II.3 Self-intersections 39Arcs and

II.3 Self-intersections 39
Arcs and closed curves. Starting from a single crossing, we can trace the
self-intersection in one or both directions, adding a line segment at a time.
Since we have only finitely many triangles and thus finitely many line segments,
each curve must either close up or end. In the first case we get a closed curve
of almost all double points. Its preimage in K is either a pair of loops or a
single loop that covers the closed curve twice. Such a double covering loop is
necessarily orientation reversing hence M must have been non-orientable. To
construct an example, sweep a line segment along a circle in R3. The line
segment remains normal to the circle but its angle with the symmetry axis of
the circle can change. If we take the angle from 0 to π during a full revolution
then we get the Mo ̈bius strip. If we take it from 0 to π we need a second full 2
revolution before the surface is complete. We thus get a Mo ̈bius strip whose mapping to R3 crosses itself along the center circle, which is covered twice.
We conclude this section with two immersions of the Klein bottle in R3. In
the first and perhaps most commonly known model, the neck of the bottle
extends and bends backward, like a Flamingo, but then continues and passes
through the surface. The closed intersection curve is the common image of
two orientation preserving loops. To construct the second model, we sweep a
pair of line segments along a circle in R3. The two line segments cross each
other orthogonally at their respective midpoints and they are both orthogonal
to the circle. During a full revolution we take the angle one line segment forms
with the symmetry axis from 0 to π. Correspondingly, the angle formed by the
other line segment goes from − π to π . The two line segments thus sweep out 22
two Mo ̈bius strips crossing each other along their center circles. We can now complete the Klein bottle by connecting the two boundary curves by a circular arc, which we again sweep twice around the axis. In other words, we get the Klein bottle by sweeping a figure-8 curve along the circle, rotating it half-way so that after a full revolution the two lobes are exchanged. We now have an immersion in which intersection is a closed curve whose preimage consists of two orientation-reversing loops.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

