3. τ*-Generalized Closed Sets in To

3. τ*-Generalized Closed Sets in Topological Spaces
In this section, we introduce the concept of τ*-generalized
closed sets in topological spaces.
Definition 3.1. A subset A of a topological space X is called τ*-generalized closed set (briefly τ*-g-closed) if cl*(A) ⊆ G whenever A ⊆ G and G is τ*-open. The complement -generalized closed set is called the *-generalized open set
(briefly τ*-g-open).
Theorem 3.2. Every closed set in X is τ*-g-closed.
Proof. Let A be a closed set. Let A ⊆ G. Since A is
closed, cl(A) = A ⊆ G. But cl*(A) ⊆ cl(A). Thus, we have cl*(A) ⊆ G whenever A ⊆ G and G is τ*-open. Therefore A is τ*-g-closed.
Theorem 3.3. Every τ*-closed set in X is τ*-g-closed.
Proof. Let A be a τ*-closed set. Let A ⊆ G where G is τ*-open. Since A is -closed, cl*
(A) = A ⊆G. Thus, we have cl*
(A) ⊆ G whenever A ⊆ G and G is τ*-open. Therefore A is -g-closed.
Theorem 3.4. Every g-closed set in X is a τ*-g-set but not conversely.
Proof : Let A be a g-closed set. Assume that A ⊆ G, G is τ*-open in X.
Then cl(A) ⊆ G, since A is g-closed. But cl*(A) ⊆ cl(A). Therefore cl*(A) ⊆ G. Hence A is τ*-g-closed.
The converse of the above theorem need not be true as seen from the following
Example 3.5. Consider the topological space X = {a, b, c} with topology τ = {X, φ, {a}}. Then the set {a} is
τ*-g-closed but not g-closed.
Remark 3.6. The following example shows that
τ*-g-closed sets are independent from sp-closed set, sg-closed
set, α-closed set, preclosed set gs-closed set, gsp-closed set,
αg-closed set and gα-closed set.
Example 3.7. Let X = {a, b, c} and Y = {a, b, c, d} be
the topological spaces.
(i) Consider the topology τ = {X , φ, {a}}. Then the sets {a},
{a, b}and {a, c} are τ*
-g-closed but not sp-closed.
(ii) Consider the topology τ = {X , φ, {a, b}}. Then the sets
{a}and {b}are sp-closed but not τ*-g-closed.
(iii) Consider the topology τ = {X, φ}. Then the sets {a}, {b},
{c},{a, b}, {b, c}and {a, c} are τ*-g-closed but not sg-closed.
(iv) Consider the topology τ = {X , φ, {a}, {b}, {a, b}}. Then
the sets {a}and {b}are sg-closed but not τ*-g-closed.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3. τ * -ชุดปิดในช่องว่างที่ Topological การตั้งค่าทั่วไป ในส่วนนี้ เรานำแนวคิดของτ-ตั้งค่าทั่วไป ชุดปิดในช่องว่างที่ topological ข้อกำหนดที่ 3.1 เรียกว่าเซตย่อย A ของช่องว่าง topological X τ * -ชุดปิดการตั้งค่าทั่วไป (สั้น ๆ τ * -g-ปิด) ถ้า⊆ cl*(A) G ⊆ G และ G เมื่อ τ * -เปิด ส่วนประกอบ-เรียกว่าชุดเมจแบบทั่วไปปิด * -ชุดเปิดการตั้งค่าทั่วไป (สั้น ๆ τ * -g-เปิด) ทฤษฎีบท 3.2 ทุกชุดปิดใน X มีτ * -g-ปิด หลักฐานการ ให้ A สามารถตั้งค่าปิด ให้กรัม⊆ เนื่องจากเป็น ปิด cl(A) =⊆กรัม แต่ cl*(A) ⊆ cl(A) ดังนั้น เรามี cl*(A) ⊆ G เมื่อ⊆ G และ G คือ τ * -เปิด ดังนั้นคือ τ * -g-ปิด