Comments• Note that Mary’s last ste

Comments
• Note that Mary’s last step (deducing that x = −1 from x3 = −1) involved
canceling a zero factor:
x3 = −1
⇒ x3 +1=0
⇒ (x + 1)(x2 − x + 1) = 0
⇒ x = −1, or x2 − x +1=0
(The latter equation in the last step is equivalent to the original equation.)
For more about canceling a zero factor, see Activity 1.
• Introducing false solutions by faulty algebraic manipulation is a very common
error. This activity illuminates this error and provides you with an opportunity
to focus students’ attention on the logic underlying the solution of equations.
In particular, the activity demonstrates the risk of applying a nonreversible
step when solving an equation.
Let’s take a careful look at the logic behind solving an equation. Suppose we start
with an equation of the form ƒ(x) = 0. Solving this equation involves applying a
number of different algebraic operations, such as cross-multiplying, transposing,
factoring, and so on. Our goal is to transform the equation to the form g(x) = 0,
from which solutions can be easily obtained.
For example, the equation x3 + 2x2 − x − 2 = 0 becomes, after factoring,
(x − 1)(x + 1)(x + 2) = 0, and the solutions are x = −1, x = 1, and x = −2.
Similarly, the trigonometric equation cos x + sin x = 0 becomes sin(x + 45) = 0,
giving solutions x = −45 + n180(n ∈ Z).
KEY CONCEPTS
• Equations, cubic
• Equations, quadratic
• Nonreversible steps
• Solutions, extraneous
• Solutions, lost
During the process of converting the original equation ƒ(x) = 0 to the solvable
equation g(x) = 0, it is important that no solutions are lost and no false solutions
are introduced. The process of converting the original equation ƒ(x) = 0 to the
solvable equation g(x) = 0 is usually called the solution process. If at every stage
of the solution process the steps of the process are reversible, so that ƒ(x)=0
⇔ g(x) = 0, then the solutions read off from g(x) = 0 are precisely the same as
those satisfying ƒ(x) = 0, no more, no less. However, if the manipulations are
not reversible, and we have only the one-way implication ƒ(x) = 0 ⇒ g(x) = 0,
then {x: ƒ(x) = 0} ⊂
≠ {x: g(x) = 0} and there are solutions of g(x) = 0 that are
not solutions of ƒ(x) = 0.
Example: Solve for x: x+1 − x + 1 = 0.
x+1 − x +1=0
⇔ x+1 = x − 1
⇒ x +1=(x − 1)2
⇔ x2 − 3x = 0
⇔ x(x − 3) = 0
⇔ x = 0, or x = 3.
Only x = 3 is a solution of the original equation. Note that x
+1 = x − 1 ⇒
x +1=(x − 1)2 is a nonreversible step—it was here that the false solution was
introduced.
Sometimes solutions are lost when an algebraic step is used that is not valid
because the logical implication is in the wrong direction.
Example: Solve for x: log x2 = 2 log 3.
log x2 = 2 log 3
2 log x = 2 log 3
log x = log 3
x = 3.
However, another solution of log x2 = 2 log 3 is x = −3. How did this solution
get lost? Inserting the precise logical connectors between the lines gives
log x2 = 2 log 3
⇐ 2 log x = 2 log 3
⇔ log x = log 3
⇔ x = 3.
16 One Equals Zero and Other Mathematical Surprises ©1998 by Key Curriculum Press
Activity 7 A SOLUTION THAT DOES NOT CHECK OUT (continued) TEACHER’S NOTES
The solution x = –3 was lost at the second step. A correct manipulation is
log x2 = 2 log 3
⇔ 2 log |x | = 2 log 3
⇔ log |x| = log 3
⇔ x = 3 or −3.
(For more examples, see Activity 10.)
