summary A solution is developed for

summary

A solution is developed for the oblique impact of an elastic sphere on

a half-space. The Hertzian theory of impact is used for the normal compo-
nents of force and velocity, and it is assumed that the contact area comprises

sticking and slipping regions, in the latter of which the coefficient of friction

is constant. The mixed boundary value problem for the tangential tractions

and displacements is reduced to a system of simultaneous equations by

dividing the contact area into a set of concentric annuli.

The trajectory of the sphere depends on only two non-dimensional

parameters: one related to the angle of incidence and the other to the radius

of gyration. A simple rigid body theory of impact gives a reasonable approxi-
mation to the more exact method at low and high angles of incidence, but is

unsatisfactory at intermediate values.

-

1. Introduction

This paper is concerned with the non-colinear impact of two elastic

spheres of similar materials. It is convenient to restrict attention to the

case of a sphere impacting a half-space, since the more general problem

presents no new features. It will be assumed that the coefficient of sliding

friction ~1 between the surfaces is a constant and that friction is the only

source of energy dissipation (and hence that the coefficient of restitution

in a normal impact is unity).

The elementary approach to this problem is to neglect the elastic

displacements of the solids, in which case only two conditions can be distin-
guished: (i) sliding and (ii) rolling of the sphere on the plane. Sliding will

generally occur at the start of the impact, but an opposing frictional force

will be set up tending to reduce the sliding velocity. If this velocity reaches

zero during the impact, sliding will give way to rolling and the frictional

force will fall instantaneously to zero. Once rolling is established, it will

persist to the end of the impact.

The elastic displacements during impact will generally be small in

comparison with the dimensions of the solids, but they introduce new

possibilities which cannot be accommodated within the elementary theory.

102

The work done in producing tangential displacements is stored as elastic

strain energy in the solids and is therefore recoverable under suitable circum-
stances. Also, the tangential displacement is not necessarily constant

throughout the contact area and it is possible to generate conditions in

which some regions are in sliding contact whilst others are stuck. For

example, Mindlin [l] treats the case in which two spheres are pressed

together with a constant normal force P and then subjected to a tangential

force F. If F > pP sliding occurs throughout the contact region, but for

lower values of F a central circular region remains stuck whilst sliding or

microslip occurs in the surrounding annulus.

During an impact, conditions are considerably more complex than this,

since the contact area is continually changing. When it is increasing, new

regions of contact will be laid down free of tangential stress, but changes in

the applied tangential force will involve a redistribution of stress. In a more

recent paper, Mindlin and Deresiewicz [2] considered a wide range of

problems involving varying normal and tangential forces and emphasised

that the response of the system to small changes depends upon the whole

previous loading history. For this reason, they restricted their attention to

cases in which the initial state was reached by applying first the normal

force and then the tangential force.

In the impact problem, the tangential loading history is not known a

priori since it depends on the interaction between the compliance of the

contact and. the motion of the spheres. This difficulty can be overcome in a

numerical solution by advancing through the period of the impact in small

discrete time increments. Starting from known values of normal and tangen-
tial velocity, the displacements in a time increment can be found and these

define the boundary conditions of the instantaneous contact problem. The

changes in velocity components during the time increment are then found

from the contact forces by considerations of momentum.

In a previous publication [ 31 the method of Mindlin and Deresiewicz

was used to solve each of the incremental contact problems in such a proce-
dure. However, with this method the state after the nth step is described

as the sum of n irreducible components. In other words, the previous history

of the system has to be continuously available at each step and this places

a limit on the number of time increments which can conveniently be used.

The previous history of the system only influences the instantaneous

behaviour in so far as it determines the locked-in tangential displacements

in those regions of the contact area which are stuck. Hence, if the distribu-
tion of tangential displacement (and/or traction) can be approximated by a

suitable series of functions, the amount of information carried through the

procedure will be independent of the number of time increments used. This

is the method used in this paper. The results from the two methods have

been found to agree closely in cases to which both can be applied.

2. Solution

We divide the potential contact region by a series of n equi-spaced con-
centric circles of radius ai/n (i = l,..., n) which define the limits of a series

of tangential traction distributions such that the total traction in the d’irec-
tion of the tangential motion at a radius r is

f(F) = 5 k (I- $ )"'

where j is the smallest integer greater than nr/a. Any series form could have

been used for the distribution of traction but this representation, owing

something to Mindlin’s analytic solutions [ 1, 21, possesses the two virtues

of giving analytically tractable expressions for tangential displacements and

of including the exact solution for the condition of gross slip as a special

case. An integral form of eqn. (1) has been explored to some advantage

by Segedin [4] in connection with the normal indentation problem.

One equation for determining the n coefficients fi can be obtained from

each of the II annuli. In stick regions the tangential displacement due to f(r)

is prescribed, whilst in slip regions f(r) = f Mp(r), where p(r) is the local nor-
mal contact pressure.

We therefore assume a provisional division into stick and slip regions,

solve the appropriate equations, and test the solution to see whether the ini-
tial assumption was correct. In stick regions the tangential traction must be

below the limits at which slip occurs, whereas in slip regions the relative

incremental displacement must be in the correct sense for the assumed

frictional traction. If these tests fail in any region, the assumption in that

region is changed and a new solution is obtained. Convergence is rapid.

