It is important to understand clear

It is important to understand clearly the manner in which propositions in the class-calculus are obtained from those in the propositional calculus. Consider, for example, the syllogism. We have p implies q and q implies r imply p implies r. Now put x is an a, x is a b, x is a c for p, q, r, where x must have some definite value, but it is not necessary to decide what value. We then find that if, for the value of x in question, x is an a implies x is a b, and x is a b implies x is a c, then x is an a implies x is a c. Since the value of x is irrelevant, we may vary x, and thus we find that if a is contained in b, and b in c, then a is contained in c. This is the class-syllogism. But in applying this process it is necessary to employ the utmost caution if fallacies are to be successfully avoided. In this connection it will be instructive to examine a point upon which a dispute has arisen between Schröder and Mr McColl[19]. Schröder asserts that if p, q, r are propositions, pq implies r is equivalent to the disjunction p or q implies r. Mr McColl admits that the disjunction implies the other, but denies the converse implication. The reason for the divergence is, that Schröder is thinking of propositions and material implication, while Mr McColl is thinking of propositional functions and formal implication. As regards propositions, the truth of the principle may be easily made plain by the following considerations. If pq implies r, then, if either p or q be false, the one of them which is false implies r, because false propositions imply all propositions. But if both be true, pq is true, and therefore r is true, and therefore p implies r and q implies r, because true propositions are implied by every proposition. Thus in any case, one at least of the propositions p and q must imply r. (This is not a proof, but an elucidation.) But Mr McColl objects: Suppose p and q to be mutually contradictory, and r to be the null proposition, then pq implies r but neither p nor q implies r. Here we are dealing with propositional functions and formal implication. A propositional function is said to be null when it is false for all values of x; and the class of x’s satisfying the function is called the null-class, being in fact a class of no terms. Either the function or the class, following Peano, I shall denote by Λ. Now let our r be replaced by ϕx, and our q by not-ϕx, where ϕx is any propositional function. Then pq is false for all values of x, and therefore implies Λ. Thus the above formula can only be truly interpreted in the propositional calculus: in the