II.3 ตนเองแยก 39อาร์คและโค้งปิด เริ่มจากข้ามเดียว เราสามารถติดตามการแยกตัวเองในหนึ่ง หรือทั้งสองทิศทาง การเพิ่มส่วนที่เป็นเส้นละตั้งแต่เรามีเพียง finitely หลายเหลี่ยม และจึง finitely หลายบรรทัดเซ็กเมนต์แต่ละเส้นโค้งต้องปิด หรือสิ้นสุด ในกรณีแรก เราได้เส้นโค้งปิดจุดคู่เกือบทั้งหมด Preimage ของใน K จะเป็นคู่ของลูปหรือวงเดียวที่ครอบคลุมเส้นโค้งปิดสองครั้ง คือครอบคลุมสองห่วงจำเป็นต้องวางแนวย้อนกลับดังนั้น M มี-orientable ถึงสร้างตัวอย่าง กวาดส่วนที่เป็นเส้นตามแนววงกลมใน R3 บรรทัดส่วนยังคงปกติวงแต่มุมของมันกับแกนสมมาตรวงกลมสามารถเปลี่ยน ถ้าเราใช้มุมตั้งแต่ 0 ถึงπในระหว่างการปฏิวัติเต็มแล้ว เราได้รับแถบ ̈bius Mo ถ้าเราใช้เวลาจาก 0 ถึงπ เราต้อง 2 เต็มสองการปฏิวัติก่อนพื้นผิวเสร็จ แถบ ̈bius Mo ที่มีแมปไป R3 ข้ามตัวเองไปตามศูนย์กลางวงกลม ที่สองจึงได้เราสรุปส่วนนี้กับ immersions สองขวดไคลน์ใน R3 ในแรกและส่วนใหญ่อาจจะรู้จักกันคอขวด แบบทั่วไปขยายโค้งเช่นฟลามิงโก ย้อนหลัง แต่แล้วยังคง และผ่านผ่านพื้นผิว เส้นโค้งปิดแยกเป็นภาพทั่วไปสองแนวอนุรักษ์ลูป สร้างรุ่นที่สอง เรากวาดคู่ของส่วนของเส้นตรงตามแนววงกลมใน R3 ส่วนบรรทัดที่สองข้ามแต่ละอื่น ๆ มุมฉากที่กรรมสิทธิ์ midpoints และพวกเขามีทั้งแบบวงกลม ในระหว่างการปฏิวัติเต็ม เราใช้มุมแบบหนึ่งบรรทัดเซ็กเมนต์กับแกนสมมาตรจาก 0 ถึงπ ตามลำดับ มุมเกิดขึ้นจากการส่วนสายอื่น ๆ ไปจาก−ππ ส่วนบรรทัดที่สองดังนั้นกวาดออก 22̈bius Mo สองแถบข้ามกันไปตามวงกลมกลาง เราสามารถตอนนี้เสร็จสมบูรณ์ Klein ขวด โดยการเชื่อมต่อเส้นโค้งสองเส้นขอบเขตโดยส่วนโค้งวงกลม ที่เรากวาดอีกสองรอบแกน ในคำอื่น ๆ เราได้รับขวดไคลน์ โดยกวาดรูป 8 โค้งตามวงกลม หมุนครึ่งดังนั้นหลังจากการปฏิวัติเต็ม กลีบสองมีการแลกเปลี่ยน ตอนนี้เรามีการแช่ที่แยกเป็นโค้ง preimage ซึ่งประกอบด้วยสองแนวกลับลูป

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

II.3 ตนเองแยก 39
Arcs และเส้นโค้งปิด เริ่มต้นจากการผสมข้ามพันธุ์เดียวที่เราสามารถติดตาม
แยกตัวเองในหนึ่งหรือทั้งสองทิศทางการเพิ่มส่วนของเส้นในเวลา.
เนื่องจากเรามีรูปสามเหลี่ยมเพียงขีดจำนวนมากและส่วนของเส้นตรงดังนั้นหลายขีด
แต่ละเส้นโค้งจะต้องปิดหรือจุดสิ้นสุด ในกรณีแรกที่เราได้รับโค้งปิด
เกือบทุกจุดคู่ preimage ใน K นั้นทั้งคู่ของลูปหรือ
วงเดียวที่ครอบคลุมโค้งปิดสองครั้ง ดังกล่าวครอบคลุมห่วงคู่
จำเป็นต้องวางแนวทางการย้อนกลับจึง M จะต้องได้รับไม่ใช่ orientable เพื่อ
สร้างตัวอย่างที่กวาดส่วนของเส้นตรงตามแนววงกลมใน R3 บรรทัด
ส่วนยังคงปกติวงกลม แต่มุมกับแกนสมมาตรของ
วงกลมสามารถเปลี่ยน ถ้าเราใช้มุมจาก 0 ถึงπในช่วงการปฏิวัติเต็มรูปแบบ
แล้วเราได้รับแถบ Bius โม ถ้าเราเอามันจาก 0 ถึงπเราต้องเต็มสอง 2
การปฏิวัติก่อนที่ผิวจะเสร็จสมบูรณ์ เราจึงได้รับแถบ Bius Mo ทำแผนที่ซึ่งจะ R3 ข้ามตัวเองพร้อมวงกลมตรงกลางซึ่งถูกปกคลุมไปสองครั้ง.
เราสรุปได้ส่วนนี้มีสอง immersions ของขวด Klein ใน R3 ใน
ครั้งแรกและรูปแบบอาจจะรู้จักกันมากที่สุดคอขวด
