Recent studies in mathematics, scie

Recent studies in mathematics, science, and statistical reasoning have identified
the existence of two U-M-R cycles operating within the concrete-symbolic mode
(Callingham, 1994; Campbell, Watson, & Collis, 1992; Levins & Pegg, 1993; Pegg,
1992; Pegg & Davey, 1998; Watson, Collis, & Campbell, 1995; Watson, Collis, &
Callingham et al., 1995). More specifically, these researchers have identified two
cycles when students engage in reasoning about fractions, volume measurement, and
higher order statistical thinking. The first of these cycles is associated with the
development of a concept and the second with the consolidation and application of
the concept (Watson, Collis, Callingham et al., p. 250).
At opportune times in later sections of this chapter, we refer to the Biggs and
Collis model in considering various models of development in statistical reasoning.
Other authors in this book (e.g., Reading & Shaughnessy, Chapter 9; Watson,
Chapter 12) will also elaborate on how their research has been situated in the work
of Biggs and Collis.
A HISTORICAL PERSPECTIVE ON MODELS OF DEVELOPMENT IN
STOCHASTICS
Cognitive models of development have frequented the literature on stochastics (a
term commonly used in Europe when referring to both probability and statistics
[Shaughnessy, 1992]) from the time of Piaget and Inhelder’s (1951/1975) seminal
work on probability. As their clinical studies demonstrated, probability concepts are
acquired in stages that are in accord with Piaget’s more general theory of cognitive
development. Since the Piaget and Inhelder studies, there has been a strong focus on
cognitive models in stochastics, most of them focused on probabilistic rather than
statistical reasoning (Fischbein, 1975; Fischbein & Gazit, 1984; Fischbein &
Schnarch, 1997; Green, 1979, 1983; Jones, Langrall, Thornton, & Mogill, 1997;
Olecka, 1983; Polaki, Lefoka, & Jones, 2000; Tarr & Jones, 1997; Watson, Collis,
& Moritz, 1997, Watson & Moritz, 1998). Some of these models on probabilistic
reasoning have been situated in neo-Piagetian theories such as those of Biggs and
Collis (e.g., Jones, Langrall, Thornton, & Mogill; Watson, Collis, & Moritz; Watson
& Moritz) and Case (e.g., Polaki, Lefoka, & Jones). Scholz (1991) presented a
review of psychological research on probability that included developmental models
like those of Piaget and Fischbein. He also described his own information-processing
model of probabilistic thinking that was predicated on giving students time to solve
and reflect on probability tasks. Scholz’s emphasis on reflection rather than on
intuitive probabilistic reasoning seems to have influenced research on probabilistic
reasoning in the latter part of the 1990s, and it may well have influenced the research
on statistical reasoning that we discuss later in this chapter.
One cognitive development model (Shaughnessy, 1992) described stochastic
conceptions in a way that has relevance for both statistical and probabilistic
reasoning. Shaughnessy’s broad characterization identified four types of
conceptions: non-statistical (responses are based on beliefs, deterministic models, or
single-outcome expectations); na๏ve-statistical (nonnormative responses based on
judgmental heuristics or experience that shows little understanding of probability);
emergent-statistical (responses are based on normative mathematical models and
show evidence that the respondent is able to distinguish between intuition and a
model of chance); and pragmatic-statistical (responses reveal an in-depth
understanding of mathematical models and an ability to compare and contrast
different models of chance). Shaughnessy did not claim that these four conceptions
are linearly ordered or mutually exclusive; however, he did see the third and fourth
conceptions resulting from instructional invention, and he noted that few people
reach the pragmatic-statistical stage.
The research on cognitive models in probabilistic reasoning was undoubtedly the
forerunner to research on models of development in statistical reasoning. However,
research endeavors in statistical reasoning have also been stimulated by instructional
models postulating that teachers can facilitate mathematical thinking and learning by
using research-based knowledge of how students think and learn mathematics
(Carpenter, Fennema, Peterson, Chiang, & Loef, 1989). Such instructional models
have led researchers like Cobb et al. (1991) and Resnick (1983) to advocate the need
for detailed cognitive models of students’ reasoning to guide the planning and
development of mathematics instruction. According to Cobb and Resnick, such
cognitive models should incorporate key elements of a content domain and the
processes by which students grow in their understanding of the content within that
domain. Hence, in the case of statistical reasoning, it appears that we should be
focusing on cognitive models that incorporate processes like decision making,
prediction, and inference as they occur when students collect and explore data and
begin to deal with the existence of variation, data reduction through summaries and
displays, population parameters by considering samples, the logic of sampling
processes, estimation and control of errors, and causal factors (Gal & Garfield,
1997).
COMPREHENSIVE MODELS OF DEVELOPMENT IN STATISTICAL
REASONING
Several researchers have formulated models of cognitive development that
incorporate multiple statistical processes (Jones et al., 2000; Mooney, 2002, Watson,
Collis, Callingham, & Moritz, 1995). Jones et al. (2000) and Mooney (2002)
characterize elementary and middle school students’ statistical reasoning according
to four processes: describing data, organizing and reducing data, representing data,
and analyzing and interpreting data. Watson, Collis, & Callingham et al. (1995)
characterize middle school students’ higher order statistical reasoning as they engage
in a data-card task that incorporated processes like organizing data, seeking
relationships and associations, and making inferences.
Jones et al. and Mooney Models
The related research programs of Jones et al. (2000, 2001) and Mooney (2002)
have produced domain-specific frameworks characterizing the development of
elementary and middle school students’ statistical reasoning from a more
comprehensive perspective. These researchers’ frameworks are grounded in a
twofold theoretical view. First, it is recognized that for students to exhibit statistical
reasoning, they need to understand data-handling concepts that are multifaceted and
develop over time. Second, in accord with the general developmental model of Biggs
and Collis (1991), it is assumed that students’ reasoning can be characterized as
developing across levels that reflect shifts in the complexity of their reasoning. From
this theoretical perspective, Jones et al. and Mooney describe students’ statistical
reasoning with respect to the four statistical processes listed earlier. They assert that
for each of these four processes, students’ reasoning can be characterized as
developing across four levels of reasoning referred to as idiosyncratic, transitional,
quantitative, and analytical.