2.1. The normal contact problem

Since the materials of the two solids are similar, the symmetry of the

system guarantees that the normal contact problem is unaffected by tangen-
tial tractions and hence the Hertzian theory can be used. If, at some instant

during the impact, the relative normal approach at the contact is u,, the

contact radius will be

b = (Ru,)~‘~ (2)

whilst the contact pressure distribution will be

P(r) =

= 0 r> b

where R is the radius of the sphere and G, v are respectively the modulus of

rigidity and Poisson’s ratio for the material [ 51. This corresponds to a total

force

P=

3R(l -v) (4)

i=j

2G(b2 - F2)1’2 o < r < b

nR(l-u) ’ . (3)

4b3G

104

Assuming that P remains constant over a small time increment 6 t, the change

in the normal component of velocity u, during the time increment will be

&J*= -

where M is the mass of the sphere. If u, is assumed constant during the time

increment, the change in the relative normal approach will be

su, = v*6 t (6)

Note that the duration of the impact is given by

t = 4 I’(2/5) .1’2 C2R

+ 2.9432 C2R/q

whilst the maximum contact radius is

a = CR (8)

where

c= 15Mu2. (1 -v)

I t

and u1 is the normal component of the velocity of the sphere at incidence

[ 51 . Equation (7) provides a useful check on the accuracy of the numerical

integration procedure based on eqns. (2), (5) and (6).

2.2. The tangen tiul con tat t problem

We first find the tangential displacements* due to a distribution of trac-
tion of the form

