A set is pure if all of its members

A set is pure if all of its members are sets, all members of its members are sets, and so on. For example, the set {{}} containing only the empty set is a nonempty pure set. In modern set theory, it is common to restrict attention to the von Neumann universe of pure sets, and many systems of axiomatic set theory are designed to axiomatize the pure sets only. There are many technical advantages to this restriction, and little generality is lost, because essentially all mathematical concepts can be modeled by pure sets. Sets in the von Neumann universe are organized into a cumulative hierarchy, based on how deeply their members, members of members, etc. are nested. Each set in this hierarchy is assigned (by transfinite recursion) an ordinal number α, known as its rank. The rank of a pure set X is defined to be the least upper bound of all successors of ranks of members of X. For example, the empty set is assigned rank 0, while the set {{}} containing only the empty set is assigned rank 1. For each ordinal α, the set Vα is defined to consist of all pure sets with rank less than α. The entire von Neumann universe is denoted V.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ชุดมีความบริสุทธิ์ถ้าสมาชิกทั้งหมดเป็นชุด ชุด มีสมาชิกทั้งหมดของสมาชิกและการ ตัวอย่าง ชุด {{}} ประกอบด้วยเพียงเซตว่างคือ ชุดบริสุทธิ์ nonempty ในสมัยใหม่ทฤษฎีเซต ทั่วไปจำกัดความจักรวาล Neumann ฟอนชุดบริสุทธิ์ และออกแบบระบบต่าง ๆ ของทฤษฎีเซต axiomatic axiomatize ชุดบริสุทธิ์เท่านั้น มีประโยชน์มากเทคนิคการจำกัดนี้ และ generality น้อยหาย เนื่องจากเป็นทั้งหมดคณิตศาสตร์แนวคิดสามารถสร้างแบบจำลอง โดยชุดบริสุทธิ์ ชุดในจักรวาล Neumann ฟอนถูกจัดระเบียบเป็นลำดับชั้นสะสม ตามวิธีลึกซ้อนของสมาชิก สมาชิกของสมาชิก ฯลฯ แต่ละชุดในลำดับชั้นนี้กำหนดให้ (โดยสอบ transfinite) เป็นลำดับเลขด้วยกองทัพ เป็นคำ ลำดับที่ของชุดบริสุทธิ์ X กำหนดให้ ขอบเขตบนน้อยที่สุดของทั้งหมดผู้สืบทอดของตำแหน่งสมาชิกของ X ตัวอย่าง เซตว่างเป็นกำหนดอันดับ 0 ในขณะที่ชุด {{}} ประกอบด้วยเพียงเซตว่างไว้อันดับ 1 ด้วยกองทัพแต่ละเลขลำดับ Vα การตั้งค่ากำหนดจะประกอบด้วยชุดบริสุทธิ์ทั้งหมดกับยศน้อยกว่าด้วยกองทัพ Neumann ฟอนทั้งที่จักรวาลจะสามารถบุ V

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ชุดบริสุทธิ์ถ้าของสมาชิกทุกคนเป็นชุดสมาชิกของสมาชิกทุกคนเป็นชุดและอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นชุด {{}} มีเพียงเซตว่างคือว่างชุดบริสุทธิ์ ในการตั้งทฤษฎีที่ทันสมัย​​มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะ จำกัด การให้ความสนใจกับจักรวาล von Neumann ชุดบริสุทธิ์และหลายระบบของจริงทฤษฎีเซตถูกออกแบบมาเพื่อ axiomatize ชุดบริสุทธิ์เท่านั้น มีข้อได้เปรียบทางเทคนิคมากมายที่จะข้อ จำกัด นี้และทั่วไปเล็ก ๆ น้อย ๆ จะหายไปเพราะหลักแนวคิดทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดสามารถจำลองจากชุดที่บริสุทธิ์ ชุดในจักรวาลฟอนนอยมันน์ถูกจัดเป็นลำดับชั้นสะสมตามวิธีการที่สมาชิกของพวกเขาอย่างลึกซึ้งสมาชิกของสมาชิก ฯลฯ จะซ้อนกัน แต่ละชุดในลำดับชั้นนี้ได้รับมอบหมาย (โดยการเรียกซ้ำ transfinite) αลำดับหมายเลขที่เรียกว่าการจัดอันดับของ ตำแหน่งของชุด X บริสุทธิ์ถูกกำหนดให้เป็นขอบเขตบนน้อยผู้สืบทอดทั้งหมดของการจัดอันดับของสมาชิกของเอ็กซ์ตัวอย่างเช่นเซตว่างที่ได้รับมอบหมายตำแหน่ง 0 ในขณะที่ชุด {{}} มีเพียงเซตว่างที่ได้รับมอบหมาย อันดับที่ 1 สำหรับแต่ละαลำดับชุดVαถูกกำหนดให้ประกอบด้วยชุดบริสุทธิ์ทั้งหมดที่มีตำแหน่งน้อยกว่าα จักรวาลทั้งหมด von Neumann จะแสดงโวลต์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ชุดบริสุทธิ์ ถ้าสมาชิกทั้งหมดเป็นชุด สมาชิกทั้งหมดของสมาชิกเป็นชุด และอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นชุด { { } } ที่มีเฉพาะเซตว่างเป็นเซตแท้ชุด ในทฤษฎีเซตยุคใหม่ มันเป็นเรื่องธรรมดาที่จะ จำกัด การฟอนนอยมันน์จักรวาลของชุดบริสุทธิ์และหลายระบบของทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ ถูกออกแบบมาเพื่อ axiomatize ชุดบริสุทธิ์เท่านั้นมีข้อดีหลายเทคนิคและข้อ จำกัด นี้ เล็ก ๆน้อย ๆโดยทั่วไปจะหายไป เพราะหลักทั้งหมดแนวคิดทางคณิตศาสตร์สามารถเป็นแบบชุดบริสุทธิ์ ชุดในจักรวาล ฟอน นอยมันน์แบ่งออกเป็นลำดับขั้นสะสมตามวิธีการดูดสมาชิก สมาชิก สมาชิก ฯลฯ จะซ้อนกัน แต่ละชุดในลำดับชั้นนี้ได้รับมอบหมาย ( โดย transfinite การเรียกซ้ำ ) αหมายเลขอันดับที่รู้จักกันเป็น การจัดอันดับของ อันดับของบริสุทธิ์ชุด X กำหนดเป็นอย่างน้อยของทั้งหมดไว้บนผู้สืบทอดของยศสมาชิกของ X . ตัวอย่างเช่น เซตว่างกำหนดตำแหน่ง 0 ในขณะที่ชุด { { } } ที่มีเฉพาะเซตว่างกำหนดอันดับ 1 สำหรับแต่ละช่วงα ตั้ง 5 αกำหนดประกอบด้วยชุดแท้ทั้งหมดที่มียศน้อยกว่าα . ทั้งฟอนนอยมันน์จักรวาลเขียน V