The four key statistical processes described in the Jones et al. (2000, 2001) and
Mooney (2002) frameworks coincide with elements of data handling identified by
Shaughnessy, Garfield, and Greer (1996) and reflect critical areas of research on
students’ statistical reasoning. These four processes are described as follows.
Describing Data
This process involves the explicit reading of raw data or data presented in tables,
charts, or graphical representations. Curcio (1987) considers “reading the data” as
the initial stage of interpreting and analyzing data. The ability to read data displays
becomes the basis for students to begin making predictions and discovering trends.
Two subprocesses relate to describing data: (a) showing awareness of display
features and (b) identifying units of data values.
Organizing Data
This process involves arranging, categorizing, or consolidating data into a
summary form. As with the ability to describe data displays, the ability to organize
data is vital for learning how to analyze and interpret data. Arranging data in clusters
or groups can illuminate patterns or trends in the data. Measures of center and
dispersion are useful in making comparisons between sets of data. Three
subprocesses pertain to organizing data: (a) grouping data, (b) summarizing data in
terms of center, and (c) describing the spread of data.
Representing Data
This process involves displaying data in a graphical form. Friel, Curcio, and
Bright (2001) stated that the graphical sense involved in representing data “includes
a consideration of what is involved in constructing graphs as tools for structuring
data and, more important, what is the optimal choice for a graph in a given situation”
(p. 145). Representing data, like the previous two processes, is important in
analyzing and interpreting data. The type of display used and how the data are
represented will determine the trends and predictions that can be made. Also,
different data displays can communicate different ideas about the same data. Two
subprocesses underlie representing data: (a) completing or constructing a data
display for a given data set and (b) evaluating the effectiveness of data displays in
representing data.
Analyzing and Interpreting Data
This process constitutes the core of statistical reasoning. It involves recognizing
patterns and trends in the data and making inferences and predictions from data. It
incorporates two subprocesses that Curcio (1987) refers to using the following
descriptors: (a) reading between the data and (b) reading beyond the data. The
former involves using mathematical operations to combine, integrate, and compare
data (interpolative reasoning); the latter requires students to make inferences and
predictions from the data by tapping their existing schema for i

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ระบุการศึกษาล่าสุดในวิชาคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และเหตุผลทางสถิติการดำรงอยู่ของ U-M-R รอบสองที่ทำงานในโหมดสัญลักษณ์คอนกรีต(Callingham, 1994 Campbell, Watson และ Collis, 1992 เพ็กก์ 1993; & Levins เพ็กก์1992 เพกก์และซีโร่ดาเวย์ 1998 วัตสัน Collis, & Campbell, 1995 วัตสัน Collis, &Callingham และ al., 1995) อื่น ๆ โดยเฉพาะ นักวิจัยเหล่านี้ได้ระบุได้สองเมื่อนักเรียนเข้าร่วมในการใช้เหตุผลเกี่ยวกับเศษส่วน วัดเสียง วงจร และสูงสั่งคิดทางสถิติ ครั้งแรกของวงจรเหล่านี้เกี่ยวข้องกับการพัฒนาแนวคิดและที่สองรวมและประยุกต์แนวคิด (Watson, Collis, Callingham et al., p. 250)เวลาไปในส่วนหลังของบทนี้ เราถึง Biggs และรุ่น Collis