22 N. AnghelABCDPQRSOMCEFigure 1. A

22 N. Anghel
A
B
C
D
P
Q
R
S
O
M
C
E
Figure 1. A maximal-perimeter inscribed parallelogram ABCD and its associ-
ated circumscribed rectangle P QRS
parallelogram being continuous, an inscribed parallelogram of maximal perimeter
always exists.
Let now ABCD be such a parallelogram. In the family of ellipses with foci A
and C there is an unique ellipse E such that C∩E = ∅, but C∩E-
= ∅ for any el-
lipse E-
in the family whose major axis is greater than the major axis of E. In other
words, E is the largest ellipse with foci A and C intersecting C. Consequently, C
and E have the same tangent lines at any point in C∩E. Notice that C∩E contains
at least two points, symmetric with respect to the center O of C. The maximality
of ABCD implies that B and D belong to C∩E and the familiar reflective prop-
erty of ellipses guarantees the reflective property with respect to the ‘mirror’ C of
the parallelogram ABCD at the vertices B and D. A similar argument applied
to the family of ellipses with foci B and D yields the reflective property of the
parallelogram ABCD at the other two vertices, A and C.
Assume now that the tangent lines to C at A, B, C, and D, meet at P, Q, R, and
S (see Figure 1). By symmetry, P QRS is a parallelogram with the same center as
C. The reflective property of ABCD and symmetry imply that, say AP B and
CQB are similar triangles. Consequently, the parallelogram P QRS has two
adjacent angles congruent, so it must be a rectangle.
Referring to Figure 1, let M be the midpoint of AB. Similarity inside ABC
shows that the mid-segment MO is parallel to BC and MO = BC
2 . Now, in the
right triangle AP B, PM = BM = AB
2 , since the segment PM is the median

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Anghel 22 ตอนเหนือAบีCDPQRSOMCอีรูปที่ 1 จารึกสูงสุดขอบเขตสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD และ associ ของ-สี่เหลี่ยมเส้น circumscribed P QRSสี่เหลี่ยมด้านขนานต่อเนื่อง สี่เหลี่ยมด้านขนานจารึกไว้ในขอบเขตสูงสุดของมีอยู่เสมอให้ ABCD ขณะนี้สามารถกล่าวเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในครอบครัวของวงรีกับ foci Aและ C มี เฉพาะรูปวงรี E เช่นที่ C∩E =∅ แต่ C∩E - =∅สำหรับเอลใด ๆ -lipse E- ในครอบครัว แกนหลักเป็นแกนหลักของอีมากกว่า ในที่อื่น ๆคำ วงใหญ่กับ foci A และ C ที่อินเตอร์เซกกัน C. เป็น ดังนั้น Cและ E มีเส้นสัมผัสกันที่จุดใด ๆ ใน C∩E ประกาศที่ C∩E ประกอบด้วยน้อยสองจุด สมมาตรกับตัว O เซลเซียส Maximality ที่หุ้น ABCD หมายความว่า B และ D เป็นของ C∩E และคุ้นเคยสะท้อน prop-คุณสมบัติสะท้อนแสงกับ 'กระจก' C ของรับประกัน erty ของวงรีแบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ที่จุดยอด B และ d อาร์กิวเมนต์คล้ายกันที่ใช้ครอบครัวของวงรีกับ foci B และ D ก่อให้เกิดคุณสมบัติสะท้อนของการสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ที่อื่นสองจุดยอด A และ cสมมติที่แทนเจนต์บรรทัดถึง C ที่ A, B, C และ D ตรงกับที่ P, Q, R และS (ดูรูปที่ 1) โดยสมมาตร P QRS เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานกับศูนย์กลางเดียวกันเป็นC. สะท้อนคุณสมบัติของ ABCD และสมมาตรนัยว่า ว่า จุด B และCQB เป็นสามเหลี่ยมคล้าย ดังนั้น สี่เหลี่ยมด้านขนาน P QRS มีสองมุม adjacent แผง ดังนั้นมันต้องเป็นสี่เหลี่ยมอ้างถึงรูปที่ 1 ให้ M เป็นจุดกึ่งกลางของ AB. คล้ายภายใน ABCแสดงว่า MO ส่วนกลางขนานกับ BC และ MO = BC2 ตอนนี้ ในการสามเหลี่ยมมุมฉากที่ B AP, PM = BM = AB2 เนื่องจากเซ็กเมนต์ PM ค่ามัธยฐาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

