II. THE ANGULAR MOMENTUM EIGENVALUE

II. THE ANGULAR MOMENTUM EIGENVALUE
PROBLEM
In this section we review well-known facts about angular
momentum operators in quantum mechanics1–4 in order to
introduce the notation used in the following. We denote the
Cartesian components of the angular momentum operators
by jˆ i , where i5x,y,z. The commutation relations read as
@jˆ x ,jˆ y#5ijˆ z , ~1!
and cyclic permutations of this equation. The operator jˆ2
[jˆ
x
21jˆ
y 2
1jˆ
z
2 commutes with all the jˆ i . Therefore one can
find common eigenstates of jˆ2 and one component, usually
taken as jˆ z . We denote the eigenstates as u j,mz&, where we
suppress possible additional quantum numbers. Then one
has1–4
jˆ
2u j,mz&52
j~ j11!u
j,mz&, ~
2!
jˆ
zu j,mz&5mzu j,mz&, ~3!
with j integer or half-integer and mz takes the 2 j11 values
2j,2j11,...,j. A useful tool in the algebra of angular momentum
is the ladder operators jˆ 65jˆ x6i jˆ y . Using Eqs. ~1!,
one obtains the commutation relations @jˆ z ,jˆ 6#
56jˆ
6 . This implies jˆ
6u j,m&5cm
6u j,m61&, where up to
an arbitrary phase factor the cm
6 are given by
cm
65Aj~ j11!2m~m61!. ~4!

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

II. EIGENVALUE โมเมนตัมเชิงมุมปัญหาในส่วนนี้ เราตรวจสอบข้อเท็จจริงที่รู้จักกันเกี่ยวกับมุมผู้ประกอบการโมเมนตัมในควอนตัม mechanics1 – 4 เพื่อให้แนะนำสัญกรณ์ที่ใช้ในต่อไปนี้ เราแสดงคาร์ทีเซียนคอมโพเนนต์ของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมโดย jˆ ที่ i5x, y, z ความสัมพันธ์บอกอ่านเป็น@jˆ x, jˆ y #5ijˆ z, ~ 1และวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสมการนี้ Jˆ2 ผู้ให้บริการ[jˆx21jˆy 21jˆz2 commutes กับ jˆ ทั้งหมดฉัน ได้ดังนั้นค้นหาพบ eigenstates jˆ2 และคอมโพเนนต์หนึ่ง มักจะนำมาเป็น jˆ z เราแสดง eigenstates เป็น j u สนุก & ที่เราระงับหมายเลขควอนตัมเพิ่มเติมเป็นไปได้ หนึ่งในนั้นhas1-4jˆ2u j สนุก และ 52j ~ j11 ! uj ผมน้ำตาลเข้ม ~2jˆzu 5mzu j & j สนุก สนุก &, ~ 3ด้วย j จำนวนเต็ม หรือครึ่งจำนวนเต็ม และสนุกการใช้ 2 j11 ค่า2j, 2j11,..., j เครื่องมือที่มีประโยชน์ในพีชคณิตของโมเมนตัมเชิงมุมเป็นบันไดผู้ประกอบการ jˆ 65jˆ x6i jˆ y ใช้ Eqs ~ 1 !,คนหนึ่งได้บอกความสัมพันธ์ z @jˆ, jˆ 6 #56jˆ6 นี่หมายถึง jˆ6u j, m และ 5cm6u j, m61 & ที่สูงสุดปัจจัยกำหนดระยะ cm6 กำหนดโดยซม.65Aj ~ j11 ! 2 เมตร ~ m61 ~ 4