Summing up, we see that the correct use of the logical connectors ⇒, ⇐, and ⇔
indicates whether a solution process is correct or indicates at what point solutions
have been lost or false solutions have been introduced. If all the logical
connectors in the solution process are ⇔, the solutions are exactly right. (Note
that computational errors can still occur here, which results in solutions that
are not exactly right.) If ⇐ appears, solutions have been lost. If ⇒ appears,
extra solutions have been introduced. And if two steps in the solution process
are related by neither ⇐ nor ⇒, the whole solution is suspect. Similarly, if at
one step we have ⇐ and at another ⇒, the whole solution is in doubt. (See also
the comments in Activities 4, 8, 9, 10, 11, and 12.)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความคิดเห็น•หมายเหตุ:ขั้นตอนสุดท้ายที่แมรี่ (deducing เกี่ยวข้องที่ x =− 1 จาก x =− 1) เกี่ยวข้องยกเลิกตัวศูนย์:x 3 =− 1⇒ x 3 + 1 = 0⇒ (x + 1) (x 2 − x + 1) = 0⇒ x =− 1 หรือ x 2 − x + 1 = 0(สมการหลังในขั้นตอนสุดท้ายจะเท่ากับสมการเดิม)สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการยกเลิกตัวศูนย์ ดูกิจกรรม 1•แนะนำการโซลูชั่นของเท็จ โดยจัดการพีชคณิตที่ชำรุดเป็นธรรมดามากข้อผิดพลาด กิจกรรมนี้ส่องข้อผิดพลาดนี้ และเปิดโอกาสให้คุณมุ่งเน้นความสนใจของนักเรียนบนตรรกะพื้นฐานการแก้ปัญหาของสมการโดยเฉพาะอย่างยิ่ง กิจกรรมแสดงความเสี่ยงของการใช้ nonreversible การขั้นตอนเมื่อแก้สมการลองมาดูระวังหลังแก้สมการตรรกะ สมมติว่า เราเริ่มต้นมีสมการของ ƒ(x) แบบฟอร์ม = 0 แก้สมการนี้เกี่ยวข้องกับการใช้การหมายเลขการดำเนินการทางพีชคณิตที่แตกต่างกัน เช่น cross-multiplying, transposingแฟคตอริ่ง และอื่น ๆ เป้าหมายของเราคือการ แปลงสมการในการ g(x) แบบฟอร์ม = 0ซึ่งวิธีแก้ไขปัญหาจะง่ายได้ตัวอย่างเช่น สมการ x 3 + 2 x 2 − x − 2 = 0 จะ หลังแฟคตอริ่ง(x − 1) (x + 1) (x + 2) = 0 และโซลูชั่น x =− 1, x = 1 และ x = −2ในทำนองเดียวกัน สมการตรีโกณมิติเป็น cos x + sin x = 0 กลายเป็น บาป (x + 45) = 0ให้โซลูชั่น x = −45 + n180 (n ∈ Z)แนวคิดหลัก•สมการ ลูกบาศก์•สมการ กำลังสอง•ขั้นตอนการ nonreversible•โซลูชั่น ไม่เกี่ยวข้อง•โซลูชั่น สูญหายในระหว่างกระบวนการแปลง ƒ(x) สมการเดิม = 0 เพื่อการแก้ไขสมการ g(x) = 0 มันเป็นสิ่งสำคัญที่ไม่มีสูญหาย และไม่เท็จมีการแนะนำ กระบวนการแปลง ƒ(x) สมการเดิม = 0 เพื่อการแก้ไขสมการ g(x) = 0 