ทฤษฎีบท 3.3 Τทุก * -ชุดปิดใน X มีτ * -g-ปิด หลักฐานการ ให้ A เป็นτเป็น * -ปิดชุด ให้เป็น⊆ G G τ * -เปิด เนื่องจาก A - ปิด cl *(A) = ⊆G การ ดังนั้น เรามี cl *(A) ⊆ G เมื่อ⊆ G และ G คือ τ * -เปิด ดังนั้น A เป็นปิด - g ทฤษฎีบท 3.4 ทุกชุดปิด g ใน X มีτเป็น * -g-แต่ไม่ตั้งตรงกันข้าม หลักฐาน: ให้ A สามารถตั้งค่าปิด g สมมติว่า A ⊆ G, G คือ τ * -เปิดใน X แล้ว cl(A) ⊆ G, A เป็น g ปิด แต่ cl*(A) ⊆ cl(A) ดังนั้น cl*(A) ⊆ A Hence กรัมเป็นτ * -g-ปิด ตรงกันข้ามของทฤษฎีบทข้างต้นไม่จำเป็นจริงเท่าที่เห็นจากต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 3.5 พิจารณาพื้นที่ topological X = {a, b, c } กับโทโพโลยีτ = { X φ, {ตัว} } แล้วชุด {กับ} Τ * -g-ปิด แต่ไม่ g ปิด หมายเหตุ 3.6 ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่า Τ * -g-ชุดปิดอิสระจากปิด sp ชุด ปิด sg ตั้งค่าปิด gs ชุด ชุดปิด gsp, preclosed ชุด ชุดปิดด้วยกองทัพ ปิด αg ชุดและชุดปิด gα ตัวอย่างที่ 3.7 ให้ X = {a, b, c } และ Y = {a, b, c, d } ได้ ช่องว่างที่ topological (i) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { X φ, {ตัว} } แล้วชุด {a }, {a, b } และ {a, c } มีτ *-g ปิดแต่ไม่ sp ปิด (ii) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { X φ, {a, b } } แล้วชุด {ตัว} {b } และจะปิด sp แต่ไม่τ * -g-ปิด (iii) พิจารณาการโทโพโลยีτ = {X φ} แล้วชุด {กับ} {b }, {c }, {a, b }, {b, c } และ {a, c } มีτ * -g-ปิด แต่ไม่ sg ปิด (iv) พิจารณาการโทโพโลยีτ = { X φ, {a }, {b }, {a, b } } แล้ว ชุด {กับ} และ {b } มี sg ปิดแต่ไม่τ * -g-ปิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3. τ * -Generalized ปิดการตั้งค่าในช่องว่าง topological
ในส่วนนี้เราจะนำเสนอแนวคิดของτ * -generalized
ปิดชุดในช่องว่าง topological.
ความละเอียด 3.1 ส่วนหนึ่งของพื้นที่ทอพอโลยีที่เรียกว่า X τ * -generalized ชุดปิด (สั้น ๆ τ * -g ปิด) ถ้า CL * (A) ⊆ G เมื่อใดก็ตามที่⊆ G และ G เป็นτ * -open ที่สมบูรณ์ -generalized ปิดชุดที่เรียกว่า * -generalized ชุดเปิด
(สั้น ๆ τ * -g เปิด).
ทฤษฎีบท 3.2 ทุกชุดปิด X คือτ * -g ปิด.
หลักฐาน ให้ A เป็นชุดปิด ให้ A
⊆กรัมนับตั้งแต่มีการปิดCL (A) = a ⊆กรัม แต่ CL * (A) ⊆ CL (A) ดังนั้นเราจึงมีความสะด * (A) ⊆ G เมื่อใดก็ตามที่⊆ G และ G เป็นτ * -open ดังนั้นจึงเป็นτ * -g ปิด.
ทฤษฎีบท 3.3 ทุกτ * -closed ตั้งอยู่ใน X คือτ * -g ปิด.
หลักฐาน ให้ A เป็นτ * -closed ตั้ง ให้ A ⊆ G ที่ G เป็นτ * -open เนื่องจากเป็น -closed, CL *
(A) = ⊆G ดังนั้นเราจึงมีความสะด *
(A) ⊆ G เมื่อใดก็ตามที่⊆ G และ G เป็นτ * -open ดังนั้นจะ -G ปิด.
ทฤษฎีบท 3.4 ทุกกรัมปิดในชุด X เป็นτ * -g ชุด แต่ไม่ตรงกันข้าม.
พิสูจน์: ให้ A เป็นชุดกรัมปิด สมมติว่า⊆ G, G เป็นτ * เปิดใน X.
แล้ว CL (A) ⊆ G เนื่องจากเป็นกรัมปิด แต่ CL * (A) ⊆ CL (A) ดังนั้น CL * (A) ⊆กรัมดังนั้นเป็นτ * -g ปิด.
สนทนาทฤษฎีบทดังกล่าวข้างต้นไม่จำเป็นต้องเป็นความจริงตามที่เห็นจากต่อไปนี้ตัวอย่าง 3.5
พิจารณาพื้นที่ทอพอโลยี X = {b, c} กับโครงสร้างτ = {x, φ, {a}} จากนั้นชุด {a}
เป็นτ * -g ปิดกรัม แต่ไม่ปิด.
