2.35 Show that if F is a conservati

2.35 Show that if F is a conservative field, then ∇2 F ¼ ∇(∇F). Use cylindrical coordinates.
2.36 Given the scalar field f (x,y,z) ¼ 2x2 + y and the vector field R ¼ ^x x þ ^y y þ ^z z, find:
(a) The gradient of f.
(b) The divergence of f R.
(c) The Laplacian of f.
(d) The vector Laplacian of R.
(e) The curl of fR.
2.37 A vector field A ¼ ^x 5x þ ^y 2y þ ^z 1. What type of field is this according to the Helmholtz theorem?
2.38 A vector field A ¼ ^R ϕR2 þ ^θ Rsinθ is given in spherical coordinates. What type of field is this according to the
Helmholtz theorem?
2.39 The following vector fields are given:
(1) A ¼ ^x x þ ^y y:
(2) B ¼ ^ϕ cosϕ þ ^r cosϕ:
(3) C ¼ ^x y þ ^z y:
(4) D ¼ ^R sinθ þ ^θ 5R þ ^ϕ Rsinθ:
(5) E ¼ ^R k:
Problems 93
(a) Which of the fields are solenoidal?
(b) Which of the fields are irrotational?
(c) Classify these fields according to the Helmholtz theorem.
2.40 Show by direct derivation of the products that the following holds:
∇ ð∇ AÞ ¼ ∇ ∇A ð Þ∇2A:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2.35 แสดงว่าถ้า F เป็นเขตอนุรักษ์ ∇ F ¼แล้ว ∇2 (∇ F) ใช้พิกัดทรงกระบอก2.36 ให้ f ฟิลด์สเกลา (x, y, z) ¼ 2 x 2 + y และเวกเตอร์ R ¼ฟิลด์ ^ x x þ ^ y y þ ^ z z ค้นหา:(ก)ไล่ระดับสีของ f(ข)เศรษฐกิจของ f R.(ค) Laplacian ของ f(ง)เวกเตอร์ Laplacian r(จ)ขดของ fR2.37 เวกเตอร์ฟิลด์เป็น¼ ^ x þ 5 x ^ y 2y þ ^ z 1 ชนิดของฟิลด์นี่ตามทฤษฎีบท Helmholtz2.38 เวกเตอร์ฟิลด์เป็น¼ ^ R ϕR2 þ ^ ค่าθ Rsinθ ถูกกำหนดในพิกัดทรงกลม ชนิดของฟิลด์เป็นตามทฤษฎีบท Helmholtz2.39 ฟิลด์ต่อไปนี้เวกเตอร์จะได้รับ:(1)¼ ^ x x þ ^ y: y(2) B ¼ ^ ϕ cosϕ þ ^ r cosϕ:(3) C ¼ ^ x y þ ^ y: z(4) D ¼ ^ R sinθ þ ^ þหลัก 5R ค่าθ ^ ϕ Rsinθ:(5) E ¼ ^ k: Rปัญหา 93(ก) solenoidal ฟิลด์ใดบ้าง(ข) ฟิลด์ใด irrotational บ้าง(ค) ประเภทเขตข้อมูลเหล่านี้ตามทฤษฎีบท Helmholtz2.40 แสดง โดยตรงที่มาของผลิตภัณฑ์ว่า ต่อไปนี้แสดง:∇ð∇ AÞ ¼∇∇ A ðÞ ∇2A:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2.35 แสดงว่าถ้า F เป็นเขตอนุรักษ์นิยมแล้ว∇2 F ¼∇ (∇? F) ใช้พิกัดทรงกระบอก.
2.36 ได้รับการสเกลาร์ฟิลด์ f (x, y, z) ¼ 2x2 + Y และสนามเวกเตอร์ R ¼ ^ xx Þ ^ yy Þ ^ ZZ ค้นหา:
. (ก) การไล่ระดับสีของ F
(ข) ความแตกต่างของเอฟอาร์
(c) Laplacian ของ f.
(ง) Laplacian เวกเตอร์ของอาร์
(E) ของขด FR.
2.37 เขตข้อมูลเวกเตอร์¼ ^ x 5x Þ Y ^ ^ 2y Þ Z 1. ประเภทใด ของสนามนี้เป็นไปตามทฤษฎีบท Helmholtz?
2.38 เขตข้อมูลเวกเตอร์¼ ^ R φR2Þ ^ θRsinθจะได้รับในพิกัดทรงกลม สิ่งที่ประเภทของข้อมูลนี้เป็นไปตาม
ทฤษฎีบท Helmholtz?
2.39 เวกเตอร์ฟิลด์ต่อไปนี้จะได้รับ:
(1) ¼ ^ xx Þ ^ yy:
(2) B ¼ ^ φcosφÞ ^ R cosφ:
(3) C ¼ ^ XY Þ ^ ZY:
(4) D ¼ ^ R sinθÞ ^ θ 5R Þ ^ φRsinθ:
(5) E ¼ ^ R K:
ปัญหา 93
(ก) ซึ่งสาขาที่มี solenoidal?
(ข) ซึ่งของฟิลด์ มี irrotational?
(c) แยกประเภทข้อมูลเหล่านี้ตามทฤษฎีบท Helmholtz.
2.40 แสดงโดยมาโดยตรงของผลิตภัณฑ์ที่ต่อไปนี้ถือ:
∇? ð∇? ? Ath ¼∇∇งÞ∇2A:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2.35 แสดงให้เห็นว่าถ้า f เป็นเขตอนุรักษ์ แล้ว∇ 2 F ¼∇ ( ∇ F ) ใช้พิกัดทรงกระบอก2.36 ให้สนามสเกลาร์ f ( x , y , z ) ¼ 2x2 + Y และสนามเวกเตอร์ r ¼ ^ x x þ ^ Y Y þ ^ Z : Z , ค้นหา( ก ) ความลาดชันของ F( ข ) ความแตกต่างของ f R( c ) Laplacian ของ F( D ) Laplacian เวกเตอร์ของ( E ) เครื่องม้วนเ2.37 เวกเตอร์สนาม¼ ^ x 5 x þ ^ Y þ 2y ^ Z 1 ชนิดของข้อมูลนี้สอดคล้องกับทฤษฎีบทเฮล์มโฮลทซ์ ?60 เวกเตอร์สนาม¼ ^ r ϕ R2 þ ^ θศรี นθจะได้รับในพิกัดทรงกลม สิ่งที่ประเภทของฟิลด์นี้ตามไปทฤษฎีบทเฮล์มโฮลทซ์ ?2.39 ต่อไปนี้เวกเตอร์สาขาจะได้รับ :( 1 ) ¼ ^ x x þ ^ Y Y :( 2 ) บี¼ ^ ϕเพราะϕþ ^ R cos ϕ :( 3 ) C ¼ ^ x y þ ^ Z Y :( 4 ) D ¼ ^ R บาปθþ 5R ^ ^ θþϕศรี นθ :( 5 ) e ¼ ^ r K :ปัญหา 93( ก ) ซึ่งในด้าน solenoidal ?( ข ) ซึ่งสาขาที่เป็น irrotational ?( c ) จำแนกตามเขตข้อมูลเหล่านี้ไปยังเฮล์มโฮลทซ์ทฤษฎีบท2.40 แสดงโดยรากศัพท์โดยตรงของผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้ได้ :∇ð∇เป็นÞ¼∇∇เป็นðÞ∇ 2A :