มักจะเรียกว่ากระบวนการแก้ปัญหา ถ้าในทุกขั้นตอนของกระบวนการแก้ปัญหา ขั้นตอนของกระบวนการผันกลับได้ เพื่อให้ƒ (x) = 0⇔ g(x) = 0 แล้วการแก้ปัญหาอ่านออกจาก g(x) = 0 จะเหมือนผู้พอใจ ƒ(x) = 0 ไม่มาก ไม่น้อย อย่างไรก็ตาม ถ้าการการควบคุมไม่สามารถบอกได้ว่า และเรามีเพียง ƒ(x) เดียวปริยาย = 0 ⇒ g(x) = 0แล้ว { x: ƒ(x) = 0 } ⊂≠ { x: g(x) = 0 } และมีโซลูชั่นของ g(x) = 0 ที่ไม่แก้ ƒ(x) = 0ตัวอย่าง: หา x: x + 1 − x + 1 = 0x + 1 − x + 1 = 0⇔ x + 1 = x − 1⇒ x + 1 = (x − 1) 2⇔ x 2 − 3 x = 0⇔ x (x − 3) = 0⇔ x = 0 หรือ x = 3เฉพาะ x = 3 เป็นวิธีการของสมการเดิม หมายเหตุ x ที่+ 1 = x − 1 ⇒x + 1 = (x − 1) 2 เป็นขั้นตอน nonreversible — มันได้นี่ว่า การแก้ปัญหาที่ผิดแนะนำบางครั้งมีสูญหายเมื่อใช้ขั้นตอนการทางพีชคณิตที่ไม่ถูกต้องเพราะตรรกะชัดเจนเป็นในทิศทางที่ผิดตัวอย่าง: แก้สำหรับล็อก x: x 2 = 2 บันทึก 3ล็อก x 2 = 2 ล็อก 3ล็อก 2 x = 2 ล็อก 3ล็อกล็อก = 3 xx = 3อย่างไรก็ตาม โซลูชันอื่นล็อก x 2 = 2 ล็อก 3 เป็น x = −3 วิธีแก้ปัญหานี้ไปให้พ้น แทรกการเชื่อมต่อทางตรรกะแม่นยำระหว่างบรรทัดให้ล็อก x 2 = 2 ล็อก 3ระบบ⇐ 2 x = 2 ล็อก 3บันทึก⇔ x =บันทึก 3⇔ x = 316 หนึ่งเท่ากับศูนย์และประหลาดใจอื่น ๆ คณิตศาสตร์ © 1998 โดยกดคีย์สูตรหมายเหตุกิจกรรม A โซลูชันที่ไม่ตรวจสอบ (ต่อ) ครูการแก้ปัญหา x = –3 ได้หายไปที่ขั้นตอนสอง การจัดการที่ถูกต้องเป็นล็อก x 2 = 2 ล็อก 3|X บันทึก 2 ⇔กรุนด์ฟอส = 2 ล็อก 3⇔ล็อก |x| =บันทึก 3⇔ x = 3 หรือ −3(ตัวอย่างเพิ่มเติม ดู 10 กิจกรรม)ข้อสรุป เราเห็นว่าถูกต้อง ใช้การเชื่อมต่อแบบลอจิคัล⇒ ⇐ ⇔บ่งชี้ว่า กระบวนการแก้ปัญหาถูกต้อง หรือบ่งชี้ในสิ่งชี้แก้ปัญหาสูญหาย หรือได้รับการแนะนำโซลูชันการเท็จ ถ้าทั้งหมดแบบลอจิคัลตัวเชื่อมต่อในกระบวนการแก้ปัญหามี⇔ การแก้ปัญหาที่ถูกต้อง (หมายเหตุที่คำนวณผิดพลาดอาจยังคงเกิดที่นี่ ซึ่งส่งผลในการแก้ปัญหาที่จะไม่ตรง) ถ้า⇐ปรากฏ โซลูชั่นได้รับสูญหายไป ⇒ปรากฏมีการใช้โซลูชั่นเพิ่มเติม และสองขั้นตอนในกระบวนการแก้ปัญหาเกี่ยวข้อง โดย⇐ไม่⇒ การแก้ปัญหาทั้งหมดคือ สงสัย ในทำนองเดียวกัน ถ้าที่ขั้นตอนที่หนึ่งเรามี⇐ และ⇒อื่น การแก้ไขปัญหาทั้งหมดคือข้อสงสัย (โปรดดูเห็นกิจกรรมที่ 4, 8, 9, 10, 11 และ 12)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความคิดเห็น
•โปรดทราบว่าขั้นตอนสุดท้ายของแมรี่ (อนุมานว่า x = -1 จาก X3 = -1) ที่เกี่ยวข้องกับการ
ยกเลิกการเป็นศูนย์ปัจจัย:
X3 = -1
⇒ X3 + 1 = 0
⇒ (x + 1) (X2 - x + 1) = 0
⇒ x = -1 หรือ X2 - x + 1 = 0
(สมหลังในขั้นตอนสุดท้ายคือเทียบเท่ากับสมการเดิม.)
สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการยกเลิกเป็นปัจจัยศูนย์ดูกิจกรรม 1.
•แนะนำการแก้ปัญหาที่ผิดพลาดจากความผิดพลาดเกี่ยวกับพีชคณิต การจัดการเป็นเรื่องธรรมดามาก
ข้อผิดพลาด กิจกรรมนี้สว่างข้อผิดพลาดนี้และให้คุณมีโอกาสที่
จะมุ่งเน้นความสนใจของนักเรียนในตรรกะพื้นฐานการแก้ปัญหาของสม.
โดยเฉพาะอย่างยิ่งกิจกรรมที่แสดงให้เห็นถึงความเสี่ยงของการใช้ nonreversible
ขั้นตอนเมื่อการแก้สมการ.
ลองมาดูอย่างรอบคอบที่ ตรรกะที่อยู่เบื้องหลังการแก้สมการ สมมติว่าเราเริ่มต้น
ด้วยสมการของƒรูปแบบ (x) = 0 แก้สมการนี้เกี่ยวข้องกับการใช้หนึ่ง
จำนวนของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตที่แตกต่างกันเช่นสกี Cross-คูณ transposing,
แฟและอื่น ๆ เป้าหมายของเราคือการแปลงสมกับ G แบบฟอร์ม (x) = 0
. จากการที่การแก้ปัญหาที่สามารถรับได้อย่างง่ายดาย
ตัวอย่างเช่น X3 สมการ + 2x2 - X - 2 = 0 จะกลายเป็นหลังจากที่แฟ
(x - 1) ( x + 1) (x + 2) = 0, และการแก้ปัญหาที่มี x = -1, x = 1 และ x = -2.
ในทำนองเดียวกัน cos สมการตรีโกณมิติ x + sin x = 0 จะกลายเป็นบาป (x + 45) = 0
ให้โซลูชั่น x = -45 + n180 (n ∈ Z).
แนวคิดหลัก
•สมลูกบาศก์
สม•กำลังสอง
•ขั้นตอน Nonreversible
•โซลูชั่นภายนอก
•โซลูชั่นหายไป
ในระหว่างขั้นตอนของการแปลงƒสมการเดิม (x) = 0 ไปแก้ไข
กรัมสมการ (x) = 0 มันเป็นสิ่งสำคัญที่ไม่แก้ปัญหาจะหายไปและไม่มีการแก้ปัญหาที่ผิดพลาด
จะนำ กระบวนการของการแปลงƒสมการเดิม (x) = 0 ถึงที่
สมก. แก้ปัญหาได้ (x) = 0 มักจะเรียกว่ากระบวนการแก้ปัญหา ถ้าในทุกขั้นตอน
ของกระบวนการแก้ปัญหาตามขั้นตอนของกระบวนการย้อนกลับเพื่อƒว่า (x) = 0
⇔ G (x) = 0 แล้วการแก้ปัญหาอ่านออกจาก G (x) = 0 ได้อย่างแม่นยำเช่นเดียวกับ
ผู้ที่ ความพึงพอใจของƒ (x) = 0 ไม่มากไม่น้อย แต่ถ้าผสมจะ
ไม่พลิกกลับได้, และเรามีเพียงƒทางเดียวหมาย (x) = 0 ⇒ G (x) = 0
แล้ว {x: ƒ (x) = 0} ⊂
≠ {x: G ( x) = 0} และมีการแก้ปัญหาของ g (x) = 0 ที่
ไม่ได้แก้ปัญหาของƒ (x) = 0
ตัวอย่าง: แก้ปัญหาสำหรับ x: x + 1 - x + 1 = 0
x + 1 - x + 1 = 0
⇔ x + 1 = x - 1
⇒ x + 1 = (x - 1) 2
⇔ X2 - 3x = 0
⇔ x (x - 3) = 0
⇔ x = 0 หรือ x = 3
เท่านั้น x = 3 เป็นวิธีการแก้สมการเดิม โปรดทราบว่า x
1 = x - 1 ⇒
x + 1 = (x - 1) 2 เป็น nonreversible ขั้นตอนที่นี่เป็นที่วิธีการแก้ปัญหาที่ผิดพลาดได้รับการ
แนะนำให้รู้จัก.