f(r) = (1 - r2/b2)1’2 0 S r < b

= 0 r> b I

obtaining

u, = & (2(2 - v)(2b2 - r2) + vr2 cos 20) O

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สรุป คือพัฒนาโซลูชันสำหรับผลกระทบ oblique ของทรงกลมมีความยืดหยุ่นใน ครึ่งช่องว่าง ใช้ทฤษฎี Hertzian ผลกระทบสำหรับการปกติ compo-nents ของแรง และความเร็ว และสันนิษฐานว่า ในพื้นที่ประกอบด้วย ผสาน และภูมิภาค ในหลังที่ลื่นไถลสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทาน เป็นค่าคง ปัญหาค่าขอบผสมสำหรับ tangential tractions และ displacements จะลดลงเป็นระบบของสมการพร้อมด้วย แบ่งพื้นที่ชุด concentric annuli ของทรงกลมขึ้นอยู่กับสองมิติไม่เท่านั้น พารามิเตอร์: หนึ่งเกี่ยวข้องกับอุบัติการณ์ของมุมและอื่น ๆ เพื่อรัศมี ของ gyration ทฤษฎีตัวอย่างเข้มงวดผลกระทบให้เป็นสม approxi-แต่เป็น mation วิธีแน่นอนมากขึ้นที่สูง และต่ำสุดที่มุมของอุบัติการณ์ ใช้ที่ค่ากลาง - 1. บทนำ กระดาษนี้เกี่ยวข้องกับผลกระทบไม่ใช่ colinear ของยางยืด 2 รัฐบาลท้องถิ่นวัสดุคล้าย จำกัดความสะดวก กรณีของทรงกลมถึงครึ่งช่องว่าง ตั้งแต่ปัญหาทั่วไป นำเสนอคุณลักษณะใหม่ไม่ มันจะทึกทักเอาที่ค่าสัมประสิทธิ์ของการเลื่อน แรงเสียดทาน ~ 1 ระหว่างพื้นผิวเป็นค่าคง และแรงเสียดทานที่ เดียว แหล่งที่มาของการกระจายพลังงาน (และดังนั้นที่ค่าสัมประสิทธิ์ restitution ค่ะปกติได้ความสามัคคี) วิธีประถมศึกษาปัญหานี้คือการ ละเลยการยืดหยุ่น displacements ของของแข็ง ที่สองเงื่อนไขกรณีสามารถ distin-guished: (i) เลื่อน และ (ii) กลิ้งของทรงกลมบนเครื่องบิน จะเลื่อน โดยทั่วไปเกิดขึ้นที่จุดเริ่มต้นของผลกระทบ แต่การบังคับ frictional ฝ่ายตรงข้าม จะตั้งค่าแนวเพื่อ ลดความเร็วการเลื่อน ถ้าถึงเร็วนี้ ศูนย์ระหว่างผลกระทบ บานเลื่อนจะทำให้วิธีการกลิ้งและการ frictional แรงจะตก instantaneously เป็นศูนย์ เมื่อสำเร็จการกลิ้ง จะ การคงอยู่ของผลกระทบ Displacements ยืดหยุ่นระหว่างผลกระทบโดยทั่วไปจะเล็ก เปรียบเทียบกับขนาดของของแข็ง แต่พวกเขาแนะนำใหม่ ไปซึ่งไม่สามารถอาศัยในทฤษฎีระดับประถมศึกษา 102 จัดเก็บงานที่ทำในการผลิต tangential displacements เป็นยางยืด สายพันธุ์พลังงานในของแข็งนั้น จึงได้รับคืนภายใต้ circum เหมาะ -ขยายตัว ยัง แทน tangential ไม่จำเป็นต้องคง ทั้งในพื้นที่และจะสามารถสร้างเงื่อนไขใน ที่บางภูมิภาคในเลื่อนติดต่อในขณะที่คนอื่น ๆ จะติดอยู่ได้ สำหรับ ตัวอย่าง กรณีที่มีกดทรงกลมสองปฏิบัติต่อ Mindlin [l] กับปกติคงแรง P แล้ว ต้องเป็น tangential บังคับนี่ ถ้า F > pP เลื่อนเกิดขึ้น ทั่วภูมิภาคติดต่อ แต่สำหรับ ต่ำกว่าค่าของ F ภาคหมุนเวียนยังคงติดขณะเลื่อน หรือ microslip เกิดขึ้นใน annulus รอบ ผลกระทบ เงื่อนไขจะมากความซับซ้อนมากกว่านี้ เนื่องจากพื้นที่มีอย่างต่อเนื่องมีการเปลี่ยนแปลง เมื่อเป็นมากขึ้น ใหม่ ภูมิภาคของผู้ติดต่อจะวางลงไม่เครียด tangential แต่การเปลี่ยนแปลงใน แรง tangential ใช้จะเกี่ยวข้องกับซอร์สของความเครียด ในอื่น ๆ ล่าสุดกระดาษ Mindlin และ Deresiewicz [2] ถือว่าหลากหลาย ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับแตกต่างกันปกติ และ tangential บังคับ และ emphasised ว่า การตอบสนองของระบบเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยขึ้นอยู่กับทั้งหมด ก่อนหน้านี้โหลดประวัติ ด้วยเหตุนี้ พวกเขาจำกัดความสนใจของพวกเขา กรณีที่ถึงสถานะเริ่มต้น โดยการใช้ครั้งแรกปกติ กองทัพ แล้วกองทัพ tangential ในปัญหาผลกระทบ ประวัติ tangential โหลดไม่ทราบ แรกสุดเนื่องจากขึ้นอยู่กับการโต้ตอบระหว่างการปฏิบัติการ ติดต่อ and. การเคลื่อนไหวของท้องถิ่น ปัญหานี้สามารถเอาชนะในการ แก้ปัญหาตัวเลข โดยเลื่อนผ่านรอบระยะเวลาของผลกระทบในขนาดเล็ก ด้วยการเพิ่มเวลาไม่ต่อเนื่อง เริ่มจากรู้จักค่าปกติและ tangen-ความเร็ว tial, displacements ในเวลาสามารถพบได้เพิ่มขึ้น และเหล่านี้ กำหนดเงื่อนไขขอบเขตของปัญหาติดต่อกำลัง ที่ เปลี่ยนแปลงในส่วนประกอบของความเร็วระหว่างการเพิ่มขึ้นของเวลาอยู่แล้ว จากกองกำลังติดต่อโดยพิจารณาโมเมนตัม ในการเผยแพร่ก่อนหน้านี้ [31 วิธี Mindlin และ Deresiewicz ใช้ในการแก้ปัญหาแต่ละปัญหาติดต่อเพิ่มขึ้นในดังกล่าวเป็น procedure อย่างไรก็ตาม ด้วยวิธีนี้ รัฐหลังจากขั้นตอนได้อธิบายไว้ เป็นผลรวมของส่วนประกอบอย่างต่ำ n ในคำอื่น ๆ ประวัติก่อนหน้านี้ ของระบบได้อย่างต่อเนื่องพร้อมใช้งานในแต่ละขั้นตอนและสถานนี้ วงเงินจำนวนน้อยเวลาซึ่งสามารถใช้บริการ ประวัติก่อนหน้านี้ของระบบเท่านั้นมีผลต่อกำลังการ การล็อกใน tangential displacements กำหนดพฤติกรรมในที่ไกล ในภูมิภาคเหล่านั้นของการติดต่อซึ่งจะติดอยู่ ดังนั้น ถ้า distribu -สเตรชันของ tangential แทน (หรือลาก) สามารถหาค่าประมาณโดยการ ชุดที่เหมาะสมของฟังก์ชัน จำนวนข้อมูลที่ดำเนินการได้ กระบวนจะขึ้นอยู่กับจำนวนเวลาทีใช้ นี้ เป็นวิธีการที่ใช้ในเอกสารนี้ ผลลัพธ์จากวิธีการสองได้ พบเห็นอย่างใกล้ชิดในกรณีที่ทั้งสองสามารถใช้ 2. โซลูชั่น เราแบ่งภูมิภาคการติดต่อเป็นไป โดยชุดของ n ระยะ equi คอน-วงขอบของรัศมี ไอ/n (ฉัน = l,..., n) ซึ่งกำหนดขีดจำกัดของชุด ของการกระจาย tangential ลากให้ลากทั้งหมดใน d'irecสเตรชันของเคลื่อนไหว tangential ที่มีรัศมี r คือ f(F) = 5 k (I-$) "' ที่ j เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดมากกว่า nr / ตัว แบบฟอร์มชุดใด ๆ ได้ ถูกใช้สำหรับการกระจายลากแต่การแสดงนี้ owing บางสิ่งบางอย่างเพื่อแก้ไขปัญหาคู่ของ Mindlin [1, 21 มีคุณค่าสอง การให้ analytically tractable นิพจน์สำหรับ tangential displacements และ ของรวมทั้งการแก้ปัญหาที่แน่นอนสำหรับเงื่อนไขการจัดส่งรวมเป็นพิเศษ กรณี แบบที่เป็นของ eqn (1) มีการสำรวจเพื่อประโยชน์บาง โดย Segedin [4] กับปัญหาย่อหน้าปกติ สมการหนึ่งกำหนดสัมประสิทธิ์ n fi สามารถได้รับจาก ละ II annuli ในติดภูมิภาคแทน tangential เนื่องจาก f(r) มีกำหนด ในขณะที่อยู่ใน f(r) พื้นที่การจัดส่ง = f Mp(r), p(r) อยู่ที่ท้องถิ่น หรือ -ความกดดันติดต่ออัป นอกจากนี้เราจึงสมมติส่วนสำรองในภูมิภาคการติดและการจัดส่ง แก้สมการที่เหมาะสม และทดสอบการแก้ปัญหาเพื่อดูว่า ini -อัสสัมชัญ tial ได้ถูกต้อง ในภูมิภาคติด ลาก tangential ต้อง ต่ำกว่าขีดจำกัดในการจัดส่งเกิดขึ้น ในขณะที่ในการจัดส่งภาคญาติ ปริมาณกระบอกสูบเพิ่มขึ้นต้องอยู่ในความถูกต้องในการสันนิษฐาน ลาก frictional ถ้าทดสอบเหล่านี้ล้มเหลวในทุกภูมิภาค อัสสัมชัญในที่ มีการเปลี่ยนแปลงภูมิภาค และปัญหาได้รับ บรรจบกันได้อย่างรวดเร็ว 2.1.ปัญหาติดต่อปกติ เนื่องจากวัสดุของแข็งสองคล้ายกัน สมมาตรของการ ระบบรับประกันว่า ปัญหาติดต่อปกติไม่ถูกกระทบ โดย tangen-tial tractions และดังนั้น สามารถใช้ทฤษฎี Hertzian ถ้า ที่บางทันที during the impact, the relative normal approach at the contact is u,, the contact radius will be b = (Ru,)~‘~ (2) whilst the contact pressure distribution will be P(r) = = 0 r> b where R is the radius of the sphere and G, v are respectively the modulus of rigidity and Poisson’s ratio for the material [ 51. This corresponds to a total force P= 3R(l -v) (4) i=j 2G(b2 - F2)1’2 o < r < b nR(l-u) ’ . (3) 4b3G 104 Assuming that P remains constant over a small time increment 6 t, the change in the normal component of velocity u, during the time increment will be &J*= - where M is the mass of the sphere. If u, is assumed constant during the time increment, the change in the relative normal approach will be su, = v*6 t (6) Note that the duration of the impact is given by t = 4 I’(2/5) .1’2 C2R + 2.9432 C2R/q whilst the maximum contact radius is a = CR (8) where c= 15Mu2. (1 -v) I t and u1 is the normal component of the velocity of the sphere at incidence [ 51 . Equation (7) provides a useful check on the accuracy of the numerical integration procedure based on eqns. (2), (5) and (6). 2.2. The tangen tiul con tat t problem We first find the tangential displacements* due to a distribution of trac-tion of the form f(r) = (1 - r2/b2)1’2 0 S r < b = 0 r> b I obtaining u, = & (2(2 - v)(2b2 - r2) + vr2 cos 20) O=L /2(2-v)[(2b2-r’)arcsin (F) +b(r2-b2)‘j2/+ 8Gb I 4b3G6 t 3MR(l -v) 5 r(9/10) y (7) 1’5 16GR3 (9) (10) (11) *The term displacement is used to refer to the combined displacement of the two solids. in the direction of the traction and 7wr2 sin 28 u,= O- 8~b 1 r’2 arcsin (-) + “3b2 -:22)“’ - b2)1’2 sin 28 16Gb r> b in the tangential direction perpendicular to the traction. The polar coordi-nate 0 is measured from the positive x axis. The expressions for 0 < r < b are given by Mindlin [l] and those for r > b can be found by a similar method. The corresponding expressions for the traction distribution of eqn. (1) are readily obtained by writing ai/n for b in eqns. (11) and (12). It will be observed that these expressions contain non-axisymmetric terms in sin 26 and cos 28 and therefore it is not generally possible to satisfy the prescribed tangential displacement conditions using a series of the form of eqn. (1). However, it would be possible to do so if these terms could be neglected. This procedure can be justified on the following grounds. (i) The terms in question are small. For example, in the first of eqns. (11) the term in cos 28 adds at the worst points only + 9% to the correspond-ing terms in r2, for v = 0.3. (ii