class-calculus it is false. This may be easily rendered obvious by the following considerations: Let ϕx, ψx, χx be three propositional functions. Then ϕx . ψx implies χx implies, for all vlues of x, that either ϕx implies χx or ψx implies χx. But it does not imply that either ϕx implies χx for all values of x, or ψx implies χx for all values of x. The disjunction is what I shall call a variable disjunction, as opposed to a constant one: that is, in some cases one alternative is true, in others the other, whereas in a constant disjunction there is one of the alternatives (thought it is not stated which) that is always true. Wherever disjunctions occur in regard to propositional functions, they will only be transformable into statements in the class-calculus in cases where the disjunction is constant. This is a point which is both important in itself and instructive in its bearings. Another way of stating the matter is this: In the proposition: If ϕx . ψx implies χx, then either ϕx implies χx or ψx implies χx, the implication indicated by if and then is formal, while the subordinate implications are material; hence the subordinate implications do not lead to the inclusion of one class in another, which results only from formal implication.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จำเป็นต้องเข้าใจลักษณะได้รับข้อเสนอในการเรียนแคลคูลัสจากประพจน์ พิจารณา เช่น syllogism ที่ เรามี p ถึง q และ q หมายถึง r imply p ถึง r ใส่ตอนนี้ x คือตัว a, x ข x เป็นตัว c สำหรับ p, q, r ที่ x ต้องมีค่าแน่นอนบาง แต่ไม่จำเป็นต้องตัดสินใจว่า ค่าอะไร เราแล้วพบว่าถ้า สำหรับค่าของ x ในคำถาม x คือการหมายถึง x เป็นข และ x คือ ขหมายถึง x เป็น แล้ว x เป็นการหมายถึง x เป็น เนื่องจากค่าของ x มีความเกี่ยวข้อง เราอาจแตกต่างกัน x และดังนั้น เราพบว่าถ้าที่อยู่ใน b และ b ใน c แล้วที่อยู่ใน c นี้เป็นชั้น-syllogism แต่ในการใช้กระบวนการนี้ จำเป็นต้องใช้ความระมัดระวังสูงสุดถ้า fallacies จะเสร็จเรียบร้อยแล้วหลีกเลี่ยง ในการเชื่อมต่อนี้ จะให้คำแนะนำการตรวจสอบจุดที่เกิดข้อพิพาทระหว่าง Schröder และนาย McColl [19] Schröder อ้างว่า ถ้า p, q, r เป็น propositions, pq หมายถึง r จะเท่ากับ disjunction p หรือ q หมายถึง r. McColl นายยอมรับว่า disjunction ในความหมายอื่น ๆ แต่ปฏิเสธความหมายสนทนา เหตุผลที่แตกต่างคือ ที่ Schröder คิดว่า propositions และวัสดุนัย ในขณะที่นาย McColl คิดว่า ฟังก์ชั่น propositional และนัยทางการ ส่วนข้อเสนอ ความจริงของหลักการอาจง่ายทำธรรมดา โดยพิจารณาต่อไปนี้ ถ้า pq หมายถึง r แล้ว ถ้า p หรือ q เป็นเท็จ หนึ่งของพวกเขาซึ่งเป็นเท็จหมายถึง r เนื่องจากเท็จ propositions นัยข้อเสนอทั้งหมด แต่ถ้าทั้งสองเป็นจริง pq เป็นจริง และดังนั้น r เป็นจริง และดังนั้น p ถึง r และ q r หมายถึงเนื่องจากข้อเสนอจริงมีนัยตามทุกข้อเสนอ ดังนั้น ในกรณีใด ๆ หนึ่งน้อย propositions p และ q ต้อง imply r. (นี้ไม่หลักฐาน แต่การ elucidation) แต่นาย McColl วัตถุ: สมมติว่า p และ q จะร่วมกัน ขัดแย้ง และ r จะ เสนอ null แล้ว pq หมายถึง r แต่ไม่ p หรือ q r หมายถึง ที่นี่เราจะจัดการกับฟังก์ชัน propositional และนัยอย่างเป็นทางการ ฟังก์ชัน propositional กล่าวได้ว่า null เมื่อเป็นเท็จสำหรับค่าทั้งหมดของ x และระดับชั้นของ x's พึงพอใจการทำงานเรียกว่า null-คลา เป็นของไม่มีในความเป็นจริง ฟังก์ชันหรือคลา ต่อ Peano ฉันจะแทนที่ โดยΛ ตอนนี้ ให้ r ของเราถูกแทนที่ โดย ϕx และ q ของเรา โดยไม่-ϕx ที่ ϕx เป็นฟังก์ชันใด ๆ propositional Pq เป็นเท็จสำหรับทุกค่าของ x แล้วจึง หมายถึงΛ ดังนั้น สูตรข้างต้นสามารถเฉพาะอย่างแท้จริงตีความในประพจน์การ: ในคลาสแคลคูลัส เป็นเท็จ นี้อาจได้แสดงผลชัดเจน โดยข้อควรพิจารณาดังต่อไปนี้: ให้ ϕx, ψx, χx เป็นฟังก์ชัน propositional สาม Φx แล้ว Ψx หมายถึง χx หมายถึง สำหรับ vlues ทั้งหมด x ว่า ϕx หมายถึง χx หรือ ψx หมายถึง χx แต่มันไม่ได้หมายความว่า ϕx หมายถึง χx สำหรับทุกค่าของ x หรือ ψx หมายถึง χx สำหรับทุกค่าของ x Disjunction ที่คือ สิ่งที่ผมจะเรียกแบบ disjunction แปร เมื่อเทียบกับแบบคง: คือ ในบางกรณี หนึ่งเป็นจริง คนอื่นอื่น ๆ ในขณะที่ในแบบ disjunction คง มีทางเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง (ความคิดที่ไม่ระบุที่) ที่มักจะเป็นจริง ทุก disjunctions เกิดขึ้นในเรื่องฟังก์ชั่น propositional พวกเขาจะ transformable เป็นงบในแคลคูลัสชั้นในกรณีที่ disjunction ที่คงเท่านั้น นี่คือจุดที่สำคัญในตัวเอง และให้คำแนะนำในของแบริ่ง อีกวิธีในการระบุเรื่องนี้คือ: ในโจทย์: ถ้า ϕx Ψx หมายถึง χx แล้ว ϕx ใดหมายถึง χx หรือ ψx หมายถึง χx เต๋าระบุถ้าแล้ว เป็นทางการ ในขณะที่ผลกระทบรอง วัสดุ ดังนั้น ผลกระทบรองไม่นำไปสู่การรวมชั้นที่หนึ่งในอีก ผลจากนัยอย่างเป็นทางการเท่านั้น

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะเข้าใจอย่างชัดเจนในลักษณะที่เสนอในชั้นแคลคูลัสจะได้รับจากผู้ที่อยู่ในแคลคูลัสเชิงประพจน์ พิจารณาเช่นการอ้างเหตุผล เรามีนัย P Q และ Q R นัยบ่งบอกนัย P R ใส่ตอนนี้ X คือที่ X คือ AB, x เป็น AC สำหรับ p, q, R, ที่ x ต้องมีค่าที่แน่นอนบางอย่าง แต่มันไม่จำเป็นที่จะตัดสินใจเลือกสิ่งที่คุ้มค่า จากนั้นเราจะพบว่าถ้าค่าของ x ในคำถามที่ X คือนัย X คือ AB และ x คือ AB นัย x เป็น AC แล้ว X คือนัย x เป็น C ตั้งแต่ค่าของ x คือไม่เกี่ยวข้องเราอาจแตกต่างกัน X และทำให้เราพบว่าถ้ามีอยู่ใน B และ B ใน C แล้วมีอยู่ใน C นี่คือระดับการอ้างเหตุผล แต่ในการประยุกต์ใช้กระบวนการนี้มันเป็นสิ่งจำเป็นที่จะใช้ความระมัดระวังสูงสุดถ้าล้มเหลวที่จะหลีกเลี่ยงที่ประสบความสำเร็จ ในการเชื่อมต่อนี้มันจะให้คำแนะนำในการตรวจสอบจุดตามที่มีข้อพิพาทเกิดขึ้นระหว่างSchröderและนาย McColl [19] Schröderอ้างว่าถ้า p, q วิจัยมีข้อเสนอ, PQ นัย R เทียบเท่ากับ P ร้าวฉานหรือ Q R หมายถึง นาย McColl ยอมรับว่าการหย่าที่มีความหมายอื่น ๆ แต่ความหมายปฏิเสธ Converse