน 15 นาทีครูเลือกงานเปิดและกลับสนับสนุนการสืบสวนและการคิดทางคณิตศาสตร์ นักเรียนได้ 1 ซม. กระดาษตารางและถูกถามในการวาดสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่ 20 ตร. ซม. งานนี้จะเปิดในความรู้สึกว่ามีหลายคำตอบที่ถูกต้อง และเป็น ' ย้อนกลับ ' เมื่อมีการเปรียบเทียบกับงานทั่วไปมากขึ้นได้รับสี่เหลี่ยมผืนผ้าและหาพื้นที่ของครูเตือนนักเรียนว่า พื้นที่ที่สามารถวัดได้จากจำนวนตารางสี่เหลี่ยมในรูปร่าง ในแง่ของกระบวนการคิดทางคณิตศาสตร์ครูในขั้นตอนนี้คือเพื่อให้มั่นใจว่านักเรียนแต่ละคนเป็นผู้เชี่ยวชาญ . พวกเขาต่างทำงานเป็นกรณีพิเศษ และจะทราบดี และนี้จะช่วยให้ผู้ประกาศข่าวในอนาคตและการรวม .ฉันจะไม่อ้างว่าอาจารย์ตัวเองวิเคราะห์ย้ายในวิธีนี้ เป็นครูหมุนเวียนไปรอบ ๆห้อง ช่วยเหลือ และติดตามนักเรียน เธอมาเพื่อนักเรียนที่ถาม ถ้าเขาสามารถวาดสี่เหลี่ยมแทนที่จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในบทสนทนาซึ่งต่อไปนี้การตอบสนองครูเน้นความหมายของสี่เหลี่ยมเธอสนับสนุนให้นักเรียนทำงานจากความหมายจะเห็นว่าตารางจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า : ฉันสามารถทำสี่เหลี่ยม ? T : เป็นตารางสี่เหลี่ยม ? Q : อะไรคือสี่เหลี่ยม ? T : คุณได้รับสิ่งที่เป็นสี่เหลี่ยม ? นิยามของสี่เหลี่ยม ? S : t : สองเส้นขนานสองชุดของเส้นคู่ขนาน และ . . . . . . . . . . . . . . S : สี่มุมขวา T : แล้ว [ ตาราง ] สี่เหลี่ยม ? : ใช่
0
t :[ Pause เป็นครูได้รู้ว่านักเรียนเข้าใจตารางสี่เหลี่ยม แต่มันเป็นข้อผิดพลาดในการวัด ] แต่มีพื้นที่ 20 S : [ คิด ] ไม่ T : [ และ ] การตอบสนองอื่น ๆพยักหน้าขยิบตานักเรียนนี้จะต้องปิดตัวลง โอกาสที่จะสอนเขาเรื่องคำนิยามที่ใช้ในคณิตศาสตร์ สำหรับคำถาม " ฉันสามารถทำสี่เหลี่ยม ? " เธออาจจะตอบแค่ว่า " ไม่ฉันขอให้คุณวาดสี่เหลี่ยม " หรือเธออาจได้ทันทีเน้นข้อผิดพลาดที่ทำให้นักเรียนที่จะถามคำถาม แต่เธอเห็นโอกาสที่จะพัฒนาการใช้งานของคำจำกัดความ เมื่อครูรู้ว่านักเรียนได้ถามเกี่ยวกับตาราง เพราะเขาได้สร้างวัดผิดพลาด เธอตัดสินว่ามันคือภายในความสามารถของนักเรียนให้ถูกต้องและเธอก็พบว่า เขาควรตรวจสอบการทำงานของเขา ในส่วนถัดไป นักเรียนพบของเขา 4 x 5 สี่เหลี่ยมบนเครื่องฉายแผ่นใส และ อาจารย์สืบ ๆ ยืนยันพื้นที่ 20 ตร. ซม. และพบว่าคูณความยาวความกว้างสามารถใช้แทนการนับสี่เหลี่ยม ซึ่งนักเรียนหลายคนทำ ในส่วนนี้ครูแสดงให้เห็นว่าเหตุผลเป็นองค์ประกอบสำคัญของการทำคณิตศาสตร์ เธอเน้นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างการหาจำนวนของสี่เหลี่ยมครอบคลุมสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยการบวกซ้ำ ( ที่ 4 แถวแรก 4 ที่ต่อไป . . . . . . . ) และโดยการคูณ ในชั้นเรียนของเธอ สูตรที่ไม่เพียง แต่กฎให้จดจำ แต่ก็เพื่อให้เข้าใจ