driving frequency and amplitude, th

driving frequency and amplitude, the mean torque of the force of inertia depends only on the angle of the pendulum’s deflection from the direction of the pivot’s vibration.
In the absence of gravity the inertial torque gives a clear physical explanation for existence of the two equivalent stable equilibrium positions that correspond to the two preferable orientations of the pendulum’s rod along the direction of the pivot’s vibration. With gravity, the inverted pendulum is stable with respect to small deviations from this position provided the mean torque of the force of inertia is greater than the torque of the force of gravity that tends to tip the pendulum down. This
occurs when the following condition is fulfilled: a2 ω2 > 2gl, or (a/l)(ω/ω0 ) > √2 (see,
e.g., [20]). However, this is only an approximate criterion for dynamic stability of the
inverted pendulum, which is valid at small amplitudes of forced vibrations of the pivot
(a ฟ l). Below we establish a more precise criterion [see equation (12)].
To provide the dynamic stabilization of the inverted pendulum within some finite
interval of the angles of deflection from the vertical position, the product of the normalized driving amplitude and the normalized driving frequency must be greater
than √2 by a finite value. We note that the explanation of the physical reason for the
dynamic stabilization of the inverted pendulum in [20] is free from the restriction of small angles. In particular, for given values of the driving frequency ω and amplitude a, this approach allows us to find the maximal admissible angular deflection from the inverted vertical position θmax below which the pendulum tends to return to this position, even when θmax is almost as large as π/2: cos θmax = 2gl/(a2 ω2 ). Being deflected from the vertical position by an angle that does not exceed θmax , the pendulum will execute relatively slow oscillations about this inverted position. This motion is executed both under the mean torque of the force of inertia and the force of gravity, and can be described by a slow-varying function ψ(t) satisfying the following approximate differential equation (if friction is ignored):

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ขับรถความถี่ และคลื่น แรงบิดเฉลี่ยของแรงความเฉื่อยขึ้นอยู่เฉพาะในมุมของของลูกตุ้ม deflection จากทิศทางของการสั่นสะเทือนของสาระสำคัญของแรงโน้มถ่วง แรงบิด inertial ให้คำอธิบายชัดเจนทางกายภาพสำหรับดำรงตำแหน่งสมดุลมั่นคงเทียบเท่าสองที่สอดคล้องกับแนวกว่าสองของลูกตุ้มเหล็กตามทิศทางของการสั่นสะเทือนของสาระสำคัญ แรงโน้มถ่วง เพนดูลัมมีมั่นคงกับบริษัทฯ จากตำแหน่งนี้ให้แรงบิดเฉลี่ยของแรงความเฉื่อยจะมากกว่าแรงบิดของแรงโน้มถ่วงที่มีแนวโน้มเอียงลูกตุ้มลง นี้เกิดขึ้นเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: a2 ω2 > 2gl หรือ (ตัว / l)(ω/ω0) > √2 (ดูเช่น, [20]) อย่างไรก็ตาม นี้เป็นเพียงเกณฑ์การประมาณสำหรับเสถียรภาพแบบไดนามิกของการกลับลูกตุ้ม ซึ่งมีผลบังคับใช้ในช่วงเล็ก ๆ ของสั่นสะเทือนบังคับของ pivot(ตัวฟ l) ด้านล่างเราสร้างเงื่อนไขอย่างละเอียด [ดูสมการ (12)]ให้เสถียรภาพแบบไดนามิกของนดูภายในบางอย่างจำกัดช่วงของมุมของ deflection จากตำแหน่งแนวตั้ง ผลิตภัณฑ์ของคลื่นขับมาตรฐานและความถี่มาตรฐานขับต้องมากขึ้นกว่า √2 โดยค่าจำกัด เราสังเกตว่า คำอธิบายของเหตุผลทางกายภาพเสถียรภาพแบบไดนามิกของนดูใน [20] เป็นอิสระจากข้อจำกัดของมุมขนาดเล็ก โดยเฉพาะ การกำหนดค่าของความถี่ωและคลื่นขับเป็น วิธีการนี้ช่วยให้เราสามารถค้นหาที่สูงสุด admissible แองกูลาร์ deflection จาก θmax กลับตำแหน่งแนวตั้งที่ด้านล่างซึ่งลูกตุ้มมีแนวโน้มที่จะ กลับไปตำแหน่งนี้ เมื่อ θmax เป็นเกือบเป็นใหญ่เป็น π/2: cos θmax = 2gl /(a2 ω2) เป็น deflected จากตำแหน่งแนวตั้งเป็นมุมที่ไม่เกิน θmax ลูกตุ้มจะดำเนินการแกว่งค่อนข้างช้าเกี่ยวกับตำแหน่งนี้กลับ ดำเนินการเคลื่อนไหวนี้ทั้งภายใต้แรงบิดเฉลี่ยของแรงของความเฉื่อยและแรงโน้มถ่วง และสามารถอธิบาย ด้วยฟังก์ชัน ψ(t) ของช้าแตกต่างกันตรงกับสมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณดังต่อไปนี้ (ถ้าแรงเสียดทานได้):

