1. Introduction Let K be a skew fiel

1. Introduction Let K be a skew field and I be the Unit matrix . Kn×n and A∗ respectively denote the set of all n-order matrices and the conjugate transpose of A over K. For A ∈ Kn×n, the matrix X ∈ Kn×nis said to be the group inverse of A, if AXA = A,XAX = X,AX = XA.We then write X = A. It is well known that if A exists, it is unique,and the conclusion is given in[1]. On representations of the group inverse of block matrices,the authors have made efforts in [2]and [3]. Actually, Generalized inverses have wide applica- tions in many areas such as special matrix theory, singular differential and difference equations and graph theory;see [4], [5] [6], [7] and [8]. Since the problem of finding an explicit representation for the Drazin (group) inverse of a 2×2 block matrix AB CD (where A and D are required to be square matrices) was proposed by Campbell and Meyer in 1979 ,considerable progress has been made .A condition for the existence of the group inverse of  AB CD is given in [9] under the assumption that A and I + CA−2B are
1976 Junqing Wang
both invertible over any field;however,the representation of the group inverse is not given.And the representation of the group inverse of the block matrix  AB 0 C  over skew fields has been given in 2001 in [10]. Though the representation of the Drazin (group) inverse of the block matrix AB C 0  proposed as a problem by Campbell in 1983 in [11] (A is square, 0 is square null matrix) has not been given , there are some achievements about representations of the Drazin (group) inverse of the block matrices AB C 0 under special conditions. Some results are received on matrices over the complex field,e.g. in [12] when A = B = In and in [13] when A,B,C ∈ P,P∗,PP∗, P2 = P . Some results are over skew fields, e.g. in [14] when A = In and rank(CB)2 = rank(B)=rank(C) and in [15] when A = B,A2 = A. In addition, Group inverse of the product of two matrices,as well as some related properties over skew field are given in [16]. In this paper, we mainly give necessary and sufficient conditions for the existence and the representation of the group inverse of a block matrix M =  AB BA (A,B ∈ Kn×n,and A2 = A,B2 = B),similarly,we also reach a few conclusions under certain conditions.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. แนะนำให้ K เป็น field ต้นฉบับเอียงอัตโนมัติ และฉันเป็นเมทริกซ์หน่วย A∗ และช็อปปิ้งซื้อ n ตามลำดับแสดงชุดของเมทริกซ์ n ใบสั่งทั้งหมดและเมทริกซ์สลับเปลี่ยน conjugate ของ A มากกว่าคุณ สำหรับการ∈ n ×ช็อปปิ้ง เมตริกซ์ X ∈ช็อปปิ้งซื้อนิสกล่าวว่า เป็น กลุ่มค่าผกผันของ A ถ้าแอกซ่า = A, XAX = X, AX =ซา เราเขียนแล้ว X = A เป็นที่รู้จักกันดีว่า ถ้า A ไม่ซ้ำ และให้ข้อสรุปใน [1] ในการเป็นตัวแทนของกลุ่มค่าผกผันของเมทริกซ์บล็อก ผู้เขียนได้ทำ efforts ใน [2] และ [3] จริง Generalized inverses มี tions applica กว้างในหลายพื้นที่เช่นทฤษฎีเมทริกซ์พิเศษ เอกพจน์ differential difference สมการ และ ทฤษฎีกราฟ ดู [4], [5] [6], [7] [8] และ เนื่องจากปัญหาของ finding ที่นำเสนอชัดเจน Drazin (กลุ่ม) ค่าผกผันของ 2 × 2 บล็อกเมตริกซ์ AB CD (ตำแหน่ง A และ D ต้องเป็นเมทริกซ์จัตุรัส) ถูกเสนอ โดย Campbell และ Meyer ในปีค.