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สรุปวิธีการแก้ปัญหาการพัฒนาสำหรับผลกระทบเอียงของทรงกลมยืดหยุ่นในครึ่งพื้นที่ ทฤษฎี Hertzian ของผลกระทบที่จะใช้สำหรับส่วนประกอบปกติnents ของแรงและความเร็วและมันจะสันนิษฐานว่าพื้นที่ติดต่อประกอบด้วยเกาะและการลื่นไถลภูมิภาคในหลังจากที่ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานเป็นค่าคงที่ ปัญหาค่าขอบเขตผสมสำหรับ tractions วงและกระจัดจะลดลงไประบบของสมการพร้อมกันโดย. แบ่งพื้นที่ติดต่อลงในชุดของ annuli ศูนย์กลางเส้นทางการเคลื่อนที่ของทรงกลมขึ้นอยู่กับเพียงสองไม่ใช่มิติพารามิเตอร์หนึ่งที่เกี่ยวข้องกับมุมอุบัติการณ์และอื่น ๆ เพื่อให้รัศมีของการหมุน ทฤษฎีร่างกายแข็งที่เรียบง่ายของผลกระทบให้เหมาะสมโดยประมาณmation กับวิธีการที่แน่นอนมากขึ้นในมุมที่ต่ำและสูงของอุบัติการณ์ แต่เป็นที่น่าพอใจที่ค่ากลาง. - 1 บทนำบทความนี้เป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับผลกระทบที่ไม่ colinear สองยืดหยุ่นทรงกลมของวัสดุที่คล้ายกัน มันจะสะดวกในการ จำกัด การให้ความสนใจกับกรณีของทรงกลมส่งผลกระทบต่อครึ่งพื้นที่เนื่องจากปัญหาทั่วไปมากขึ้นนำเสนอไม่มีคุณสมบัติใหม่ มันจะได้รับการสันนิษฐานว่าค่าสัมประสิทธิ์ของการเลื่อนแรงเสียดทาน ~ 1 ระหว่างพื้นผิวเป็นค่าคงที่และแรงเสียดทานที่เป็นเพียงแหล่งที่มาของการกระจายพลังงาน(และด้วยเหตุที่ค่าสัมประสิทธิ์ของการชดใช้ความเสียหายในผลกระทบที่ตามปกติคือความสามัคคี). วิธีการประถมศึกษาเพื่อแก้ไขปัญหานี้ คือการละเลยยืดหยุ่นกระจัดของของแข็งซึ่งในกรณีนี้เพียงสองเงื่อนไขสามารถแยกความแตกต่างguished: (i) การเลื่อนและ (ii) การหมุนของทรงกลมบนเครื่องบิน จะเลื่อนโดยทั่วไปเกิดขึ้นในช่วงเริ่มต้นของผลกระทบแต่แรงเสียดทานของฝ่ายตรงข้ามจะถูกกำหนดขึ้นพุ่งไปลดความเร็วเลื่อน ถ้าความเร็วนี้ถึงศูนย์ในช่วงผลกระทบเลื่อนจะให้วิธีการกลิ้งและเสียดทานแรงจะลดลงทันทีที่จะเป็นศูนย์ เมื่อกลิ้งเป็นที่ยอมรับก็จะยังคงมีอยู่ในส่วนท้ายของผลกระทบ. displacements ยืดหยุ่นในช่วงผลกระทบโดยทั่วไปจะมีขนาดเล็กในการเปรียบเทียบกับขนาดของของแข็งแต่พวกเขาแนะนำใหม่ความเป็นไปได้ที่ไม่สามารถอาศัยอยู่ภายในทฤษฎีเบื้องต้น. 102 การทำงาน ทำในการผลิต displacements วงจะถูกเก็บเป็นความยืดหยุ่นพลังงานความเครียดในของแข็งและดังนั้นจึงเป็นคืนภายใต้สภาวะแวดล้อมที่เหมาะสมสถานการณ์ นอกจากนี้การกำจัดวงไม่จำเป็นต้องคงที่ตลอดทั้งพื้นที่ติดต่อและมันก็เป็นไปได้ที่จะสร้างเงื่อนไขในการที่พื้นที่บางส่วนอยู่ในการเลื่อนการติดต่อขณะที่คนอื่นจะติดอยู่ สำหรับตัวอย่างเช่น Mindlin [L] ปฏิบัติในกรณีที่สองทรงกลมถูกกดด้วยกันด้วยแรงคงที่P ปกติแล้วยัดเยียดให้วงแรงเอฟถ้าF> pP เลื่อนเกิดขึ้นทั่วทั้งภูมิภาคติดต่อ แต่สำหรับค่าที่ต่ำกว่าของเอฟภาคกลางวงกลมยังคงติดอยู่ในขณะที่การเลื่อนหรือmicroslip เกิดขึ้นในห่วงโดยรอบ. ในระหว่างการส่งผลกระทบต่อสภาพการเป็นอย่างมากที่ซับซ้อนมากขึ้นกว่านี้เนื่องจากพื้นที่ติดต่อที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง เมื่อได้มีการเพิ่มขึ้นใหม่ในภูมิภาคของการติดต่อจะถูกวางลงฟรีของความเครียดวงแต่การเปลี่ยนแปลงในการบังคับใช้วงจะเกี่ยวข้องกับการกระจายของความเครียด ในอีกกระดาษที่ผ่านมา Mindlin และ Deresiewicz [2] การพิจารณาความหลากหลายของปัญหาที่เกี่ยวข้องกับกองกำลังที่แตกต่างกันตามปกติและการสัมผัสและเน้นย้ำว่าการตอบสนองของระบบที่มีการเปลี่ยนแปลงเล็กๆ ขึ้นอยู่กับทั้งประวัติศาสตร์โหลดก่อนหน้า ด้วยเหตุนี้พวกเขาถูก จำกัด ให้ความสนใจกับกรณีที่สถานะเริ่มต้นก็มาถึงโดยการใช้ครั้งแรกปกติแรงแล้วแรงวง. ในปัญหาที่เกิดขึ้นส่งผลกระทบต่อประวัติศาสตร์โหลดวงไม่ได้รู้จักกันเบื้องต้นเพราะมันขึ้นอยู่กับการทำงานร่วมกันระหว่างการปฏิบัติของการติดต่อและ การเคลื่อนไหวของทรงกลม ความยากลำบากนี้สามารถเอาชนะในการแก้ปัญหาโดยตัวเลขความก้าวหน้าผ่านช่วงเวลาของผลกระทบในขนาดเล็กที่เพิ่มขึ้นต่อเนื่องทางเวลา เริ่มจากค่าที่รู้จักกันปกติและ tangen- ความเร็ว TIAL การเคลื่อนที่เพิ่มขึ้นในเวลาที่สามารถพบและสิ่งเหล่านี้กำหนดเงื่อนไขขอบเขตของปัญหาการติดต่อทันที การเปลี่ยนแปลงในส่วนความเร็วในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นจะพบแล้วจากกองกำลังติดต่อโดยการพิจารณาของโมเมนตัม. ในการประกาศก่อนหน้านี้ [31 วิธีของ Mindlin Deresiewicz และถูกนำมาใช้ในการแก้ปัญหาแต่ละปัญหาติดต่อที่เพิ่มขึ้นดังกล่าวในตอนการdure แต่ด้วยวิธีการนี้รัฐหลังจากขั้นตอนที่ n จะถูกอธิบายเป็นผลรวมขององค์ประกอบที่ลดลงไม่ได้ที่n ในคำอื่น ๆ ประวัติศาสตร์ที่ผ่านมาของระบบจะต้องมีความพร้อมใช้งานอย่างต่อเนื่องในแต่ละขั้นตอนและสถานที่จำกัด เกี่ยวกับจำนวนของการเพิ่มขึ้นในเวลาที่สามารถใช้สิ่งอำนวยความสะดวก. ประวัติความเป็นมาก่อนหน้านี้ระบบเดียวที่มีอิทธิพลต่อทันทีพฤติกรรมไกลที่สุดเท่าที่มันกำหนดล็อคใน displacements วงในพื้นที่เหล่านั้นของพื้นที่ติดต่อที่จะติดอยู่ ดังนั้นถ้ากระจายการเคลื่อนที่ของวง (และ / หรือการลาก) สามารถประมาณโดยชุดที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นปริมาณของข้อมูลที่ดำเนินการผ่านขั้นตอนจะเป็นอิสระจากการเพิ่มขึ้นของจำนวนเวลาที่ใช้ นี้เป็นวิธีการที่ใช้ในการวิจัยนี้ ผลจากทั้งสองวิธีได้รับพบว่าเห็นด้วยอย่างใกล้ชิดในกรณีที่ทั้งสองสามารถนำมาใช้. 2 วิธีการแก้ปัญหาเราแบ่งภูมิภาคติดต่อที่อาจเกิดขึ้นโดยชุดของ n equi เว้นระยะอย่างต่อวงการศูนย์กลางรัศมีไอ/ n (i = ลิตร, ... , n) ซึ่งกำหนดขอบเขตของชุดที่ของการกระจายแรงดึงวงที่ดังกล่าวทั้งหมดลากในศิลปวัตถุ irec- การเคลื่อนไหวของวงที่รัศมี r คือf (F) = 5 k (I- $) "ที่เจเป็นจำนวนเต็มเล็กมากกว่าNR / a. รูปแบบชุดใด ๆ ที่จะได้ถูกนำมาใช้สำหรับการกระจายของแรงดึง แต่การแสดงนี้เนื่องจากสิ่งที่จะMindlin โซลูชั่นการวิเคราะห์ [1, 21, มีสองคุณธรรมของการให้การแสดงออกวิเคราะห์เวไนยสำหรับdisplacements วงและรวมทั้งการแก้ปัญหาที่แน่นอนสำหรับสภาพของใบขั้นต้นเป็นพิเศษกรณี. รูปแบบหนึ่งของสม. (1) ได้รับการสำรวจเพื่อประโยชน์บางอย่างโดยSegedin [4] ในการเชื่อมต่อที่มีปัญหาการเยื้องปกติ. หนึ่งสมการสำหรับการกำหนดค่าสัมประสิทธิ์ n ไฟสามารถได้รับจากแต่ละannuli II. ในภูมิภาคติดวง การเคลื่อนที่เนื่องจากการ f (R) มีการกำหนดในขณะที่ในภูมิภาคใบ f (R) = ฉ Mp (R) ที่พี (R) เป็น nor- ท้องถิ่นmal แรงกดสัมผัส. ดังนั้นเราจึงถือว่าเป็นส่วนชั่วคราวเข้าไปติดและภูมิภาคลื่น , การแก้สมการที่เหมาะสมและทดสอบการแก้ปัญหาเพื่อดูว่าเริ่มแรกสมมติฐาน TIAL ถูกต้อง ในพื้นที่ติดฉุดวงจะต้องเป็นดังต่อไปนี้ข้อ จำกัด ที่เกิดขึ้นใบในขณะที่ในภูมิภาคสลิปญาติเคลื่อนที่ที่เพิ่มขึ้นจะต้องอยู่ในความรู้สึกที่ถูกต้องสำหรับสันนิษฐานฉุดแรงเสียดทาน หากการทดสอบเหล่านี้ล้มเหลวในภูมิภาคใด ๆ สมมติฐานในการที่ภูมิภาคมีการเปลี่ยนแปลงและโซลูชั่นใหม่ที่จะได้รับ Convergence เป็นอย่างรวดเร็ว. 2.1 ปัญหาที่เกิดขึ้นติดต่อปกติเนื่องจากวัสดุของทั้งสองของแข็งที่มีความคล้ายคลึงสมมาตรของระบบรับประกันว่าปัญหาติดต่อปกติรับผลกระทบจากtangen- tractions TIAL และด้วยเหตุนี้ทฤษฎี Hertzian สามารถนำมาใช้ ถ้าในทันทีบางช่วงผลกระทบวิธีการปกติญาติที่ติดต่อเป็นยู ,, รัศมีจะได้รับการติดต่อb = (Ru) ~ '~ (2) ในขณะที่การกระจายแรงกดสัมผัสจะเป็นP (R) = = 0 อา> ขที่R คือรัศมีของทรงกลมและจีวีเป็นลำดับโมดูลัสของความแข็งแกร่งและอัตราของปัวซองสำหรับวัสดุ[51 นี้สอดคล้องกับรวมแรงP = 3R (ฏ -v) (4) i = เจ2G (b2 - F2) 1'2 o <อาร์ <b NR (ลู) (3) 4b3G 104 สมมติว่า P ยังคงเพิ่มขึ้นในช่วงเวลาเล็กที 6 การเปลี่ยนแปลงในองค์ประกอบของความเร็วปกติยูในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้นจะเป็น& J * = - ที่ M คือมวลของทรงกลม ถ้ามึงจะถือว่าคงที่ในช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น, การเปลี่ยนแปลงในวิธีการปกติญาติจะเป็นซู= โวลต์ * 6 ตัน (6) โปรดทราบว่าระยะเวลาของผลกระทบที่จะได้รับจากt = 4 ผม (2/5) .1'2 C2R + 2.9432 C2R / q ขณะที่รัศมีการติดต่อสูงสุดคือA = CR (8) ที่c = 15Mu2 (1 -v) I t และ u1 เป็นส่วนประกอบปกติของความเร็วของทรงกลมที่อุบัติการณ์[51 สมการ (7) มีการตรวจสอบความถูกต้องเป็นประโยชน์ของตัวเลขขั้นตอนบูรณาการบนพื้นฐานของeqns (2), (5) และ (6). 2.2 Tangen tiul นักโทษทททปัญหาทีแรกเราหาdisplacements วง * เนื่องจากมีการกระจายตัวของ trac- การของแบบฟอร์มf (R) = (1 - r2 / b2) 1'2 0 เอสอาร์ <b = 0 อา> ข ฉันได้รับมึง= & (2 (2 - โวลต์) (2B2 - r2) + vr2 cos 20) O



















































































































































































































































