22 เอ็น Anghel B C D P Q R S O M C E รูปที่ 1. สูงสุด-ปริมณฑลจารึกไว้สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD และ associ- ของated สี่เหลี่ยมผืนผ้า circumscribed P QRS สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นอย่างต่อเนื่องเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานจารึกของรอบสูงสุดอยู่เสมอ. ให้ในขณะนี้ ABCD เป็นเช่นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในครอบครัวของวงรีที่มี foci กและC มีวงรี E ที่ไม่ซ้ำกันเช่นที่C∩E? = ∅ แต่C∩E- = ∅สำหรับ EL- ใดE- lipse ในครอบครัวที่มีแกนหลักที่มีค่ามากกว่าที่สำคัญ แกนของอีในอื่น ๆคำ E เป็นวงรีที่ใหญ่ที่สุดกับ foci A และ C ตัดซีดังนั้น, C และ E มีเส้นสัมผัสเดียวกันที่จุดในC∩Eใด ๆ ขอให้สังเกตว่าC∩Eมีอย่างน้อยสองจุด, สมมาตรที่เกี่ยวกับศูนย์โอซี maximality ของเอบีซีแสดงให้เห็นว่า B และ D เป็นC∩Eและ prop- คุ้นเคยสะท้อนerty ของวงรีรับประกันทรัพย์สินสะท้อนแสงด้วยความเคารพ กับ 'กระจก' C ของสี่เหลี่ยมด้านขนานABCD ที่จุด B และ D อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกันนำไปใช้ในครอบครัวของวงรีที่มีfoci B และ D ผลตอบแทนถัวเฉลี่ยที่ให้บริการสะท้อนของABCD สี่เหลี่ยมด้านขนานที่อีกสองจุดและซีสมมติตอนนี้ที่สัมผัสกับสาย C ที่ A, B, C, และ D พบกันที่ P, Q, R และS (ดูรูปที่ 1) โดยสมมาตร P QRS เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานกับศูนย์เดียวกับซี สถานที่ให้บริการการสะท้อนแสงของเอบีซีและสมมาตรบ่งบอกว่าพูด? AP และ B? CQB เป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ดังนั้น QRS สี่เหลี่ยมด้านขนาน P มีสองมุมที่อยู่ติดกันสอดคล้องกันดังนั้นมันจะต้องเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า. หมายถึงรูปที่ 1 ให้ M เป็นจุดกึ่งกลางของ AB ความคล้ายคลึงกันภายใน? เอบีซีแสดงให้เห็นว่าในช่วงกลางส่วนMO ขนานกับปีก่อนคริสตกาลและ MO = BC 2 ตอนนี้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก AP B, PM = BM AB = 2 เนื่องจากส่วน PM เป็นค่ามัธยฐาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

22 . anghel
A
B
C
D
p
q
r
s
o
m
C
E
1 รูป เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD โดยรอบสลัก และจากพื้นที่ที่ จํากัด ( พ่อพันธุ์ -
P
รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า QRS อย่างต่อเนื่อง มีจารึกขนานของปริมณฑลสูงสุดเสมอ

ตอนนี้ที่มีอยู่ ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในครอบครัวของวงรีกับบันทึกเป็น
C มีเฉพาะวงรี E เช่น C ∩ E  = ∅ แต่∩ E -
c= ∅สำหรับ El - E -

lipse ในครอบครัวที่มีแกนใหญ่ เหนือกว่า แกนใหญ่ . ในคำอื่น ๆ
, E เป็นวงรีวางที่ใหญ่ที่สุดกับ A และ C ตัด C ดังนั้น C
และ E มีเหมือนกันสัมผัสสายที่จุดใด ๆใน∩ C E C ∩สังเกตเห็นว่า วิตามินอีประกอบด้วย
อย่างน้อยสองจุดสมมาตรที่เกี่ยวกับศูนย์กลางของ C maximality
oของ ABCD หมายถึง B และ D เป็น C ∩ E และคุ้นเคยดังยัน -
erty ของวงรีรับประกันสะท้อนแสงคุณสมบัติด้วยความเคารพ ' กระจก ' C ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
ที่จุด B และ D คล้ายกับอาร์กิวเมนต์ประยุกต์
กับครอบครัวของ วงรีกับวาง B และ D สามารถสะท้อนคุณสมบัติ ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD
ที่อีก 2 จุด , และ C .