ขยายและโค้งไปข้างหลังเหมือนนกกระเรียน แต่แล้วอย่างต่อเนื่องและผ่านไป
ผ่านพื้นผิว โค้งสี่แยกปิดเป็นภาพร่วมกันของ
ทั้งสองวางแนวทางการรักษาลูป เพื่อสร้างรูปแบบที่สองเรากวาด
คู่ของส่วนของเส้นตรงตามแนววงกลมใน R3 ทั้งสองส่วนของเส้นตรงข้ามกัน
อื่น ๆ orthogonally ที่จุดกึ่งกลางของตนและพวกเขาทั้งสองฉาก
วงกลม ในช่วงการปฏิวัติเต็มรูปแบบที่เราใช้มุมหนึ่งรูปแบบส่วนของเส้น
ที่มีแกนสมมาตรจาก 0 ถึงπ ตามลําดับมุมที่เกิดขึ้นจาก
ส่วนสายอื่น ๆ ไปจาก - πจะเธ ทั้งสองกลุ่มสายจึงกวาดออก 22
ทั้งสองโมแถบ Bius ข้ามแต่ละอื่น ๆ ตามแนววงกลมศูนย์ของพวกเขา ตอนนี้เราสามารถดำเนินการในขวด Klein โดยการเชื่อมต่อทั้งสองโค้งเขตแดนโดยวงกลมซึ่งเราอีกครั้งสองครั้งกวาดรอบแกน ในคำอื่น ๆ ที่เราได้รับขวด Klein กวาดร่าง-8 พร้อมโค้งวงกลมหมุนครึ่งทางเพื่อที่ว่าหลังจากการปฏิวัติเต็มสองแฉกจะมีการแลกเปลี่ยน ขณะนี้เรามีการแช่ในสี่แยกซึ่งเป็นโค้งปิดมี preimage ประกอบด้วยสองลูปการวางแนวการกลับ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 ตนเองแยก 39 2เส้นโค้งและเส้นโค้งที่ปิด เริ่มจากข้ามเดียวเราสามารถแกะรอยแยกตนเองในหนึ่งหรือทั้งสองทิศทาง เพิ่มเส้นส่วนที่เวลาเนื่องจากเรามีจำกัดมากจึงจำกัดส่วนของเส้นตรงรูปสามเหลี่ยมและหลายแต่ละโค้งต้องปิดหรือสิ้นสุด ในกรณีแรกที่เราได้รับโค้งปิดจุดคู่เกือบทั้งหมด บุพภาพใน K คือคู่ของลูป หรือวงเดียวที่ครอบโค้งปิดสองครั้ง เป็นคู่ที่ครอบคลุมวงคือต้องปฐมนิเทศย้อนกลับดังนั้น M คงไม่ใช่ความเชื่อ . เพื่อสร้าง เช่น กวาดเป็นเส้นตรงตามแนววงกลมในอาร์ที บรรทัดส่วนยังคงปกติวงกลม แต่มุมกับแกนสมมาตรวงกลมสามารถเปลี่ยนได้ ถ้าเราใช้มุมจาก 0 ถึงπในระหว่างการปฏิวัติเต็มรูปแบบงั้นเราเอาโม̈ bius แถบ ถ้าเราเอาจาก 0 ถึงπเราต้องการสองเต็ม 2การปฏิวัติก่อนที่ผิวที่สมบูรณ์ เราจึง รับโม̈ bius แถบที่มีแผนที่ให้ R3 ข้ามเองตามศูนย์วงกลม ซึ่งครอบคลุมถึงสองครั้งเราสรุปในส่วนนี้กับสองจุ่มของไคลน์ขวดในอาร์ที ในแรกและอาจจะรู้จักกันมากที่สุดแบบ คอของขวดขยายและโค้งไปข้างหลัง เหมือนนกกระเรียน แต่ยังผ่านผ่านพื้นผิว เส้นโค้งและภาพปิดเป็นสามัญสองทิศทางการลูป เพื่อสร้างแบบจำลองที่สองที่เรากวาดส่วนสายคู่ตามวงกลมในอาร์ที ส่วนสายไขว้กันสองอื่น ๆที่เกี่ยวข้องของพวกเขาโดย midpoints และพวกเขาทั้งสองชั้นกับวงกลม ในระหว่างการปฏิวัติเต็มรูปแบบ เราใช้มุมหนึ่งรูปแบบเส้นตรงที่มีแกนสมมาตรจาก 0 ถึงπ . ดับ , มุมที่เกิดขึ้นโดยส่วนบรรทัดอื่น ๆไปจาก−πเพื่อπ . สองส่วนสายจึงกวาดออกไป 22สองโม̈ bius แถบข้ามแต่ละอื่น ๆตามวงกลมที่ศูนย์ของพวกเขา ตอนนี้เราสามารถกรอกขวดไคลน์โดยการเชื่อมต่อสองขอบโค้งด้วยส่วนโค้งวงกลม ซึ่งเราอีกแล้วกวาดสองรอบแกน ในคำอื่น ๆเราได้รับขวดไคลน์ โดยกวาด figure-8 โค้งตามวงกลม หมุนครึ่งทางเพื่อที่หลังจากเต็มการปฏิวัติสองกลีบมีแลกเปลี่ยน ตอนนี้เราต้องแช่ในที่ปิดแยกเป็นโค้งที่มีบุพภาพประกอบด้วยสองทิศทางการย้อนกลับของลูป