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ขับรถความถี่และความกว้าง, แรงบิดเฉลี่ยของกองกำลังทหารของความเฉื่อยขึ้นอยู่กับมุมของการโก่งตัวของลูกตุ้มจากทิศทางของการสั่นสะเทือนหมุนของที่.
ในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วงแรงบิดเฉื่อยให้คำอธิบายทางกายภาพที่ชัดเจนสำหรับการดำรงอยู่ของทั้งสองเทียบเท่ามั่นคง ตำแหน่งที่สมดุลที่สอดคล้องกับทั้งสองทิศทางที่พึงประสงค์ของแกนของลูกตุ้มตามทิศทางของการสั่นสะเทือนหมุนของ ด้วยแรงโน้มถ่วงลูกตุ้มกลับหัวที่มีเสถียรภาพด้วยความเคารพต่อการเบี่ยงเบนขนาดเล็กจากตำแหน่งนี้ให้แรงบิดที่มีค่าเฉลี่ยของแรงเฉื่อยของมีค่ามากกว่าแรงบิดของแรงโน้มถ่วงของโลกที่มีแนวโน้มที่ปลายลูกตุ้มลง นี้เกิดขึ้นเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง: a2 ω2> 2GL หรือ (ก / ลิตร) (ω / ω0)> √2 (ดูเช่น[20]) แต่นี้เป็นเพียงเกณฑ์ประมาณสำหรับเสถียรภาพแบบไดนามิกของลูกตุ้มกลับหัวซึ่งมีผลบังคับใช้ในช่วงกว้างของคลื่นขนาดเล็กของการสั่นสะเทือนบังคับหมุน(กฟลิตร) ด้านล่างเราสร้างเกณฑ์ที่แม่นยำมากขึ้น [ดูสมการ (12)]. เพื่อให้การรักษาเสถียรภาพแบบไดนามิกของลูกตุ้มกลับภายในบาง จำกัดช่วงของมุมของการเบี่ยงเบนจากตำแหน่งแนวตั้งผลิตภัณฑ์ของแอมพลิจูขับรถปกติและความถี่ในการขับรถปกติ จะต้องมีมากขึ้นกว่า√2โดยค่าแน่นอน เราทราบว่าคำอธิบายเหตุผลทางกายภาพสำหรับการรักษาเสถียรภาพแบบไดนามิกของลูกตุ้มกลับหัวใน [20] เป็นอิสระจากข้อ จำกัด ของมุมเล็ก ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับค่ากำหนดของωความถี่การขับขี่และความกว้างที่วิธีการนี้ช่วยให้เราสามารถหาโก่งเชิงมุมสูงสุดที่ยอมรับจากθmaxตำแหน่งคว่ำแนวตั้งด้านล่างซึ่งลูกตุ้มมีแนวโน้มที่จะกลับไปยังตำแหน่งนี้แม้เมื่อθmaxเกือบจะเป็นขนาดใหญ่ เป็นπ / 2: cos θmax = 2GL / (a2 ω2) ถูกเบี่ยงเบนจากตำแหน่งแนวตั้งโดยมุมที่ไม่เกินθmaxลูกตุ้มจะดำเนินการแกว่งค่อนข้างช้าเกี่ยวกับตำแหน่งคว่ำนี้ การเคลื่อนไหวนี้จะถูกดำเนินการทั้งสองภายใต้แรงบิดเฉลี่ยของแรงของความเฉื่อยและแรงโน้มถ่วงของโลกและสามารถอธิบายได้ด้วยฟังก์ชั่นที่แตกต่างกันช้าψ (t) ความพึงพอใจของสมการเชิงอนุพันธ์โดยประมาณต่อไป (ถ้ามีแรงเสียดทานจะถูกละเว้น):

