This  is  a  beautiful  example  of

This  is  a  beautiful  example  of  an  affine  theorem.  It  is  not  clear  who  actually  first 
proved this theorem, but it was studied in papers by Marion Walter’s and her name 
is as a consequence attached to the theorem.
The  theorem  is  true  for  any  triangle,  if  are  divided  into  thirds  and  segments  are 
drawn as in the figure.  The theorem states the ratio of the area of the central shaded 
hexagon to the area of ABC.  (We are not stating this ratio yet to make the problem 
more fun to solve.)
A
B
C
A general approach to the solution would be to find (as a ratio times the area S of 
ABC) the areas of various pieces in the figure.  Given the limited time for this 
workshop, we are going to suggest some pieces on the next page.   Some of these you 
have already computed earlier.
Since this is an affine theorem, we can prove it for any triangle.  The figures on the 
net page are actually the case of an equilateral triangle, but the reasoning works for 
any triangle.
In each case, assuming the area of ABC is S, what number times S is equal to the area 
for each of the 5 cases on the next page (some are really the same). 
Once you have the areas, add up the last three areas.  This covers the complement of 
the hexagon, but does it more than once for some of the polygons.  So subtract the 
areas of the first two figures and think why the result is exactly the area of the 
complement of hexagon.  Hence the area of the hexagon can be computed.
Final Example: Ceva’s Theorem.  Probably no time for this, so you can look it up if 
we do not discuss this theorem

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

นี้เป็นตัวอย่างที่สวยงามของการทฤษฎีบท affine ไม่ชัดเจนคนแรกจริง พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่มันได้ศึกษาเอกสาร โดยมารี Walter และชื่อของเธอ มีผลกับทฤษฎีบททฤษฎีบทเป็นจริงในสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้าจะแบ่งออกเป็นสาม และเซ็กเมนต์ วาดในรูป ทฤษฎีบทระบุอัตราส่วนของพื้นที่ของกลางสีเทา หกเหลี่ยมพื้นที่ของ ABC (เราจะไม่ระบุอัตราส่วนนี้ยังทำให้ปัญหา สนุกมากแก้)AบีCวิธีการแบบทั่วไปเพื่อการแก้ปัญหาคือจะหา (เป็นอัตราส่วนเวลาตั้ง S ของ ABC) พื้นที่ของชิ้นส่วนต่าง ๆ ในภาพ กำหนดเวลาที่จำกัดนี้ ประชุมเชิงปฏิบัติการ เรากำลังจะแนะนำชิ้นส่วนบางอย่างในหน้าถัดไป บางส่วนของเหล่านี้ ได้แล้วจากคำนวณก่อนหน้านี้เนื่องจากเป็นทฤษฎีบทการ affine เราสามารถพิสูจน์ได้ในสามเหลี่ยมใด ๆ ตัวเลขในการ หน้าสุทธิมีจริงไม่ใช่เป็นรูปสามเหลี่ยม แต่เหตุผลที่ทำงาน สามเหลี่ยมใด ๆในแต่ละกรณี สมมติว่าพื้นที่ของ ABC เป็น S เวลาใดเลข S จะเท่ากับพื้นที่ สำหรับแต่ละกรณี 5 หน้าถัดไป (มีจริง ๆ เหมือนกัน) เมื่อคุณมีพื้นที่ เพิ่มค่าพื้นที่สาม นี้ครอบคลุมถึงส่วนประกอบของ หกเหลี่ยม แต่ไม่ได้มากกว่าหนึ่งครั้งสำหรับรูปหลายเหลี่ยม ลบดังนั้น การ ด้าน 2 และคิดว่าเหตุผลที่ได้คือ ตรงบริเวณของการ ส่วนเติมเต็มของหกเหลี่ยม ดังนั้น พื้นที่ของหกเหลี่ยมสามารถจะคำนวณFinal Example: Ceva’s Theorem. Probably no time for this, so you can look it up if we do not discuss this theorem

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

นี้เป็นตัวอย่างที่สวยงามของทฤษฎีบทเลียนแบบ ยังไม่ชัดเจนที่จริงครั้งแรกที่ 
ได้รับการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ แต่มันก็ศึกษาในเอกสารโดยแมเรียนวอลเตอร์และชื่อของเธอ 
คือเป็นผลที่แนบมากับทฤษฎีบท.
ทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ หากจะแบ่งออกเป็นสามและกลุ่มที่มีการ 
วาดเป็น ในรูป ทฤษฎีบทระบุอัตราส่วนของพื้นที่ของสีเทากลาง 
หกเหลี่ยมไปยังพื้นที่ของเอบีซี (เราไม่ได้ระบุอัตราส่วนนี้ยังไม่ทำให้ปัญหา 
ความสนุกสนานมากขึ้นในการแก้ปัญหา.) B C วิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาที่จะหา (เป็นครั้งอัตราส่วนพื้นที่ S ของ  เอบีซี) พื้นที่ของชิ้นส่วนต่างๆในรูป . ที่กำหนดระยะเวลาที่ จำกัด ในการนี้  การประชุมเชิงปฏิบัติการที่เราจะแนะนำบางชิ้นในหน้าถัดไป บางส่วนของเหล่านี้คุณ  ได้คำนวณไว้แล้วก่อนหน้านี้. ตั้งแต่นี้เป็นทฤษฎีบทเลียนแบบเราสามารถพิสูจน์ได้สำหรับรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ตัวเลขบน  หน้าสุทธิเป็นจริงกรณีของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่เหตุผลที่เหมาะกับ  รูปสามเหลี่ยมใด ๆ . ในแต่ละกรณีสมมติว่าพื้นที่ของเอบีซีคือ S, สิ่งที่ครั้ง S เป็นจำนวนเท่ากับพื้นที่  สำหรับแต่ละ 5 ราย ในหน้าถัดไป (บางคนจริงๆเดียวกัน).  เมื่อคุณมีพื้นที่เพิ่มขึ้นในช่วงสามพื้นที่ นี้ครอบคลุมสมบูรณ์ของ  รูปหกเหลี่ยม แต่ไม่ได้มากกว่าหนึ่งครั้งสำหรับบางส่วนของรูปหลายเหลี่ยม ดังนั้นลบ  พื้นที่ของสองคนแรกตัวเลขและคิดว่าทำไมผลที่ได้คือว่าพื้นที่ของ  ส่วนประกอบของรูปหกเหลี่ยม . ดังนั้นพื้นที่หกเหลี่ยมสามารถคำนวณตัวอย่างสุดท้าย: ทฤษฎีบทของเซวา น่าจะเป็นเวลาสำหรับการนี้เพื่อให้คุณสามารถมองมันได้ถ้า  เราไม่ได้หารือเกี่ยวกับทฤษฎีบทนี้