ศ. 1979 ความคืบหน้ามากได้ เงื่อนไขการดำรงอยู่ของกลุ่มค่าผกผันของ AB CD จะกำหนด [9] ภายใต้สมมติฐานที่ A และจะฉัน + CA−2Bวัง 1976 Junqingทั้งที่สามารถหาอินเวอร์สผ่าน field ใด ๆ อย่างไรก็ตาม ไม่ได้ให้ตัวแทนของกลุ่มผกผัน และมีการกำหนดตัวอย่างของกลุ่มค่าผกผันของเมทริกซ์บล็อก AB 0 C ผ่าน fields ต้นฉบับเอียงอัตโนมัติในใน 2001 [10] แม้ว่าการแสดงของ Drazin (กลุ่ม) ค่าผกผันของเมทริกซ์แบบบล็อก AB C 0 เสนอเป็นปัญหาโดย Campbell ใน 1983 ใน [11] (เป็นสี่เหลี่ยม 0 เป็นเมตริกซ์สี่เหลี่ยมว่าง) ไม่ได้รับ มีความสำเร็จบางอย่างเกี่ยวกับตัวผกผัน Drazin (กลุ่ม) ของเมทริกซ์บล็อก AB C 0 ภายใต้เงื่อนไขพิเศษ ผลลัพธ์บางอย่างได้รับในเมทริกซ์ผ่านซับซ้อน field,e.g การใน [12] เมื่อ A = B = และ ใน [13] เมื่อ A, B, C ∈ P, P∗, PP∗, p 2 = P บางผลมีขนาดใหญ่กว่า fields ต้นฉบับเอียงอัตโนมัติ เช่นใน [14] เมื่อ A = และจัดอันดับ (CB) 2 = rank(B)=rank(C) และ ใน [15] เมื่อ A = B, A2 =อ. นอกจากนี้ กลุ่มผกผันของผลคูณของเมทริกซ์ที่สอง เป็นบางส่วนเกี่ยวข้องคุณสมบัติมากกว่าต้นฉบับเอียงอัตโนมัติ field แสดงไว้ใน [16] ในเอกสารนี้ เราส่วนใหญ่ให้ความจำเป็นและ sufficient เงื่อนไขการดำรงอยู่และการแสดงของกลุ่มค่าผกผันของเมทริกซ์แบบบล็อก M = AB BA (A, B ∈ช็อปปิ้งซื้อ n และ A2 = A, B2 = B), คล้ายกัน เรายังถึงบทสรุปกี่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1. บทนำให้ K เป็น ELD ไฟเอียงและฉันจะเป็นเมทริกซ์หน่วย Kn × n และ A * ตามลำดับแสดงว่าชุดการฝึกอบรม n การสั่งซื้อและ transpose ผันของ A มากกว่าเคสำหรับ∈ Kn × n, เมทริกซ์เอ็กซ์∈ Kn × NIS กล่าวจะเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกลุ่ม A, ถ้าแอกซ่า = A, XAX = x, AX = XA.We แล้วเขียน X = a ?. เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้าได้หรือไม่? ที่มีอยู่ก็เป็นที่ไม่ซ้ำกันและข้อสรุปที่จะได้รับใน [1] ในการเป็นตัวแทนของสิ่งที่ตรงกันข้ามกลุ่มของการฝึกอบรมบล็อกผู้เขียนได้ทำจฉฉ Orts ใน [2] และ [3] ที่จริงแปรผกผันกันทั่วไปมีข้อประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในหลายพื้นที่เช่นทฤษฎีเมทริกซ์พิเศษ di เอกพจน์ erential ฉฉฉฉ di และการตั้งสมการและทฤษฎีกราฟดู [4] [5] [6] [7] และ [8] เนื่องจากปัญหาที่เกิดจากไฟ nding เป็นตัวแทนอย่างชัดเจนสำหรับ Drazin (กลุ่ม) ผกผันของ 2 × 2 เมทริกซ์บล็อก? AB ซีดี (ที่ A และ D จะต้องได้รับการฝึกอบรมตาราง) ที่เสนอโดยแคมป์เบลและเมเยอร์ในปี 1979 ความคืบหน้ามากได้รับการทำลวด Cored Metallurgical สภาพการดำรงอยู่ของสิ่งที่ตรงกันข้ามกลุ่มหรือไม่ ? AB ซีดีจะได้รับใน [9] ภายใต้สมมติฐานว่า A และผม + CA-2B เป็น
1,976 Junqing
วังทั้งinvertible มากกว่า ELD ไฟใด ๆ แต่เป็นตัวแทนของสิ่งที่ตรงกันข้ามกลุ่มที่ไม่ได้เป็นตัวแทนของ given.And ผกผันกลุ่มของ เมทริกซ์บล็อก? AB 0 องศาเซลเซียส มากกว่า elds สายลาดได้รับในปี 2001 ใน [10] แม้ว่าตัวแทนของ Drazin (กลุ่ม) ผกผันของเมทริกซ์บล็อกหรือไม่ AB C 0? เสนอให้เป็นปัญหาที่เกิดขึ้นโดยแคมป์เบลในปี 1983 ใน [11] (เป็นตารางเป็น 0 ตารางเมทริกซ์ null) ยังไม่ได้รับมีความสำเร็จบางอย่างเกี่ยวกับการแสดงของ Drazin (กลุ่ม) ผกผันของเมทริกซ์บล็อก? AB C 0? ภายใต้เงื่อนไขพิเศษ ผลบางอย่างที่ได้รับในการฝึกอบรมในช่วง ELD ไฟที่ซับซ้อนเช่นใน [12] เมื่อ A = B = ในและ [13] เมื่อ A, B, C ∈ P, P *, PP * P2 = P ผลบางอย่างมากกว่า elds ไฟเอียงเช่นใน [14] เมื่อ A = ในและอันดับ (CB) ยศ = 2 (B) อันดับ = (C) และ [15] เมื่อ A = B, A2 = A. นอกจากนี้ในกลุ่ม ผกผันของผลิตภัณฑ์สองเมทริกซ์เช่นเดียวกับบางคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องมากกว่า ELD ไฟเอียงจะได้รับใน [16] ในบทความนี้เราส่วนใหญ่ให้ความจำเป็นและซู FFI เงื่อนไขเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่และการเป็นตัวแทนของสิ่งที่ตรงกันข้ามกลุ่มของบล็อกเมทริกซ์เอ็ม =? AB BA (A, B ∈ Kn × n และ A2 = A, B2 = B) ในทำนองเดียวกันเรายังเข้าถึงข้อสรุปไม่กี่ภายใต้เงื่อนไขบาง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . แนะนำให้ k เป็นละมั่ง จึงทำให้ผมเป็นหน่วยเมตริกซ์ KN × N และ∗ ) แทนเซตของเมทริกซ์ n-order และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของกว่า K สำหรับ∈ KN × N เมทริกซ์ X ∈ KN ×คือว่าเป็นกลุ่มผกผันของถ้าแอกซ่า xax = , = x = , ขวานซา เราก็เขียน x =  . มันเป็นที่รู้จักกันดีว่า ถ้า  ที่มีอยู่มันมีเอกลักษณ์ และสรุปไว้ใน [ 1 ]ที่เป็นตัวแทนของกลุ่มผกผันเมทริกซ์ของบล็อก ผู้เขียนได้ก่อตั้งff E ใน [ 2 ] และ [ 3 ] จริงๆ แล้ว ตัวตรงกันข้ามได้กว้าง สิ่งที่เห็นทั้งหมด - ใช้งานในหลายพื้นที่ เช่น ทฤษฎีเมทริกซ์พิเศษ ทฤษฎี เอกพจน์ ดิ ff erential และ di ff erence สมการและกราฟ ดู [ 4 ] , [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] และ [ 8 ]เนื่องจากปัญหาของจึงหาที่มีการแสดงที่ชัดเจนสําหรับดราซิน ( กลุ่ม ) ผกผันของเมทริกซ์ 2 × 2 บล็อก  AB CD  ( ที่ไหนและ D จะต้องเป็นตารางเมทริกซ์ ) ถูกเสนอโดยแคมป์เบลและ Meyer ในปี 1979 , ความคืบหน้ามากได้รับการทำ เงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของกลุ่มผกผันของ  AB CD  จะได้รับใน [ 9 ] ภายใต้สมมติฐานที่ผม CA − 2B มี junqing หวัง

1976ทั้งสองจึง invertible ผ่านสาขา อย่างไรก็ตาม ตัวแทนของกลุ่มผกผันไม่ได้รับ และการเป็นตัวแทนของกลุ่มผกผันของเมทริกซ์บล็อก  AB 0 C  มากกว่าเอียงจึง elds ได้รับในปี 2001 ใน [ 10 ] แม้ว่าการแสดงของดราซิน ( กลุ่ม ) ผกผันของเมทริกซ์บล็อก  AB C 0  เสนอปัญหาโดยแคมป์เบลใน 1983 ใน [ 11 ] ( เป็นสี่เหลี่ยม0 เป็นสี่เหลี่ยมในเมทริกซ์ ) ยังไม่ได้ให้ มีบางความสำเร็จเกี่ยวกับตัวแทนของดราซิน ( กลุ่ม ) ผกผันของเมทริกซ์  บล็อก AB C 0  ภายใต้เงื่อนไขพิเศษ บางผลลัพธ์ที่ได้รับในเมทริกซ์มากกว่าละมั่งจึงซับซ้อน เช่นใน [ 12 ] เมื่อ a = b = และใน [ 13 ] เมื่อ A , B , C ∈ P , P ∗ PP ∗ P2 = P . ผลลัพธ์บางอย่างมากกว่าเอียงจึง elds เช่นใน [ 14 ] เมื่อ = ( CB ) และอันดับ 1 = อันดับ ( B ) = ตำแหน่ง ( C ) และ [ 15 ] เมื่อ a = b , A2 = . นอกจากนี้ , กลุ่มผกผันของผลิตภัณฑ์สองเมทริกซ์ , เช่นเดียวกับบางคุณสมบัติมากกว่าเอียงจึงยกให้เป็น [ 16 ละมั่ง ] ในกระดาษนี้เราส่วนใหญ่ให้จำเป็นและซูffi cient เงื่อนไขในการดำรงอยู่และการเป็นตัวแทนของกลุ่มผกผันของเมทริกซ์ M = บล็อก  AB BA  ( A , B ∈ KN × N , A2 = AB2 = b ) นอกจากนี้เรายังเข้าถึงข้อสรุปไม่กี่ภายใต้เงื่อนไขบางอย่าง .