บางครั้งการแก้ปัญหาจะหายไปเมื่อขั้นตอนเกี่ยวกับพีชคณิตถูกนำมาใช้ที่ไม่ถูกต้อง
เพราะ ความหมายตรรกะในทิศทางที่ผิด.
ตัวอย่าง: แก้ปัญหาสำหรับ x: เข้าสู่ระบบ X2 = 2 3. เข้าสู่ระบบ
เข้าสู่ระบบ X2 = 2 ล็อก 3
2 ล็อก x = 2 ล็อก 3
เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ x = 3
x = 3
อย่างไรก็ตามการแก้ปัญหาการเข้าสู่ระบบอีก X2 = 2 ล็อก 3 x = -3 วิธีการแก้ปัญหานี้ไม่
ได้หายไป? แทรกการเชื่อมต่อตรรกะแม่นยำระหว่างบรรทัดให้
เข้าสู่ระบบ X2 = 2 ล็อก 3
⇐ 2 ล็อก x = 2 ล็อก 3
⇔เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ X = 3
⇔ x = 3
16 หนึ่งเท่ากับศูนย์และความประหลาดใจทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ ©ปี 1998 โดยหลักสูตรกดปุ่ม
กิจกรรมที่ 7 วิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ได้ตรวจสอบ OUT (ต่อ) ครูหมายเหตุ
การแก้ปัญหา x = -3 หายไปในขั้นตอนที่สอง การจัดการที่ถูกต้องคือ
การเข้าสู่ระบบ X2 = 2 ล็อก 3
⇔ 2 เข้าสู่ระบบ | x | = 2 ล็อก 3
⇔เข้าสู่ระบบ | x | เข้าสู่ระบบ = 3
⇔ x = 3 หรือ -3.
(สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติมโปรดดูที่กิจกรรม 10. )
ข้อสรุปถึงเราจะเห็นว่าการใช้งานที่ถูกต้องของการเชื่อมต่อตรรกะ⇒, ⇐และ⇔
บ่งชี้ว่ากระบวนการวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้องหรือบ่งชี้ที่ การแก้ปัญหาสิ่งที่จุดที่
ได้รับการสูญหายหรือการแก้ปัญหาที่ผิดพลาดได้รับการแนะนำ หากทุกตรรกะ
การเชื่อมต่อในขั้นตอนวิธีการแก้ปัญหาที่มี⇔แก้ปัญหาที่ถูกต้องว่า (หมายเหตุ
ว่าข้อผิดพลาดในการคำนวณยังสามารถเกิดขึ้นได้ที่นี่ซึ่งจะส่งผลในการแก้ปัญหาที่
ไม่ได้ตรงขวา.) หากปรากฏ⇐โซลูชั่นได้รับการสูญหาย หาก⇒ปรากฏขึ้น
โซลูชั่นพิเศษได้รับการแนะนำ และถ้าสองขั้นตอนในกระบวนการแก้ปัญหา
ที่เกี่ยวข้องกับค่า⇐มิได้⇒การแก้ปัญหาทั้งหมดเป็นผู้ต้องสงสัย ในทำนองเดียวกันถ้าใน
ขั้นตอนเดียวเรามี⇐และ⇒อีกทั้งการแก้ปัญหาอยู่ในความสงสัย (โปรดดู
การแสดงความคิดเห็นในกิจกรรม 4, 8, 9, 10, 11, และ 12)