{0}xZ2 is the kernel of pi because

{0}xZ2 is the kernel of pi because pi(0xz2)=0 for any z2 in Z2. It can be shown that pi: Z4xZ2→Z4 is a homomorphism, therefore the canonical map Pi: Z4xZ2/{0}xZ2→Z4 is isomorphism, so Z4xZ2/{0}xZ2 and Z4 are isomorphic. I don't see why you need the theorem about finite abelian group, maybe this is just an example of that theorem.

Reference https://www.physicsforums.com/threads/classify-the-group-z4xz2-0xz2-using-fund-thm-of-finetely-gen-abl-grps.589328/

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

xZ2 { 0 } เป็นเคอร์เนลของพี่เนื่องจากพี่ (0xz2) = 0 สำหรับใด ๆ z2 ใน Z2 มันสามารถแสดงว่าปี่: Z4xZ2→Z4 เป็น homomorphism ดังนั้นจึงเป็นที่ยอมรับแผนที่ Pi: Z4xZ2 / isomorphism, Z4xZ2 ให้เป็น { 0 } xZ2→Z4 { 0 } xZ2 และ Z4 เป็น isomorphic ฉันไม่เห็นเหตุผลที่คุณต้องการให้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับกลุ่มอาบีเลียนจำกัด อาจจะเป็นเพียงตัวอย่างของทฤษฎีบทที่อ้างอิง https://www.physicsforums.com/threads/classify-the-group-z4xz2-0xz2-using-fund-thm-of-finetely-gen-abl-grps.589328/

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

{0} xZ2 เป็นเคอร์เนลของพี่เพราะพี่ (0xz2) = 0 สำหรับ Z2 ใด ๆ ใน Z2 มันจะแสดงให้เห็นว่า Pi: Z4xZ2 → Z4 เป็น homomorphism จึงพี่แผนที่ที่ยอมรับ: Z4xZ2 / {0} xZ2 → Z4 คือมอร์ฟเพื่อ Z4xZ2 / {0} xZ2 และ Z4 มี isomorphic ผมไม่เห็นว่าทำไมคุณต้องทฤษฎีบทเกี่ยวกับคริสต์กลุ่มแน่นอนบางทีนี่เป็นเพียงตัวอย่างของทฤษฎีบทว่า. อ้างอิง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

{ 0 } xz2 เป็นเคอร์เนลของไพเพราะ ปี่ ( 0xz2 ) = 0 สำหรับกขึ้นในเซสท์แอร์เวย์ . มันสามารถแสดงให้เห็นว่าพี : z4xz2 → keyboard - key - name ยังเป็น homomorphism ดังนั้น Canonical แผนที่ Pi : z4xz2 / { 0 } xz2 → keyboard - key - name Z4 ก้อน ดังนั้น z4xz2 / { 0 } xz2 และยังเป็นพวกเรา . ผมไม่รู้ว่าทำไมคุณต้องใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับจำกัดอาบีเลียนกรุป บางทีนี้เป็นเพียงตัวอย่างของทฤษฎีบทhttps://www.physicsforums.com/threads/classify-the-group-z4xz2-0xz2-using-fund-thm-of-finetely-gen-abl-grps.589328/ อ้างอิง