The Diophantine problem of Frobeniu

The Diophantine problem of Frobenius consists of finding the largest integer N which cannot be expressed as a linear combination of some given relatively prime integers with nonnegative coefficients. To be more precise let 1 < a1 < ··· < an be integers whose greatest common divisor is 1. For a given N ∈N we look at the existence of solutions of the equation N = a1y1+···+anyn with (y1,...,yn)∈Nn. Itis knownthat for all N sufficientlylarge a solution vector(y1,...,yn)∈Nn exists. Following [4] and [3] we denote by g(a1,...,an) or simply by g the largest integer N for which no such solution vector exists. In this paper we describe a procedure for general n to find g+1 which consists of finding the maximal element of a certain restricted set. Such maximality procedures are common in the literature, see [2], [8] and [6]. The method we use is to find g from a finite set which is formed by using an infinite set H, see lemma 1. Our main observation is theorem 4 where we show that a finite subset E of H can be used for the same purpose. Our method also gives an upper bound for g which is in some cases comparable to the bounds given in [3]. For an extensive bibliography of the literature see Selmer’s paper [7].

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ปัญหา Diophantine โฟรเบนีอุสประกอบด้วย finding จำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุด N ซึ่งไม่สามารถแสดงเป็นแบบเชิงเส้นจำนวนเต็มบางค่อนข้างสำคัญกำหนดด้วย nonnegative coefficients จะแม่นยำมากขึ้นให้ 1 < a1 < ··· < เป็นจำนวนเต็มหารร่วมคือ 1 สำหรับ ∈N N ที่กำหนด เรามองไปที่การดำรงอยู่ของโซลูชั่นของสมการ N = a1y1 + ··· + anyn ด้วย (y1,..., yn) ∈Nn Itis knownthat สำหรับทุก N sufficientlylarge ∈Nn เวกเตอร์ (y1,... yn) โซลูชั่นมีอยู่ ต่อไปนี้ [4] และ [3] เราแทน โดย g(a1,...,an) หรือเพียง โดย g เป็นจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุด N ซึ่งไม่ดังกล่าวโซลูชันเวกเตอร์มีอยู่ ในเอกสารนี้ เราอธิบายขั้นตอนสำหรับ n ทั่วไปเพื่อหา g + 1 ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบสูงสุดของชุดจำกัด finding ขั้นตอน maximality ดังกล่าวจะพบในวรรณคดี ดู [2], [8] และ [6] วิธีที่เราใช้คือกรัมหาจากชุด finite ซึ่งเกิดขึ้น โดยใช้การ infinite ชุด H ดูหน่วยการ 1 สังเกตหลักของเราคือ ทฤษฎีบท 4 ที่เราแสดงที่ finite ชุดย่อย E H สามารถใช้สำหรับวัตถุประสงค์เดียวกัน วิธีของเรายังช่วยให้การบนผูกพันสำหรับ g ซึ่งในบางกรณีเปรียบได้กับขอบเขตที่กำหนดไว้ใน [3] สำหรับการวิจัยของวรรณกรรมดูกระดาษของ Selmer [7]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ปัญหา Diophantine ของ Frobenius ประกอบด้วย Fi nding เอ็นไม่มีเลขที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่สามารถแสดงความเป็นเชิงเส้นของการรวมกันได้รับความสำคัญ integers บางคนที่มีค่าลบ Coe cients FFI จะแม่นยำมากขึ้นให้ 1 <A1 <··· <สามารถนำจำนวนเต็มมีตัวหารร่วมมากคือ 1. เพื่อให้ N ∈Nเรามองไปที่การดำรงอยู่ของการแก้ปัญหาของสม N = a1y1 + ··· + anyn กับ (Y1 , ... , yn) ∈Nn knownthat itis สำหรับทุก N Su FFI cientlylarge เวกเตอร์แก้ปัญหา (Y1, ... , yn) ∈Nnอยู่ ต่อไปนี้ [4] และ [3] เราใช้แสดงโดย G (A1, ... , เป็นพิเศษ) หรือเพียงโดย G เลขที่ใหญ่ที่สุดยังไม่มีข้อความที่ไม่มีเวกเตอร์การแก้ปัญหาดังกล่าวอยู่ ในบทความนี้เราจะอธิบายขั้นตอนสำหรับ n ทั่วไป Fi ND G + 1 ซึ่งประกอบด้วย Fi nding องค์ประกอบสูงสุดของชุดที่มีข้อ จำกัด บางอย่าง ขั้นตอนการ maximality ดังกล่าวเป็นเรื่องธรรมดาในวรรณคดีดู [2], [8] และ [6] วิธีการที่เราใช้เป็นยัง FI ND กรัมจากชุด Fi Nite ซึ่งจะเกิดขึ้นจากการใช้ใน Fi Nite ชุด H, ดูบทแทรก 1. สังเกตหลักของเราคือทฤษฎีบท 4 ที่เราแสดงให้เห็นว่า Fi Nite กลุ่มย่อย E ของ H สามารถนำมาใช้เพื่อวัตถุประสงค์เดียวกัน วิธีการของเรายังช่วยให้ขอบเขตบนของ G ซึ่งเป็นในบางกรณีเทียบเคียงกับขอบเขตที่กำหนดใน [3] สำหรับบรรณานุกรมกว้างขวางของวรรณคดีดูกระดาษเซลเมอร์ของ [7]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ส่วนปัญหาของโฟรเบนีอุสไดโอแฟนไทน์ประกอบด้วยจึงหาจำนวนเต็ม n ที่ใหญ่ที่สุดไม่ได้เป็นเชิงเส้นแสดงการรวมกันของบางให้นายกรัฐมนตรีค่อนข้างเต็มกับ nonnegative โคffi cients . พูดง่ายๆคือให้ 1 < < < เป็น··· A1 เป็นจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมากที่สุดคือ 1 . ให้เราดู N ∈การดำรงอยู่ของโซลูชั่นของสมการ N = a1y1 + ··· + anyn ( y1 , . . . , ใน ) ∈ NN . ซึ่ง knownthat ทั้งหมด N ซูffi cientlylarge โซลูชั่นเวกเตอร์ ( y1 , . . . , ใน∈ NN ) มีอยู่ ต่อไปนี้ [ 4 ] และ [ 3 ] เราแสดงโดย G ( A1 , . . . , ) หรือเพียงแค่โดย G ที่ใหญ่ที่สุดเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีโซลูชั่นเวกเตอร์จริง ในบทความนี้เราจะอธิบายวิธีการทั่วไปที่จะถ่ายทอดและ G + 1 ซึ่งประกอบด้วยจึงหาองค์ประกอบสูงสุดแน่นอน จำกัด ชุด ขั้นตอน maximality ดังกล่าวจะพบในวรรณคดี , เห็น [ 2 ] , [ 8 ] และ [ 6 ] วิธีที่เราใช้คือการถ่ายทอดและ G จากจึง ไนท์ ชุด ซึ่งเกิดขึ้นจากการถ่ายทอดในไนท์ชุด H เห็นฟาง 1 สังเกตหลักของเราคือทฤษฎีบท 4 ที่เราแสดงให้เห็นว่า ไนท์จึงย่อย E H สามารถใช้เพื่อวัตถุประสงค์เดียวกัน วิธีของเราก็ให้ผูกด้านบน G ซึ่งในบางกรณีเทียบเท่ากับขอบเขตที่ระบุใน [ 3 ] สำหรับบรรณานุกรมอย่างละเอียดของวรรณกรรมเห็นราชสาสน์กระดาษ [ 7 ]