ในการพิจารณารุ่นพัฒนาในทางสถิติต่าง ๆ ด้านการคนในหนังสือเล่มนี้ (เช่น อ่าน & Shaughnessy บทที่ 9 วัตสันบทที่ 12) จะยังอธิบายวิธีวิจัยของพวกเขาได้รับอยู่ในงานBiggs และ Collisมุมมองทางประวัติศาสตร์ในรูปแบบของการพัฒนาในSTOCHASTICSรับรู้รูปแบบของการพัฒนาได้สูงวรรณคดีบน stochastics (aคำที่มักใช้ในยุโรปเมื่ออ้างอิงถึงความน่าเป็นและสถิติ[Shaughnessy, 1992]) จากช่วงเวลาของปียาแฌและของ Inhelder (1951/1975) บรรลุถึงทำงานบนความน่าเป็น เป็นการศึกษาทางคลินิกแสดงให้เห็นว่า น่าเป็นแนวคิดมาในขั้นตอนที่สอดคล้องกับปียาแฌของทฤษฎีทั่วไปของการรับรู้การพัฒนา ตั้งแต่ศึกษาปียาแฌและ Inhelder มีความแข็งแรงในแบบจำลองการรับรู้ใน stochastics ส่วนใหญ่จะเน้น probabilistic rather กว่าเหตุผลทางสถิติ (Fischbein, 1975 Fischbein & Gazit, 1984 Fischbein และSchnarch, 1997 สีเขียว 1979, 1983 โจนส์ Langrall ธอร์นตัน & Mogill, 1997Olecka, 1983 Polaki, Lefoka, & Jones, 2000 Tarr & Jones, 1997 วัตสัน Collisและริทซ์ 1997, Watson และริทซ์ 1998) เหล่านี้โมเดลบน probabilisticเหตุผลมีการแห่งทฤษฎีนีโอ-Piagetian เช่น Biggs และCollis (เช่น โจนส์ Langrall ธอร์นตัน และ Mogill วัตสัน Collis, & ริทซ์ วัตสันและ Moritz) และกรณี (เช่น Polaki, Lefoka, & Jones) Scholz (1991) แสดงเป็นของความน่าเป็นที่รวมรูปแบบพัฒนาวิจัยทางจิตวิทยาเหมือนกับปียาแฌและ Fischbein เขายังอธิบายเองประมวลผลข้อมูลรูปแบบการคิด probabilistic ที่ถูก predicated ให้เวลานักเรียนแก้และสะท้อนถึงความน่าเป็นงาน เน้นของ Scholz บนสะท้อน มากกว่าดูเหมือน ได้ผลวิจัย probabilistic probabilistic เหตุผลง่ายเหตุผลในส่วนหลังของปี 1990 และอาจดีมีผลการวิจัยบนเหตุผลสถิติที่เรากล่าวถึงในบทนี้แบบจำลองพัฒนารับรู้หนึ่ง (Shaughnessy, 1992) อธิบายแบบเฟ้นสุ่มconceptions ที่มีความเกี่ยวข้องทั้งทางสถิติ และ probabilisticใช้เหตุผล จำแนกสิ่งของ Shaughnessy ระบุสี่ชนิดconceptions: ไม่ใช่สถิติ (การตอบสนองจะขึ้นอยู่กับความเชื่อ แบบ deterministic หรือผลเดี่ยวคาด); na๏ve สถิติ (nonnormative ตอบสนองตามลองผิดลองถูก judgmental หรือประสบการณ์ที่แสดงความเข้าใจเล็กน้อยของความน่าเป็น);สถิติโผล่ออกมา (คำตอบขึ้นอยู่กับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ normative และแสดงหลักฐานที่ผู้ตอบสามารถแยกความแตกต่างระหว่างสัญชาตญาณและรูปแบบของโอกาส); และสถิติ pragmatic (ตอบแสดงการชมเข้าใจแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และความสามารถในการเปรียบเทียบ และเปรียบต่างแบบที่แตกต่างโอกาส) Shaughnessy ไม่ได้อ้างว่า conceptions สี่เหล่านี้สั่งเชิงเส้น หรือ นั่น อย่างไรก็ตาม เขาไม่ได้ดูที่สามและสี่เกิดจากการเรียนการสอนการประดิษฐ์ conceptions และเขายังกล่าวว่า บางคนถึงขั้น pragmatic สถิติการวิจัยในรูปแบบที่รับรู้ในเหตุผล probabilistic ได้อย่างไม่ต้องสงสัยคิวการวิจัยในรูปแบบของการพัฒนาในทางสถิติด้าน อย่างไรก็ตามนอกจากนี้ยังมีการถูกกระตุ้นความพยายามวิจัยในเหตุผลทางสถิติ โดยจัดการเรียนการสอนรุ่น postulating สามารถช่วยครูคิดทางคณิตศาสตร์ และการเรียนรู้โดยใช้ความรู้งานวิจัยของวิธีการที่นักเรียนคิด และเรียนรู้คณิตศาสตร์(ช่างไม้ Fennema, Peterson เชียงใหม่ และ Loef, 1989) แบบจำลองการจัดการเรียนการสอนดังกล่าวได้นำนักวิจัยเช่นคดและ al. (1991) และ Resnick (1983) เพื่อสนับสนุนความต้องการสำหรับรูปแบบการรับรู้รายละเอียดของเหตุผลของนักเรียนเพื่อเป็นแนวทางการวางแผน และการพัฒนาคำสั่งคณิตศาสตร์ ตามคดและ Resnick เช่นรูปแบบรับรู้ควรรวมองค์ประกอบหลักของโดเมนที่เนื้อหาและกระบวนการที่นักเรียนเติบโตในความเข้าใจของเนื้อหาภายในที่โดเมน ดังนั้น ในกรณีของการใช้เหตุผลทางสถิติ ปรากฏว่า มีเน้นการรับรู้รุ่นที่กระบวน incorporate เช่นตัดสินใจคาดเดา และข้อ ตามที่เกิดขึ้นเมื่อนักเรียนเก็บรวบรวม และสำรวจข้อมูล และเริ่มต้นจัดการกับการดำรงอยู่ของความผันแปร การลดข้อมูล โดยสรุป และแสดง พารามิเตอร์ของประชากร โดยพิจารณาตัวอย่าง ตรรกะของการสุ่มตัวอย่างกระบวนการ การประเมิน และการควบคุมข้อผิดพลาด และปัจจัยเชิงสาเหตุ (กัลและการ์ฟิลด์1997)รูปแบบครอบคลุมการพัฒนาในทางสถิติใช้เหตุผลนักวิจัยหลายมีสูตรแบบพัฒนารับรู้ที่รวมกระบวนการทางสถิติหลาย (Jones et al., 2000 Mooney, 2002 วัตสันCollis, Callingham และ ริทซ์ 1995) โจนส์และ al. (2000) และ Mooney (2002)ลักษณะของนักเรียนโรงเรียนระดับประถมศึกษา และกลางใช้เหตุผลตามสถิติสี่กระบวนการ: อธิบายข้อมูล การจัดระเบียบ และการลดข้อมูล แสดงข้อมูลและวิเคราะห์ และตีความข้อมูล วัตสัน Collis และ Callingham et al. (1995)ลักษณะของสถิติพวกเขามีส่วนร่วมในการใช้เหตุผลขั้นสูงของนักเรียนมัธยมในงานข้อมูลบัตรที่รวมกระบวนการเช่นการจัดระเบียบข้อมูล การออกกำลังความสัมพันธ์ และเชื่อมโยง และทำ inferencesรูป Mooney และ Jones et al.โปรแกรมที่เกี่ยวข้องกับงานวิจัยของ Jones et al. (2000, 2001) และ Mooney (2002)มีกรอบเฉพาะโดเมนที่กำหนดลักษณะของการพัฒนาผลิตเหตุผลทางสถิตินักเรียนโรงเรียนระดับประถมศึกษา และกลางจากมากขึ้นมุมมองที่ครอบคลุม กรอบของนักวิจัยเหล่านี้มีสูตรในการมุมมองทฤษฎีสองเท่า ครั้งแรก มีการรับรู้ที่นักเรียนแสดงสถิติใช้เหตุผล พวกเขาต้องเข้าใจแนวคิดการจัดการข้อมูลที่มีแผน และพัฒนาในช่วงเวลานั้น ที่สอง ในสอดคล้องกับแบบพัฒนาทั่วไปของ Biggsและ Collis (1991), มีสมมติว่า สามารถลักษณะการใช้เหตุผลของนักเรียนเป็นพัฒนาในระดับที่สะท้อนกะในความซับซ้อนของการใช้เหตุผล จากมุมมองทฤษฎีนี้ al. et โจนส์ และ Mooney อธิบายนักสถิติเหตุผลเกี่ยวกับกระบวนการทางสถิติ 4 รายการก่อนหน้านี้ พวกเขายืนยันรูปที่สำหรับแต่ละกระบวนการสี่เหล่านี้ เหตุผลนักเรียนสามารถมีลักษณะพัฒนาในระดับที่สี่ของเหตุผลเรียกว่าเป็น idiosyncratic อีกรายการเชิงปริมาณ และการวิเคราะห์สี่หลักกระบวนการทางสถิติอธิบายใน Jones et al. (2000, 2001) และMooney กรอบ (2002) สอดคล้องกับองค์ประกอบของการจัดการข้อมูลที่ระบุShaughnessy การ์ฟิลด์ และอินน์เอ็กซ์เพลส (1996) และสะท้อนพื้นที่สำคัญของการวิจัยในใช้เหตุผลทางสถิติของนักเรียน กระบวนการสี่เหล่านี้มีอธิบายดังนี้อธิบายข้อมูลกระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการอ่านที่ชัดเจนของข้อมูลดิบหรือข้อมูลที่แสดงในตารางแผนภูมิ หรือแสดงภาพ Curcio (1987) พิจารณา "อ่านข้อมูล" เป็นระยะเริ่มต้นของการตีความ และวิเคราะห์ข้อมูล แสดงความสามารถในการอ่านข้อมูลเป็นข้อมูลพื้นฐานสำหรับนักเรียนที่จะเริ่มต้นทำให้คาดการณ์และแนวโน้มการออกสำรวจSubprocesses สองเกี่ยวข้องกับการอธิบายข้อมูล: จิตสำนึกแสดง (ก) แสดงลักษณะการทำงานและ (b) ระบุหน่วยของค่าข้อมูลจัดระเบียบข้อมูลกระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการจัดเรียง ประเภท หรือรวมข้อมูลในการแบบฟอร์มสรุป เช่นเดียวกับความสามารถในการอธิบายข้อมูลแสดง ความสามารถในการจัดระเบียบข้อมูลมีความสำคัญสำหรับการเรียนรู้วิธีการวิเคราะห์ และตีความข้อมูล จัดเรียงข้อมูลในคลัสเตอร์หรือกลุ่มสามารถเห็นถึงรูปแบบหรือแนวโน้มในข้อมูล มาตรการของศูนย์ และกระจายตัวมีประโยชน์ในการเปรียบเทียบระหว่างชุดของข้อมูล สามsubprocesses เกี่ยวข้องกับการจัดระเบียบข้อมูล: ข้อมูลจัดกลุ่ม (ก), (ข) สรุปข้อมูลในเงื่อนไขศูนย์ และ (c) อธิบายการแพร่กระจายของข้อมูลแสดงข้อมูลกระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการแสดงข้อมูลในรูปแบบกราฟิก Friel, Curcio และสดใส (2001) ระบุว่า ความรู้สึกภาพที่เกี่ยวข้องในการแสดงข้อมูล "ประกอบด้วยพิจารณาว่ามีส่วนร่วมในการสร้างกราฟเป็นเครื่องมือสำหรับการจัดโครงสร้างข้อมูล และ สำคัญ สิ่งที่เป็นตัวเลือกดีที่สุดสำหรับกราฟในสถานการณ์ที่กำหนด "(p. 145) แสดงข้อมูล เช่นกระบวนการสองก่อนหน้านี้ มีความสำคัญในวิเคราะห์ และตีความข้อมูล ชนิดของการแสดงที่ใช้และข้อมูลอย่างไรแสดงจะกำหนดแนวโน้มและการคาดการณ์ที่สามารถทำ ยังแสดงข้อมูลที่แตกต่างกันสามารถสื่อสารความคิดต่าง ๆ เกี่ยวกับข้อมูลเดียวกัน สองsubprocesses รวบแทนข้อมูล: (ก) ดำเนินการหรือการสร้างข้อมูลแสดงชุดข้อมูลที่กำหนดและ (ข) ประเมินประสิทธิผลของการแสดงข้อมูลในแสดงข้อมูลวิเคราะห์และตีความข้อมูลกระบวนการนี้ถือหลักของเหตุผลทางสถิติ เกี่ยวข้องกับการจดจำรูปแบบและแนวโน้มในข้อมูล และการทำ inferences และคาดคะเนจากข้อมูล มันประกอบด้วยสอง subprocesses ที่ Curcio (1987) หมายถึงใช้ต่อไปนี้ตัวแสดงรายละเอียด: (ก) การอ่านข้อมูลและ (b) อ่านนอกเหนือจากข้อมูล ที่อดีตเกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์โดยใช้ การรวม รวม เปรียบเทียบข้อมูล (interpolative เหตุผล); นักเรียนให้ inferences ต้องหลัง และคาดคะเนจากข้อมูลโดยเคาะแผนของพวกเขาที่มีอยู่สำหรับผม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การศึกษาล่าสุดในวิชาคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์และการให้เหตุผลทางสถิติได้ระบุ
การดำรงอยู่ของสองรอบ UMR การดำเนินงานภายในโหมดคอนกรีตสัญลักษณ์
(Callingham 1994; แคมป์เบลวัตสัน & Collis, 1992; Levins และเป็กก์ 1993; เป็กก์,
1992; เป็กก์ และดาวี่ 1998; วัตสัน Collis และแคมป์เบล 1995; วัตสัน Collis และ
Callingham และคณะ, 1995). โดยเฉพาะอย่างยิ่งนักวิจัยเหล่านี้มีการระบุสอง
รอบเมื่อนักเรียนมีส่วนร่วมในการให้เหตุผลเกี่ยวกับเศษส่วนการวัดปริมาณและ
การสั่งซื้อที่สูงขึ้นความคิดทางสถิติ รอบแรกของเหล่านี้มีความสัมพันธ์กับ
การพัฒนาแนวคิดและครั้งที่สองที่มีการควบรวมกิจการและการประยุกต์ใช้
แนวคิด (วัตสัน Collis, Callingham et al., น. 250)
ในช่วงเวลาที่เหมาะสมในส่วนหลังของบทนี้เรา อ้างถึงบิ๊กส์และ
รูปแบบ Collis ในการพิจารณารูปแบบต่างๆของการพัฒนาในการให้เหตุผลทางสถิติ
เขียนคนอื่น ๆ ในหนังสือเล่มนี้ (เช่นการอ่านและ Shaughnessy บทที่ 9; วัตสัน,
บทที่ 12) นอกจากนี้ยังจะอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการวิจัยของพวกเขาได้รับการตั้งอยู่ในการทำงาน
ของบิ๊กส์และ Collis
มุมมองทางประวัติศาสตร์ในรูปแบบการพัฒนาใน
Stochastics
องค์ความรู้แบบของการพัฒนาได้แวะเวียนวรรณกรรมใน Stochastics (
คำที่ใช้กันทั่วไปในยุโรปเมื่อพูดถึงทั้งสองน่าจะเป็นและสถิติ
[Shaughnessy 1992]) จากเวลาของเพียเจต์และ Inhelder ของ (1951/1975) บรรลุ
การทำงานเกี่ยวกับความน่าจะเป็น ขณะที่การศึกษาทางคลินิกของพวกเขาแสดงให้เห็นถึงแนวความคิดน่าจะมี
มาในขั้นตอนที่มีความสอดคล้องกับทฤษฎีทั่วไปมากขึ้นเพียเจต์ขององค์ความรู้
การพัฒนา เนื่องจากเพียเจต์และ Inhelder การศึกษาได้มีการเน้นไปที่
รูปแบบองค์ความรู้ใน Stochastics ส่วนใหญ่ของพวกเขามุ่งเน้นไปที่ความน่าจะเป็นมากกว่า
เหตุผลทางสถิติ (Fischbein 1975; Fischbein & Gazit 1984; Fischbein &
Schnarch 1997; สีเขียวปี 1979 1983; โจนส์ Langrall, ทอร์นตันและ Mogill 1997;
Olecka 1983; Polaki, Lefoka และโจนส์ 2000; Tarr & โจนส์ 1997; วัตสัน Collis,
และมอริตซ์, ปี 1997 วัตสันและมอริตซ์, 1998) บางส่วนของรูปแบบเหล่านี้ที่น่าจะเป็น
เหตุผลที่ได้รับการตั้งอยู่ในทฤษฎีนีโอ Piagetian เช่นพวกบิ๊กส์และ
Collis (เช่นโจนส์ Langrall, ทอร์นตันและ Mogill; วัตสัน Collis, และมอริตซ์; วัตสัน
และมอริตซ์) และกรณี (เช่น Polaki, Lefoka และโจนส์) สำเร็จ (1991) นำเสนอ
การตรวจสอบของการวิจัยทางจิตวิทยาที่น่าจะเป็นที่รวมรูปแบบการพัฒนา
เหมือนพวกเพียเจต์และ Fischbein นอกจากนี้เขายังอธิบายข้อมูลการประมวลผลของตัวเอง
รูปแบบของความน่าจะเป็นความคิดที่ได้รับการบอกกล่าวให้นักเรียนเวลาที่จะแก้ปัญหา
และสะท้อนให้เห็นถึงความน่าจะเป็นในงาน เน้นสำเร็จในการสะท้อนมากกว่า
เหตุผลน่าจะเป็นงานง่ายดูเหมือนว่าจะมีอิทธิพลต่อการวิจัยเกี่ยวกับความน่าจะเป็น
เหตุผลในส่วนหลังของปี 1990 และมันอาจจะมีอิทธิพลต่อการวิจัย
เกี่ยวกับการให้เหตุผลทางสถิติที่เราจะหารือต่อไปในบทนี้
หนึ่งรูปแบบการพัฒนาองค์ความรู้ ( Shaughnessy, 1992) อธิบายสุ่ม
มโนทัศน์ในลักษณะที่มีความสัมพันธ์กันทั้งทางสถิติและความน่าจะเป็น
เหตุผล Shaughnessy ของลักษณะกว้างระบุสี่ประเภทของ
มโนทัศน์: non-สถิติ (การตอบสนองจะขึ้นอยู่กับความเชื่อแบบจำลองที่กำหนดหรือ
คาดหวังผลเดียว); na ๏และ-สถิติ (การตอบสนอง nonnormative ขึ้นอยู่กับ
การพิจารณาวิเคราะห์พฤติกรรมหรือประสบการณ์ที่แสดงให้เห็นความเข้าใจน้อยของความน่าจะ)
โผล่ออกมาทางสถิติ (การตอบสนองจะขึ้นอยู่กับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์กฎเกณฑ์และ