เหตุผลที่แตกต่างคือว่าSchröderเป็นความคิดของข้อเสนอและความหมายของวัสดุในขณะที่นาย McColl เป็นความคิดของฟังก์ชั่นประพจน์และความหมายอย่างเป็นทางการ ที่เกี่ยวกับข้อเสนอความจริงของหลักการอาจทำได้อย่างง่ายดายธรรมดาโดยการพิจารณาดังต่อไปนี้ ถ้าหมายถึง PQ R, แล้วถ้าอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ P Q เป็นเท็จที่หนึ่งของพวกเขาซึ่งเป็นเท็จหมายถึง R เพราะข้อเสนอที่เป็นเท็จบ่งบอกถึงข้อเสนอทั้งหมด แต่ถ้าทั้งสองจะเป็นจริง PQ เป็นความจริงและดังนั้นจึง R เป็นความจริงและดังนั้นจึงหมายถึง P R และ Q R หมายถึงเพราะข้อเสนอที่แท้จริงโดยนัยทุกเรื่อง ดังนั้นในกรณีใด ๆ อย่างน้อยหนึ่งของข้อเสนอ p และ q ต้องบ่งบอกถึง R (ซึ่งไม่ได้เป็นหลักฐาน แต่การชี้แจง.) แต่นาย McColl วัตถุ: p สมมติและ Q จะเป็นความขัดแย้งร่วมกันและ R จะเป็นเรื่องโมฆะแล้ว PQ นัย R แต่ไม่ P Q มิได้หมายถึง R ที่นี่เราจะจัดการกับฟังก์ชั่นประพจน์และความหมายอย่างเป็นทางการ ฟังก์ชั่นประพจน์มีการกล่าวถึงเป็นโมฆะเมื่อมันเป็นเท็จทุกค่าของ x; และระดับของความพึงพอใจของ X ฟังก์ชั่นที่เรียกว่าโมฆะระดับอยู่ในความเป็นจริงระดับของข้อตกลงไม่มี ทั้งฟังก์ชั่นหรือระดับต่อไปนี้อาโน่ฉันจะใช้แสดงโดยΛ ตอนนี้ให้เรา R ถูกแทนที่ด้วยφxและ Q ของเราโดยไม่φxที่φxเป็นฟังก์ชั่นประพจน์ใด ๆ แล้ว PQ เป็นเท็จทุกค่าของ x และดังนั้นจึงหมายถึงΛ ดังนั้นสูตรข้างต้นสามารถตีความได้อย่างแท้จริงในแคลคูลัสเชิงประพจน์: ในชั้นแคลคูลัสมันเป็นเท็จ นี้อาจจะกลายเป็นที่เห็นได้ชัดได้อย่างง่ายดายโดยการพิจารณาดังต่อไปนี้: Let φx, ψx, χxสามฟังก์ชั่นประพจน์ แล้วφx ψxนัยχxนัยสำหรับ vlues ทั้งหมดของ X ที่ทั้งφxนัยχxหรือψxนัยχx แต่มันก็ไม่ได้หมายความว่าทั้งφxนัยχxทุกค่าของ x หรือψxนัยχxทุกค่าของ x ร้าวฉานคือสิ่งที่ฉันจะเรียกร้าวฉานตัวแปรเมื่อเทียบกับค่าคงที่หนึ่ง: นั่นคือในบางกรณีทางเลือกหนึ่งที่เป็นความจริงในคนอื่น ๆ อื่น ๆ ในขณะที่ในการหย่าคงมีเป็นหนึ่งในทางเลือก (คิดว่ามันไม่ได้เป็น ซึ่งระบุไว้) ที่เป็นจริงเสมอ เมื่อใดก็ตามที่ disjunctions เกิดขึ้นในเรื่องที่เกี่ยวกับฟังก์ชั่นประพจน์พวกเขาเท่านั้นที่จะเข้ามาในงบ transformable ในชั้นแคลคูลัสในกรณีที่มีการหย่าจะคงที่ ตรงนี้คือจุดซึ่งเป็นทั้งที่สำคัญในตัวเองและให้คำแนะนำในแบริ่งของ วิธีการระบุเรื่องนี้ก็คือ: ในเรื่อง: ถ้าφx ψxนัยχxแล้วทั้งφxนัยχxหรือψxนัยχxหมายที่ระบุโดยถ้าเป็นแล้วอย่างเป็นทางการในขณะที่ผลกระทบต่อผู้ใต้บังคับบัญชาเป็นวัสดุ; ด้วยเหตุนี้ผลกระทบที่ผู้ใต้บังคับบัญชาไม่นำไปสู่การรวมของระดับหนึ่งในอีกซึ่งผลจากความหมายอย่างเป็นทางการ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะเข้าใจได้อย่างชัดเจน ลักษณะที่เสนอในชั้นเรียนแคลคูลัสได้จากในแคลคูลัสเชิงประพจน์ . พิจารณา เช่น การอ้างเหตุผล . เราได้ P หมายถึง Q และ Q แสดงเป็นนัยนัยตอนนี้ใส่ R P R X เป็น X คือ B , X เป็น C P , Q , R , X ต้องมีแน่นอนค่า แต่ไม่จําเป็นต้องตัดสินใจว่าค่าอะไร จากนั้นเราพบว่าถ้าค่าของ x ในคำถาม x เป็นบาง x เป็น B , และ X เป็น B เป็น C หมายถึง