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทำให้ความถี่และแอมปลิจูด , หมายถึงแรงบิด แรงของความเฉื่อยขึ้นอยู่กับมุมของการหักเหของลูกตุ้มจากทิศทางของการหมุนการสั่น
ในการขาดของแรงโน้มถ่วงแรงเฉื่อย ให้คำอธิบายที่ชัดเจนสำหรับการดำรงอยู่ของทั้งสองเท่ากับมั่นคงสมดุลตำแหน่งที่ตรงกับสองดีกว่า ประเภทของลูกตุ้มเหล็กตามทิศทางของการหมุนการสั่น ด้วยแรงโน้มถ่วงลูกตุ้มกลับหัว มั่นคง ด้วยการเบี่ยงเบนเล็กจากตำแหน่งนี้ให้หมายถึงแรงบิด แรงของความเฉื่อยมากกว่าแรงของแรงโน้มถ่วงที่บริเวณปลายลูกตุ้มลง นี้เกิดขึ้นเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้
เป็นจริง : A2 ω 2 > 2gl หรือ ( ลิตร ) ( ω / ω 0 ) > √ 2 ( ดู
เช่น [ 20 ] ) อย่างไรก็ตามนี้เป็นเพียงการประมาณเกณฑ์เสถียรภาพแบบไดนามิกของ
ลูกตุ้มผกผัน ซึ่งสามารถใช้ได้ที่แรงบิดเล็กบังคับการสั่นสะเทือนของเดือย
( มี L ) ด้านล่างเราจะสร้างแม่นกว่าเกณฑ์ [ ดูสมการ ( 12 ) ] .
เพื่อให้เสถียรภาพแบบไดนามิกของลูกตุ้มผกผันในจำกัด
ช่วงมุมของการหักเหจากตำแหน่งตามแนวตั้งผลิตภัณฑ์มาตรฐานการขับรถแบบมาตรฐานการขับความถี่ต้องมากขึ้นกว่า√
2 โดยค่าจำกัด เราทราบว่าคำอธิบายของเหตุผลทางกายภาพสำหรับ
เสถียรภาพแบบไดนามิกของลูกตุ้มผกผันใน [ 20 ] ฟรีจากข้อ จำกัด ของมุมเล็กๆ โดยเฉพาะ เพื่อให้คุณค่าของการขับรถและความถี่ωแอมพลิจูด ,วิธีนี้ช่วยให้เราสามารถหาสูงสุดที่ยอมรับได้โก่งเชิงมุมจากกลับหัวแนวตั้งตำแหน่งθ max ด้านล่างซึ่งลูกตุ้มมีแนวโน้มที่จะกลับคืนสู่ตำแหน่งนี้ แม้เมื่อθแม็กซ์เกือบเท่าπ / 2 คอสθ max = 2gl / ( A2 ω 2 ) การเบี่ยงเบนจากแนวตั้งเป็นมุมที่ไม่เกินθแม็กซ์ลูกตุ้มจะประมวลผลค่อนข้างช้าประมาณนี้ ตัววัดตำแหน่ง การเคลื่อนไหวนี้ถูกประหารทั้งใต้หมายถึงแรงบิดแรงของความเฉื่อยและแรงโน้มถ่วงและสามารถอธิบายโดยช้าแตกต่างกัน ฟังก์ชันψ ( T ) ภิรมย์ต่อไปนี้ประมาณสมการเชิงอนุพันธ์ ( ถ้าแรงเสียดทานจะไม่สนใจ

)