แสดงหลักฐานที่แสดงว่าผู้ตอบแบบสอบถามมีความสามารถที่จะแยกแยะระหว่างสัญชาตญาณและ
รูปแบบของโอกาส ); และในทางปฏิบัติทางสถิติ (การตอบสนองที่เปิดเผยในเชิงลึก
ความเข้าใจในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และความสามารถในการเปรียบเทียบและความคมชัด
รูปแบบที่แตกต่างกันของโอกาส) Shaughnessy ไม่ได้อ้างว่าสี่เหล่านี้แนวความคิดที่
จะได้รับคำสั่งเป็นเส้นตรงหรือพิเศษร่วมกัน; แต่เขาไม่เห็นที่สามและสี่
มโนทัศน์เป็นผลมาจากการเรียนการสอนการประดิษฐ์และเขาตั้งข้อสังเกตว่าไม่กี่คน
ถึงขั้นตอนในทางปฏิบัติทางสถิติ
การวิจัยในรูปแบบองค์ความรู้ในการให้เหตุผลน่าจะเป็นไม่ต้องสงสัย
ผู้บุกเบิกการวิจัยในรูปแบบของการพัฒนาในการให้เหตุผลทางสถิติ อย่างไรก็ตาม
ความพยายามของการวิจัยในการให้เหตุผลทางสถิติยังได้รับการกระตุ้นจากการเรียนการสอน
รูปแบบการยืนยันว่าครูสามารถอำนวยความสะดวกความคิดทางคณิตศาสตร์และการเรียนรู้โดย
ใช้ความรู้การวิจัยที่ใช้วิธีการที่นักเรียนคิดและเรียนรู้คณิตศาสตร์
(ไม้ Fennema, ปีเตอร์สันจังหวัดและ Loef, 1989) . รูปแบบการเรียนการสอนดังกล่าว
ได้นำนักวิจัยเหมือน Cobb และคณะ (1991) และเรสนิค (1983) ที่จะสนับสนุนความต้องการ
สำหรับรูปแบบการเรียนรู้รายละเอียดของการให้เหตุผลของนักเรียนเพื่อเป็นแนวทางในการวางแผนและ
การพัฒนาของการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ตามที่คอบบ์และเรสนิคเช่น
แบบจำลององค์ความรู้ควรรวมองค์ประกอบที่สำคัญของโดเมนเนื้อหาและ
กระบวนการโดยที่นักเรียนเจริญเติบโตได้ในความเข้าใจของพวกเขาของเนื้อหาภายใน
โดเมน ดังนั้นในกรณีที่มีเหตุผลทางสถิติปรากฏว่าเราควรจะ
มุ่งเน้นไปในรูปแบบองค์ความรู้ที่รวมกระบวนการเช่นการตัดสินใจ
การทำนายและข้อสรุปที่เกิดขึ้นเมื่อนักเรียนเก็บรวบรวมและสำรวจข้อมูลและการ
เริ่มต้นที่จะจัดการกับการดำรงอยู่ของการเปลี่ยนแปลงข้อมูล ลดการสรุปและ
แสดงค่าพารามิเตอร์ของประชากรตัวอย่างโดยพิจารณาตรรกะของการสุ่มตัวอย่าง
กระบวนการประเมินและการควบคุมของข้อผิดพลาดและสาเหตุปัจจัย (Gal & การ์ฟิลด์,
1997)
รูปแบบที่ครอบคลุมของการพัฒนาทางสถิติ
เหตุผล
นักวิจัยหลายคนได้สูตรแบบของการพัฒนาองค์ความรู้ ที่
รวมกระบวนการทางสถิติหลาย (โจนส์, et al,. 2000; Mooney 2002 วัตสัน
Collis, Callingham และมอริตซ์, 1995) โจนส์และคณะ (2000) และ Mooney (2002)
ลักษณะประถมและมัธยมนักเรียนในโรงเรียน 'เหตุผลทางสถิติตาม
สี่กระบวนการ: การอธิบายข้อมูลการจัดระเบียบและการลดข้อมูลที่เป็นตัวแทนของข้อมูล
และการวิเคราะห์และตีความข้อมูล วัตสัน Collis และ Callingham และคณะ (1995)
ลักษณะที่สูงขึ้นเพื่อเหตุผลทางสถิตินักเรียนมัธยม 'ที่พวกเขามีส่วนร่วม
ในงานข้อมูลบัตรที่รวมกระบวนการเช่นการจัดข้อมูลที่แสวงหา
ความสัมพันธ์และความสัมพันธ์และทำให้การวินิจฉัย
โจนส์และคณะ และ Mooney รุ่น
โปรแกรมการวิจัยที่เกี่ยวข้องกับโจนส์และคณะ (2000, 2001) และ Mooney (2002)
ได้มีการผลิตกรอบโดเมนเฉพาะพัฒนาการการพัฒนาของ
ประถมและมัธยมนักเรียนในโรงเรียน 'เหตุผลทางสถิติจากอีก
มุมมองที่ครอบคลุม กรอบการวิจัยเหล่านี้มีเหตุผลใน
มุมมองทางทฤษฎีสองเท่า ครั้งแรกก็เป็นที่ยอมรับว่าสำหรับนักเรียนที่จะแสดงสถิติ
เหตุผลที่พวกเขาต้องเข้าใจแนวคิดการจัดการข้อมูลที่มีหลายแง่มุมและ
การพัฒนาอยู่ตลอดเวลา ประการที่สองสอดคล้องกับรูปแบบการพัฒนาโดยทั่วไปของบิ๊กส์
และ Collis (1991), มันจะสันนิษฐานว่าเหตุผลที่นักเรียนสามารถจะมีลักษณะเป็น
การพัฒนาในระดับที่สะท้อนให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงในความซับซ้อนของเหตุผลของพวกเขา จาก
มุมมองของทฤษฎีนี้โจนส์และคณะ และ Mooney อธิบายนักเรียนสถิติ
เหตุผลที่เกี่ยวกับสี่กระบวนการทางสถิติที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ พวกเขายืนยันว่า
สำหรับแต่ละเหล่านี้สี่ขั้นตอนการให้เหตุผลของนักเรียนที่สามารถจะมีลักษณะเป็น
การพัฒนาข้ามสี่ระดับของเหตุผลที่เรียกว่านิสัย, เปลี่ยนผ่าน
เชิงปริมาณและการวิเคราะห์
ทางสถิติสี่ขั้นตอนที่สำคัญที่อธิบายไว้ในโจนส์และคณะ (2000, 2001) และ
Mooney (2002) กรอบตรงกับองค์ประกอบของการจัดการข้อมูลระบุ
