Let A, B, C, D be any multitude wha

Let A, B, C, D be any multitude whatsoever of continuously proportional numbers. And let the outermost of them, A and D, be prime to one another. I say that A, B, C, D are the least of those (numbers) having the same ratio as them.
For if not, let E, F, G, H be less than A, B, C, D (respectively), being in the same ratio as them. And since A, B, C, D are in the same ratio as E, F, G, H, and the multitude [of A, B, C, D] is equal to the multitude [of E,G, H], thus, via equality, as A is to D, (so) E (is) to H [Prop. 7.14]. And A and D (are) prime (to one another). And prime (numbers are) also the least of those (numbershaving the same ratio as them) [Prop. 7.21]. And the least numbers measure those (numbers) having the same ratio (as them) an equal number of times, the greater (measuring) the greater, and the lesser the lesser—that is to say, the leading (measuring) the leading, and the following the following [Prop. 7.20]. Thus, A measures E, the greater (measuring) the lesser. The very thing is impossible. Thus, E, F, G, H, being less than A, B, C, D, are not in the same ratio as them. Thus, A, B, C, D are the least of those (numbers) having the same ratio as them. (Which is) the very thing it was required to show.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ A, B, C, D เป็นฝูงใด ๆ ใด ๆ ของตัวเลขสัดส่วนอย่างต่อเนื่อง และให้ชั้นนอกของพวกเขา และ D เป็นนายกกัน ผมบอกว่า A, B, C, D น้อยที่สุด (เลข) ที่มีอัตราส่วนเดียวกันเป็นไป
สำหรับถ้าไม่ ให้ E, F, G, H มีค่าน้อยกว่า A, B, C, D (ตามลำดับ), อยู่ในอัตราส่วนเดียวกันเป็นไป และเนื่อง จากเป็นอัตราส่วนเดียวกันเป็น E, F, G, H, A, B, C, D และความหลากหลาย [ของ A, B, C, D] จะเท่ากับหลากหลาย [E, G, H], ดังนั้น ทางความเสมอภาค เป็น A D, (ให้) E (มี) H [Prop. 7.14] และ A และ D (มี) นายกรัฐมนตรี (เช่นกัน) และนายกรัฐมนตรี (เป็นเลข) ยังน้อยเหล่านั้น (numbershaving อัตราส่วนเดียวกันเป็นพวกเขา) [Prop. 7.21] และหมายเลขอย่างน้อยวัด (เลข) ที่มีอัตราส่วนเดียวกัน (เป็นคนของเวลา มากกว่า (วัด) ยิ่ง และน้อยกว่าที่น้อยกว่า – กล่าวคือ นำ (วัด) นำ และต่อไปนี้ต่อไปนี้ [Prop. 7.20] วัด A ดัง E มากกว่า (วัด) น้อยกว่า ในสิ่งที่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น E, F, G, H กำลังน้อย กว่า A, B, C, D อยู่ในอัตราส่วนเดียวกันเป็นไป ดังนั้น A, B, C D น้อยที่สุด (เลข) ที่มีอัตราส่วนเดียวกันเป็นไป (ซึ่งอยู่) ในสิ่งที่ถูกต้องแสดง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ให้ A , B , C , D เป็นฝูงเลยตามสัดส่วนอย่างต่อเนื่อง ตัวเลข และให้ด้านนอกของพวกเขา , และ D เป็นนายกอีก ฉันพูดได้ว่า A , B , C , D มีอย่างน้อยเหล่านั้น ( ตัวเลข ) มีอัตราส่วนเดียวกับพวกเขา
ถ้าไม่ให้ E , F , G , H จะน้อยกว่า A , B , C , D ( ตามลำดับ ) ในอัตราส่วนเดียวกับพวกเขา และตั้งแต่ A , B , C , D อยู่ในอัตราส่วนเดียวกับ E , F , G , H ,และฝูงชน [ A , B , C , D ] เท่ากับประชาชน [ e , G , H ] จึงผ่านความเสมอภาค เป็นคือ D ( ดังนั้น ) E ( มี ) h [ prop อบรม ] และ D ( ) นายกรัฐมนตรี ( อีกแบบหนึ่ง ) และนายก ( ตัวเลข ) น้อยผู้ ( numbershaving อัตราส่วนเดียวกับพวกเขา ) [ prop 7.21 ] และตัวเลขอย่างน้อยวัดนั้น ( ตัวเลข ) มีอัตราส่วนเดียวกัน ( พวกเขา ) เป็นจำนวนครั้งสูงกว่า ( วัด ) มากกว่า และ น้อยกว่าน้อยว่าาา ( วัด ) และต่อไปนี้ [ prop ดังต่อไปนี้ 7.20 ] ดังนั้น มาตรการ E สูงกว่า ( วัด ) น้อยกว่า สิ่งที่เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น , E , F , G , H , เป็นน้อยกว่า A , B , C , D , ไม่ได้อยู่ในอัตราส่วนเดียวกับพวกเขา ดังนั้น , A , B , C ,D เป็นอย่างน้อยของเหล่านั้น ( ตัวเลข ) มีอัตราส่วนเดียวกับพวกเขา ( ซึ่งเป็น ) สิ่งที่มันต้องโชว์