= L / 2 (2-V) [(2B2-R ') arcsin (F) + B (r2-b2) j2 / + 8Gb ฉัน4b3G6 เสื้อ3MR (ฏ -v) 5 R (9/10) Y ( 7) 1'5 16GR3 (9) (10) (11) * แทนที่คำที่ใช้ในการอ้างถึงการเคลื่อนที่รวมกันของทั้งสองของแข็ง. ในทิศทางของการลากและ7wr2 บาป 28 มึง = O




























- 8 ~ ข 1 r'2 arcsin (-) + "3B2 -: 22)" - b2) 1'2 บาป 28 16Gb R> ขในทิศทางที่ตั้งฉากกับวงลาก ประสานงานขั้วโลกเนท 0 จะวัดจากแกน x บวก การแสดงออก 0 <ร <b จะได้รับจากMindlin [L] และผู้อา> ขสามารถพบได้โดยวิธีการที่คล้ายกัน. นิพจน์ที่สอดคล้องกันสำหรับการกระจายแรงฉุดของสมการ (1) จะได้รับได้อย่างง่ายดายโดยการเขียนไอ/ n สำหรับขใน eqns (11) และ (12). ก็จะมีการตั้งข้อสังเกตว่าการแสดงออกเหล่านี้มีที่ไม่สมมาตรตามแนวแกนแง่บาป 26 และ cos 28 และดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้โดยทั่วไปจะตอบสนองเงื่อนไขการกำจัดวงที่กำหนดโดยใช้ชุดรูปแบบของสมการ (1) แต่มันจะเป็นไปได้ที่จะทำเช่นนั้นถ้าเงื่อนไขเหล่านี้อาจจะถูกละเลย ขั้นตอนนี้สามารถเป็นธรรมในพื้นที่ดังต่อไปนี้. (i) เงื่อนไขในคำถามที่มีขนาดเล็ก ยกตัวอย่างเช่นในครั้งแรกของ eqns. (11) คำใน cos 28 เพิ่มที่จุดที่เลวร้ายที่สุดเท่านั้น + 9% ไป correspond- แง่ไอเอ็นจีใน r2 สำหรับ V = 0.3. (ii