Shaughnessy, การ์ฟิลด์และเกรียร์ (1996) และสะท้อนให้เห็นถึงพื้นที่ที่สำคัญของการวิจัยใน
นักเรียนให้เหตุผลทางสถิติ เหล่านี้สี่ขั้นตอนจะมีการอธิบายดังต่อไปนี้
อธิบายข้อมูล
กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการอ่านที่ชัดเจนของข้อมูลดิบหรือข้อมูลที่นำเสนอในตาราง
แผนภูมิหรือการแสดงกราฟิก Curcio (1987) คิดว่า "การอ่านข้อมูล" เป็น
ระยะแรกของการตีความและการวิเคราะห์ข้อมูล ความสามารถในการอ่านการแสดงข้อมูล
จะกลายเป็นพื้นฐานสำหรับนักเรียนที่จะเริ่มต้นการคาดการณ์และพบแนวโน้ม
สองกระบวนการย่อยที่เกี่ยวข้องกับการอธิบายข้อมูล (ก) แสดงให้เห็นถึงการรับรู้ของจอแสดงผล
คุณสมบัติและ (ข) การระบุหน่วยของค่าข้อมูล
การจัดระเบียบข้อมูล
กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการจัด , จัดหมวดหมู่หรือการรวมข้อมูลลงใน
แบบฟอร์มการสรุป เช่นเดียวกับความสามารถในการอธิบายข้อมูลที่แสดงความสามารถในการจัดระเบียบ
ข้อมูลที่มีความสำคัญสำหรับการเรียนรู้วิธีการวิเคราะห์และตีความข้อมูล การจัดข้อมูลในกลุ่ม
หรือกลุ่มที่สามารถเปล่งรูปแบบหรือแนวโน้มของข้อมูล มาตรการของศูนย์และ
การกระจายตัวมีประโยชน์ในการเปรียบเทียบระหว่างชุดของข้อมูล สาม
กระบวนการย่อยเกี่ยวข้องกับการจัดการข้อมูล (ก) การจัดกลุ่มข้อมูล (ข) การสรุปข้อมูลใน
แง่ของศูนย์และ (ค) อธิบายการแพร่กระจายของข้อมูลที่
เป็นตัวแทนของข้อมูล
กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการแสดงข้อมูลในรูปแบบกราฟิก ฟริล, Curcio และ
Bright (2001) ระบุว่าความรู้สึกแบบกราฟิกที่เกี่ยวข้องกับการแสดงข้อมูล "หมายความรวมถึง
การพิจารณาของสิ่งที่มีส่วนเกี่ยวข้องในการสร้างกราฟเป็นเครื่องมือสำหรับโครงสร้าง
ข้อมูลและที่สำคัญกว่าสิ่งที่เป็นตัวเลือกที่ดีที่สุดสำหรับการกราฟในที่กำหนด สถานการณ์ "
(พี. 145) แสดงข้อมูลเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้กระบวนการสองมีความสำคัญใน
การวิเคราะห์และตีความข้อมูล ชนิดของจอแสดงผลที่ใช้และวิธีการที่ข้อมูลที่
แสดงจะเป็นตัวกำหนดแนวโน้มและการคาดการณ์ที่สามารถทำ นอกจากนี้
การแสดงข้อมูลที่แตกต่างกันสามารถสื่อสารความคิดที่แตกต่างกันเกี่ยวกับข้อมูลเดียวกัน สอง
กระบวนการย่อยรองรับการแสดงข้อมูล (ก) หรือเสร็จสิ้นการสร้างข้อมูลที่
แสดงผลสำหรับข้อมูลที่ได้รับการตั้งค่าและ (ข) การประเมินประสิทธิภาพของการแสดงข้อมูลใน
แสดงข้อมูล
การวิเคราะห์และตีความข้อมูล
กระบวนการนี้ถือว่าเป็นหลักของการให้เหตุผลทางสถิติ มันเกี่ยวข้องกับการรับรู้
รูปแบบและแนวโน้มในข้อมูลและทำให้การวินิจฉัยและการคาดการณ์จากข้อมูล มัน
ประกอบด้วยสองกระบวนการย่อยที่ Curcio (1987) หมายถึงการใช้ดังต่อไปนี้
อธิบาย (ก) การอ่านระหว่างข้อมูลและ (ข) การอ่านข้อมูลที่เกิน
อดีตเกี่ยวข้องกับการใช้ดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่จะรวมรวมและเปรียบเทียบ
ข้อมูล (เหตุผล interpolative); หลังต้องการให้นักเรียนที่จะทำให้การวินิจฉัยและ
การคาดการณ์จากข้อมูลโดยแตะคีที่มีอยู่ของพวกเขาสำหรับฉัน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ล่าสุดในการศึกษาคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และการให้เหตุผลทางสถิติได้ระบุ
อยู่สอง u-m-r วงจรปฏิบัติการภายในคอนกรีต
โหมดสัญลักษณ์ ( callingham , 1994 ; Campbell , วัตสัน , &คอลลิส , 1992 ; เลวินส์&เพ็กเพ็ก , 1993 ;
, 1992 ; เพ็ก&เดวี , 2541 , วัตสัน , คัลลิส& , แคมป์เบล 1995 ; วัตสัน คอลลิส&
callingham , et al . , 1995 ) มากขึ้นโดยเฉพาะนักวิจัยเหล่านี้ได้ระบุสอง
รอบเมื่อนักเรียนมีส่วนร่วมในการให้เหตุผลเกี่ยวกับเศษส่วนการวัดปริมาตรและสูงกว่าสถิติ
เพื่อคิด ครั้งแรกของรอบนี้จะเกี่ยวข้องกับการพัฒนาของแนวคิด และครั้งที่สองกับการรวมและการประยุกต์ใช้
แนวคิด ( วัตสัน คอลลิส callingham , et al . , หน้า 250 ) .
ที่เป็นใจครั้งในภายหลัง ในส่วนของบทนี้ที่เราอ้างถึง บิ๊กและ
คอลลิสแบบในการพิจารณาแบบต่างๆของการพัฒนาในการให้เหตุผลทางสถิติ .
คนอื่นเขียนในหนังสือเล่มนี้ ( เช่น การอ่าน&ชอนเนสซี่ บทที่ 9 ; วัตสัน
บทที่ 12 ) ก็จะลงรายละเอียดว่างานวิจัยของพวกเขาถูกตั้งอยู่ในการทํางานของ บิ๊ก และ คัลลิส
.