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ครั้งที่สอง เชิงมุมโมเมนตัม eigenvalue
ปัญหา
ในส่วนนี้เราจะตรวจสอบข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับมุม
ผู้ประกอบการโมเมนตัมใน mechanics1-4 ควอนตัมเพื่อ
แนะนำสัญกรณ์ที่ใช้ในการดังต่อไปนี้ เราหมายถึง
ส่วนประกอบคาร์ทีเซียนของผู้ประกอบการโมเมนตัมเชิงมุม
โดย J ฉันที่ i5x, Y, Z ความสัมพันธ์เปลี่ยนอ่าน
@ J x, Y J # 5I J Z, ~ 1!
และพีชคณิตวงจรของสมการนี้ ผู้ประกอบการ J2
[J
x
21j
2 y
1J
Z
2 การเดินทางกับทุกฉันเจ ดังนั้นหนึ่งสามารถ
หา eigenstates ทั่วไปของ J2 และองค์ประกอบหนึ่งที่มักจะ
นำมาเป็น J Z เราแสดง eigenstates เป็น UJ, MZ และที่เรา
ปราบปรามจำนวนตัวเลขที่เป็นไปได้เพิ่มเติม จากนั้นหนึ่ง
has1-4
J
2u J, MZ & 5 2
J ~ J11! u
J, MZ & ~
2!
J
zu J, MZ & 5 mzu J, MZ & ~ 3!
กับจำนวนเต็ม J หรือครึ่งหนึ่งของจำนวนเต็มและ MZ เตะ 2 J11 ค่า
2J, 2j11, ... , J เครื่องมือที่มีประโยชน์ในพีชคณิตของโมเมนตัมเชิงมุม
เป็นผู้ประกอบบันได J 65j x6i J Y ใช้ EQS ~ 1 !,
หนึ่งได้ความสัมพันธ์ที่เปลี่ยน @ Z J, J 6 #
56
J 6 นี่ก็หมายความ J
6U J, M & 5 ซม.
6U J, M61 และที่ขึ้นอยู่กับ
ปัจจัยเฟสพลซม.
6 จะได้รับจาก
ซม.
65Aj ~ J11! 2m ~ M61 !. ~ 4!

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . ส่วนค่าโมเมนตัมเชิงมุมปัญหาในส่วนนี้เราตรวจสอบข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับเชิงมุมโมเมนตัมผู้ประกอบการในควอนตัม mechanics1 – 4 เพื่อแนะนำเอกสารที่ใช้ในการดังต่อไปนี้ เราแสดงถึงส่วนประกอบของโมเมนตัมเชิงมุมของผู้ประกอบการโดย เจˆผมที่ i5x , y , Z . ลดโทษประชาสัมพันธ์ อ่านเป็น@ J ˆ x , J ˆ Y # 5ij ˆ Z , ~ 1และวงจรพีชคณิตสมการนี้ ผู้ประกอบการˆ 2 เจ[ J ˆx21j ˆ2 Y1j ˆซี2 แลกเปลี่ยนกับ J ˆฉัน . ดังนั้นหนึ่งสามารถหา eigenstates ทั่วไปของเจˆ 2 และองค์ประกอบหนึ่ง มักจะถ่ายเป็น J ˆ Z . เราแสดง eigenstates u J , MZ , ที่เรากดตัวเลขควอนตัมเป็นไปได้เพิ่มเติม แล้วหนึ่งhas1 – 4ˆ เจ2U J MZ & 52J ~ J11 ! UJ MZ & ~2ˆ เจไปยัง J & J 5mzu MZ MZ & ~ 3กับ J หรือจำนวนเต็มจำนวนเต็มครึ่งและ MZ ใช้เวลา 2 J11 ค่า2j 2j11 , . . . . . . เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในพีชคณิตของโมเมนตัมเชิงมุมเป็นผู้ประกอบการˆ 65j ˆ x6i บันได เจเจˆ y ใช้ EQS . ~ 1 ,หนึ่งได้รับการแลกเปลี่ยนความสัมพันธ์ @ J ˆ Z , J ˆ 6 #56j ˆ6 . นี้หมายถึงˆ เจ6U J , M & 5 ซม.6U J , m61 & ที่ขึ้นการแก้ปัญหาระยะตัวคูณซม.6 จะได้รับโดยเซนติเมตร65aj ~ J11 ! 2 ~ m61 ! . ~ 4