หมายเหตุ 3.6 ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าτ * ชุด -g ปิดมีความเป็นอิสระจากชุด SP-ปิด sg ปิด, ชุดα-ปิด preclosed ตั้ง GS-ปิด, ชุดโรงแยกก๊าซปิด, ชุดαgปิดและgαปิด ชุด. ตัวอย่าง 3.7 ให้ X = {b, c} และ y = {A, B, C, D} เป็นพื้นที่ทอพอโลยี. (i) การพิจารณาโครงสร้างτ = {x, φ, {a}} จากนั้นชุด {a}, {หนึ่งข} และ {หนึ่ง c} จะτ * -g ปิด แต่ไม่ SP-ปิด. (ii) พิจารณาโครงสร้างτ = {x, φ {A, B}} . จากนั้นชุด{a} และ {ข} จะ SP-ปิด แต่ไม่τ * -g ปิด. (iii) พิจารณาโครงสร้างτ = {x, φ} จากนั้นชุด {a}, {ข}, {C}, {A, B}, {B, C} และ {หนึ่ง c} มีτ * -g ปิด แต่ไม่ sg ปิด. (iv) พิจารณา โครงสร้างτ = {x, φ, {a}, {ข}, {A, B}} จากนั้นชุด {a} และ {ข} มี SG-ปิด แต่ไม่τ * -g ปิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 τ * - ตัวชุดปิดในทอพอโลยีเป็น
ในส่วนนี้เราแนะนำแนวคิดของτ * -
ปิดชุดรูปแบบทั่วไปในพื้นที่
นิยาม 3.1 . เป็นเซตย่อยของปริภูมิทอพอโลยี x เรียกว่าτ * - แบบปิดชุด ( สั้น ๆτ * - g-closed ) ถ้า CL * ( ) ⊆กรัม เมื่อใดก็ตามที่⊆ G และ G คือ * - เปิดτ . เติมเต็ม - แบบปิดชุด เรียกว่า ชุด
* - ตัวเปิด( สั้น ๆτ * - g-open )
ของ 3.2 . ทุกเซตปิดใน X - g-closed τ * .
หลักฐาน ปล่อยเป็นชุดปิด ให้⊆กรัม ตั้งแต่เป็น
ปิด CL ( ) = ⊆กรัม แต่⊆ CL CL * ( ) ( ) เราจึงมี CL * ( ) ⊆กรัม เมื่อใดก็ตามที่⊆ G และ G คือ * - เปิดτ . ดังนั้นจึงเป็นτ * - g-closed .
ช่วง 3.3 . ทุกτ * - ปิดการตั้งค่าใน X - g-closed τ * .
หลักฐาน ปล่อยให้เป็นτ * - ปิดการตั้งค่า ให้⊆ G ที่ G * - เปิดτ .ตั้งแต่มันเปิด - ปิด , Cl *
( A ) = ⊆กรัม เราจึงมี CL *
( ) ⊆กรัม เมื่อใดก็ตามที่⊆ G และ G คือ * - เปิดτ . จึงเป็น g-closed .
ทฤษฎีบท 3.4 . ทุกชุดใน g-closed X เป็นτ * - g-set แต่ไม่ในทางกลับกัน
หลักฐาน : ปล่อยเป็นชุด g-closed . สมมติว่า ⊆ G , G เป็นτ * - เปิดใน X .
แล้ว CL ( ) ⊆กรัม เพราะเป็น g-closed . แต่⊆ CL CL * ( ) ( ) ดังนั้น Cl * ( ) ⊆กรัม จึงเป็นτ * - g-closed .
การสนทนาของทฤษฎีบทข้างต้นไม่ต้องจริงเท่าที่เห็นจากตัวอย่างต่อไปนี้
3.5 . พิจารณาปริภูมิทอพอโลยี x = { a , b , c } ด้วยโครงสร้างτ = { x , φ { A } } แล้วตั้งค่าเป็น { }
τ * - g-closed แต่ไม่ g-closed .
หมายเหตุ 3.6 ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่า
τ * - g-closed ชุดเป็นอิสระจาก SP ปิดชุด , SG ปิด
ชุด แอลฟาปิดชุด ชุด ชุด preclosed GS ปิดตลาดปิดชุด
α g-closed ชุดจีแอลฟาและปิดการตั้งค่า
ตัวอย่าง 3.7 ให้ x = { a , b , c } และ Y = { a , b , c , d } เป็น
เป็นทอพอโลยี .
( i ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ { A } } แล้วชุด { }
{ a , b } และ { C } τ *
- g-closed SP แต่ไม่ปิด
( 2 ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ { a , b } } แล้วชุด
{ } และ { B } SP ปิด แต่ไม่τ * - g-closed .
( 3 ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ }แล้วชุด { A } { b }
{ C } { a , b } { b , c } และ { C } τ * - g-closed SG แต่ไม่ปิด
( 4 ) พิจารณาโครงสร้างτ = { x , φ { A } { b } { a , b } } งั้น
ชุด { } และ { B } SG ปิด แต่ไม่τ * - g-closed .