มุมมองประวัติศาสตร์ ในรูปแบบของการพัฒนาใน Stochastics

การคิดรูปแบบการพัฒนามี frequented วรรณกรรม Stochastics (
ในระยะที่ใช้กันทั่วไปในยุโรปเมื่ออ้างอิงทั้งสถิติและความน่าจะเป็น
[ ชอนเนสซี่ , 1992 ) จากเวลาของเพียเจต์ และ inhelder ( 1951 / 2518 ) งานอสุจิ
ในความน่าจะเป็น การศึกษาทางคลินิกแสดงให้เห็นว่าเป็นแนวคิดความน่าจะเป็นมี
ที่ได้มาในขั้นตอนที่สอดคล้องกับของ Piaget ทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญาทั่วไป

ตั้งแต่ เพียเจต์ inhelder และการศึกษา มีการมุ่งเน้น
รับรู้รูปแบบ Stochastics , ที่สุดของพวกเขาเน้นความน่าจะเป็นมากกว่า
การให้เหตุผลทางสถิติ ( fischbein 1975 ; fischbein & gazit , 1984 ; fischbein &
schnarch , 1997 ; สีเขียว , 2522 , 2526 ; โจนส์ langrall ธอร์นตัน ,& mogill , 1997 ;
olecka , 1983 ; polaki lefoka & , , โจนส์ , 2000 ; ทาร์&โจนส์ , 1997 ; วัตสัน คอลลิส
& Moritz , 1997 , วัตสัน& Moritz , 1998 ) บางส่วนของโมเดลเหล่านี้ในความน่าจะเป็น
เหตุผลได้ถูกตั้งอยู่ในนีโอ piagetian ทฤษฎี เช่น พวก บิ๊กและ
คอลลิส ( เช่น โจนส์ langrall ธอร์นตัน& mogill ; , วัตสัน , คัลลิส& , มอริทซ์ ; วัตสัน
& Moritz ) และกรณี ( เช่น polaki lefoka , ,&โจนส์ ) โชลส์ ( 1991 ) เสนอ
ทบทวนการวิจัยทางจิตวิทยา เรื่อง ความน่าจะเป็น ที่รวมนางแบบ
เช่นบรรดาของเพียเจต์ fischbein และการพัฒนา นอกจากนี้เขายังอธิบายของเขาเองข้อมูลการประมวลผล
ความคิดแบบความน่าจะเป็นที่ถูกบอกกล่าวให้เวลานักเรียนแก้
และสะท้อนในงานความน่าจะเป็น โชลส์ก็เน้นการสะท้อนมากกว่า
ใช้งานง่าย probabilistic ดูเหมือนว่าเหตุผลที่ได้รับอิทธิพลในการวิจัย
เหตุผลในส่วนหลังของปี 1990 , และมันอาจจะมีอิทธิพลต่อการวิจัย
การให้เหตุผลทางสถิติที่เราหารือในภายหลังในบทนี้ การคิดรูปแบบการพัฒนา
หนึ่ง ( ชอนเนสซี่ , 1992 ) อธิบาย Stochastic
แนวความคิด ในลักษณะที่มีความเกี่ยวข้องทั้งทางสถิติและ ความน่าจะเป็น
เหตุผลชอนเนสซี่หลากหลายคุณสมบัติที่ระบุสี่ประเภทของ
แนวคิด : ไม่มีสถิติ ( คำตอบตามความเชื่อ แบบ deterministic
เดียวหรือความคาดหวังผล ) ; ขี้กลัว ( nonnormative สถิติการตอบสนองตาม
ฮิวริสติก judgmental หรือประสบการณ์ที่แสดงให้เห็นถึงความเข้าใจน้อยของความน่าจะเป็น ) ;
ฉุกเฉินทางสถิติ ( การตอบสนองจะขึ้นอยู่กับแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และเชิงบรรทัดฐาน
แสดงหลักฐานว่า ผู้ถูกกล่าวหาสามารถแยกแยะระหว่างสัญชาตญาณกับ
รูปแบบโอกาส ) ; และปฏิบัติ ( การเปิดเผยข้อมูลในเชิงลึก
เข้าใจแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และความสามารถในการเปรียบเทียบและความคมชัด
รุ่นที่แตกต่างกันของโอกาส ) ชอนเนสซี่ไม่ได้อ้างว่าเหล่านี้สี่ความคิด
เป็นเส้นตรงหรือสั่งพิเศษร่วมกัน อย่างไรก็ตาม เขาไม่ได้ดู
ที่สามและสี่มโนทัศน์ที่เกิดจากการประดิษฐ์ การสอน และเขากล่าวว่าไม่กี่คน
ถึงขั้นสถิติในทางปฏิบัติ วิจัยในรูปแบบการคิด

เหตุผลคือไม่ต้องสงสัยในการเป็นเอกสารวิจัยรูปแบบการพัฒนาในการให้เหตุผลทางสถิติ อย่างไรก็ตาม ความพยายามในการให้เหตุผลทางสถิติวิจัย

ยังได้รับการกระตุ้นโดยรุ่น postulating ที่ครูสามารถอำนวยความสะดวกในการคิดเชิงคณิตศาสตร์และการเรียนรู้ของนักเรียน โดยการใช้ความรู้เป็น
วิธีคิดและเรียนรู้คณิตศาสตร์
( ช่างไม้ , fennema Peterson , เชียงใหม่ , & loef , 1989 ) เช่นรูปแบบการเรียนการสอน
ได้นำนักวิจัยชอบคอบ et al . ( 1991 ) และเรสนิค ( 1983 ) เพื่อสนับสนุนความต้องการ
สำหรับรายละเอียดการคิดรูปแบบของการให้เหตุผลของนักเรียนเพื่อเป็นแนวทางในการวางแผนและการพัฒนาการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ ตามรูปแบบการคิด และ เรสนิค Cobb , เช่น
ควรรวมองค์ประกอบหลักของโดเมนที่เนื้อหาและกระบวนการ
ซึ่งนักเรียนเติบโตในความเข้าใจเนื้อหาภายในโดเมนนั้น

ดังนั้น ในกรณีของการให้เหตุผลทางสถิติ ปรากฏว่า เราควรจะ
เน้นการคิดโมเดลที่รวมกระบวนการเช่นการตัดสินใจ
การพยากรณ์ และการอนุมานตามที่พวกเขาเกิดขึ้นเมื่อนักเรียนรวบรวมและศึกษาข้อมูลและ
เริ่มต้นที่จะจัดการกับการเปลี่ยนแปลง การลดข้อมูลโดยสรุปและ
แสดงพารามิเตอร์โดยพิจารณาจากประชากรตัวอย่าง ตรรกะของ
กระบวนการตัวอย่าง , การประมาณค่าและควบคุมข้อผิดพลาดและปัจจัยเชิงสาเหตุ ( Gal & Garfield

( 2540 ) รูปแบบการพัฒนาในการให้เหตุผลทางสถิติ

หลายนักวิจัยได้กำหนดรูปแบบของการพัฒนาทางปัญญาที่
รวมกระบวนการสถิติหลาย ( Jones et al . , 2000 ; Mooney , 2002 , วัตสัน , คัลลิส callingham
, , & Moritz , 1995 ) Jones et al . ( 2000 ) และ มูนี่ ( 2002 )
ลักษณะเบื้องต้นและกลางโรงเรียนของนักเรียนตามกระบวนการทางสถิติการใช้เหตุผล
4 : อธิบายข้อมูล การจัดระเบียบข้อมูล และการแทนข้อมูลและการวิเคราะห์และการตีความข้อมูล
. วัตสัน , คัลลิส& callingham , et al . ( 1995 ) ลักษณะของนักเรียนโรงเรียนกลางสูง

เหตุผลที่พวกเขาต่อสู้เพื่อสถิติ