x แล้ว x เป็นบาง x เป็น C เนื่องจากค่าของ x ที่ไม่เกี่ยวข้อง เราอาจแตกต่างกัน x , ดังนั้นเราจึงพบว่า คือที่มีอยู่ใน B และ B C แล้วมีอยู่ใน C นี้เป็นชั้นเรียนการอ้างเหตุผล . แต่ในการใช้กระบวนการนี้จะต้องใช้ความระมัดระวังสูงสุด ถ้า fallacies จะได้หลีกเลี่ยง ในการเชื่อมต่อนี้จะให้ตรวจสอบจุดที่เป็นข้อพิพาทที่เกิดขึ้นระหว่าง schr ö der และนาย McColl [ 19 ] schr ö der อ้างว่าถ้า p , q , r เป็นข้อเสนอ , PQ หมายถึง R เทียบเท่ากับประพจน์เลือก P หรือ R . Q หมายถึงนาย McColl ยอมรับว่าประพจน์เลือกบางอื่น ๆแต่ ว่า นัย สนทนา . เหตุผลสำหรับความแตกต่างคือ ว่า schr ö der จะคิดข้อเสนอและความหมายวัสดุ ในขณะที่นาย McColl คิดของการทำงานเชิงประพจน์และเป็นทางการโดยปริยาย ส่วนเรื่อง ความจริงของหลักการอาจจะได้อย่างง่ายดายทำให้ธรรมดา โดยการพิจารณาดังต่อไปนี้ ถ้า PQ หมายถึง R แล้ว ถ้า P หรือ q เป็นเท็จ หนึ่งของพวกเขาซึ่งเป็นเท็จบาง R เพราะข้อเสนอเท็จบ่งบอกทุกเรื่อง แต่ถ้าเป็นจริง , PQ เป็นจริงและดังนั้นจึง R เป็นจริงและดังนั้นจึงหมายถึง R และ R P Q หมายถึง เพราะข้อเสนอจริงเป็นโดยนัย โดยทุกข้อเสนอ ดังนั้นในกรณีใด ๆอย่างน้อยหนึ่งของข้อเสนอ P และ Q ต้องเป็น R . ( นี้ไม่ได้เป็นข้อพิสูจน์ แต่เป็นคำชี้แจง แต่นาย McColl วัตถุ : สมมติว่า P และ Q จะร่วมกันดำเนินงาน และ r เป็นข้อเสนอ null แล้ว PQ หมายถึง R แต่ P และ Q แสดงที่นี่เรา . จะจัดการกับฟังก์ชันเชิงประพจน์และเป็นทางการโดยปริยาย ฟังก์ชันเชิงประพจน์กล่าวเป็นโมฆะเมื่อมันเป็นเท็จ สำหรับทุกค่าของ x ; และชั้นเรียนของ X เพียงฟังก์ชั่นที่เรียกว่าห้องว่าง ในความเป็นจริงรุ่นไม่มีข้อตกลง ด้วยฟังก์ชันหรือคลาส ตามเปอาโน ผมจะแสดงโดยΛ . ตอนนี้ให้เรา R ถูกแทนที่ด้วยϕ X , และ Q โดยไม่ - ϕ x ที่ϕ x มีข้อเสนอใด ๆ ฟังก์ชั่น จากนั้น PQ เป็นเท็จทั้งหมด ค่าของ x และดังนั้นจึงหมายถึงΛ . ดังนั้นสูตรข้างต้นสามารถอย่างแท้จริงตีความในแคลคูลัสเชิงประพจน์ : ในชั้นเรียนแคลคูลัสมันเป็นเท็จ นี้อาจจะง่ายให้ชัดเจนโดยพิจารณาดังต่อไปนี้ ให้ϕ X , ψ X , χ x 3 ฟังก์ชันเชิงประพจน์ . แล้วϕ x . ψ X หมายถึงχ x บาง ทั้งหมด vlues ของ X เหมือนกันϕ X หมายถึงχ X หรือψ X หมายถึงχ X แต่มันไม่ได้หมายความว่า ϕ X หมายถึงχ x ทุกค่า x หรือψ X หมายถึงχ x ทุกค่าของ X ประพจน์เลือกคือสิ่งที่ผมจะเรียกว่าตัวแปร การตัดขาด , ตรงข้ามกับ คงที่ : นั่นคือ ในบางกรณีทางเลือกหนึ่งคือจริง คนอื่น ๆ , ในขณะที่ในการตัดขาดคงที่นั้นเป็นหนึ่งในทางเลือก ( คิดว่ามันจะไม่ระบุที่ ) ที่เป็นจริงเสมอ ที่ disjunctions เกิดขึ้นในเรื่องฟังก์ชันเชิงประพจน์ , พวกเขาจะเป็นหม้อแปลงในงบในชั้นเรียนแคลคูลัสในกรณีที่ประพจน์เลือกคือค่าคงที่ นี้คือจุดที่สำคัญทั้งสองในตัวเองและให้ในของแบริ่ง อีกวิธีหนึ่งของการระบุเรื่องนี้คือ : ในข้อเสนอ : ถ้าϕ x . ψ X หมายถึงχ x แล้วทั้งϕ X หมายถึงχ X หรือψ X หมายถึงχ X , ความหมายแสดงโดยถ้าแล้วอย่างเป็นทางการ ขณะที่ผลกระทบย่อยวัสดุ ดังนั้นผลกระทบผู้ใต้บังคับบัญชาไม่นำไปสู่การรวมของห้องหนึ่งในอื่น ซึ่งผลจากโรงเรียนโดยปริยาย