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สรุป

เป็นโซลูชั่นที่พัฒนาสำหรับผลกระทบเฉียงของทรงกลมยืดหยุ่นบน

ครึ่งพื้นที่ จากการสั่นพ้องแบบทฤษฎีผลกระทบ ใช้ ปกติ คอมโป -
nents แรงและความเร็ว และสันนิษฐานว่าเป็นบริเวณติดต่อประกอบด้วย

ติดและลื่นไถลภูมิภาค ในส่วนหลัง ซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์ของความเสียดทาน

จะคงที่ ปัญหาค่าขอบแบบผสมสำหรับสัมผัส tractions

สูงสุดและลดระบบสมการพร้อมกันด้วย

แบ่งพื้นที่ติดต่อเป็นชุดของศูนย์กลาง annuli .

วิถีของทรงกลมขึ้นอยู่กับเพียงสองมิติ

ไม่ใช่ตัวแปรหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับมุมตกกระทบและอื่น ๆรัศมี

ของการโคจร . ร่างกายแข็งง่ายทฤษฎีผลกระทบให้ approxi
- สมเหตุสมผลดาวน์โหลดวิธีการที่แน่นอนมากขึ้นในมุมสูงและต่ำของอุบัติการณ์ แต่

ไม่พอใจที่ค่าระดับกลาง

-

1 บทนำ

บทความนี้เกี่ยวข้องกับผลกระทบของการไม่ colinear สองยาง

ทรงกลมของวัสดุที่คล้ายกัน . มันสะดวกที่จะ จำกัด การ

กรณีของครึ่งทรงกลมที่มีพื้นที่ตั้งแต่ทั่วไปปัญหา

ของขวัญไม่มีคุณสมบัติใหม่มันจะสันนิษฐานว่าค่า

~ 1 เลื่อนแรงเสียดทานระหว่างพื้นผิวเป็นค่าคงที่ และแรงเสียดทาน เป็นเพียงแหล่งที่มาของการสลายพลังงาน

( และดังนั้นค่าชดใช้

ในผลกระทบปกติคือความสามัคคี )

ศึกษาแนวทางแก้ปัญหานี้คือละเลยยาง

เปลี่ยนตำแหน่งของของแข็ง ซึ่งในกรณีนี้ เพียงสองเงื่อนไขสามารถ distin -
guished :( 1 ) บานเลื่อน ( 2 ) การกลิ้งของทรงกลมบนเครื่องบิน เลื่อน

โดยทั่วไปจะเกิดขึ้นในช่วงเริ่มต้นของผลกระทบ แต่ตรงข้าม แรงเสียดทาน

จะตั้งค่าพุ่งลดเลื่อนความเร็ว ถ้าความเร็วนี้ถึง

ศูนย์ระหว่างผลกระทบเลื่อนจะให้วิธีการรีดและแรงเสียดทาน

แรงจะตก ไปที่ศูนย์ เมื่อกลิ้งได้ก่อตั้ง มันจะ

ยังคงมีการสิ้นสุดของผลกระทบ

ยางเสียรูประหว่างผลกระทบมักจะมีขนาดเล็กใน

เปรียบเทียบกับขนาดของของแข็ง แต่พวกเขาแนะนำใหม่

เป็นไปได้ซึ่งไม่สามารถพักในเบื้องต้น ทฤษฎี

3

ทำงานในการผลิตสูงสุดจะถูกเก็บไว้เป็นแนวยาง

พลังงานความเครียดในของแข็งและดังนั้นจึงใช้ตามเหมาะสมรอบ
ท่า . นอกจากนี้ การสัมผัสไม่จําเป็นต้องคงที่

ตลอดพื้นที่ติดต่อและเป็นไปได้ที่จะสร้างเงื่อนไขใน

ซึ่งบางพื้นที่อยู่ในเลื่อนคนอื่นในขณะที่ติดต่อติดอยู่ สำหรับ

เช่น มินด์ลิน [ L ] ถือว่าในกรณีที่ทรงกลมทั้งสองกด