In the Encyclopedia of Triangle Cen

In the Encyclopedia of Triangle Centers the symmedian point appears as the sixth point, X(6).[2] It lies in the open orthocentroidal disk punctured at its own center, and could be any point therein.[3]

The symmedian point of a triangle with side lengths a, b and c has homogeneous trilinear coordinates [a : b : c].[2]

The Gergonne point of a triangle is the same as the symmedian point of the triangle's contact triangle.[4]

[0] The symmedian at C, of a triangle ABC, is defined as the symmetric line of the median from C, with respect to the bisector of C (see Symmedian_0.html for its properties).
[1] The three symmedians of ABC pass through the Symmedian point K of the triangle.
[2] K coincides with the Gergonne point of the tangential triangle A'B'C' of ABC.
[3] Thus, the two triangles ABC and A'B'C' are point-perspective and by Desargues (see Desargues.html ), they are also line-perspective. The corresponding line A*B* is the Trilinear polar of the triangle ABC with respect ot K and is called the Lemoine-Axis of the triangle.
[4] A* is the intersection point of BC and B'C', B* is the intersection point of CA and C'A' etc.
[5] A* is the pole of AA' with respect to the circumcircle of ABC, B* is the pole of BB' etc.
[6] By the duality of the polarity, this implies that K is the pole of the trilinear polar. Hence OK is orthogonal to the trilinear polar.
[7] Line (OK) is the Brocard-Axis of the triangle.
[8] C* is the center of the Apollonian circle of ABC passing through C. Analogous properties hold for B* and A*. Thus the three Apollonian circles have their centers on the Lemoine axis.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในสารานุกรมศูนย์สามเหลี่ยม จุด symmedian ปรากฏเป็นจุดหก X(6) [2]อยู่ในดิสก์ orthocentroidal เปิดไลทที่ศูนย์ของตัวเอง และอาจเป็นจุดใด ๆ ในทาง [3]จุด symmedian ของสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว a, b และ c มีพิกัด trilinear เหมือน [มี: b: c] [2]จุด Gergonne ของรูปสามเหลี่ยมเป็นเหมือนกับจุดของรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมติดต่อ symmedian [4][0] symmedian ที่ C ของรูปสามเหลี่ยม ABC ถูกกำหนดให้เป็นสายแบบของมัธยฐานจาก C เกี่ยวกับจุดแบ่งครึ่งของ C (ดู Symmedian_0.html สำหรับคุณสมบัติของ)[1] ที่ symmedians สามของ ABC ผ่าน K จุด Symmedian ของสามเหลี่ยม[2] K เกิดขึ้นพร้อมกับจุด Gergonne ของสามเหลี่ยม tangential A'B 'C' ของ ABC [3] ดังนั้น สองสามเหลี่ยม ABC และ A'B 'C' เป็นมุม มองที่จุด และ Desargues (ดู Desargues.html), มีมุมมองบรรทัด สอดสาย A * B * Trilinear เป็นขั้วของสามเหลี่ยม ABC กับเคารพ ot K และเรียกว่าแกน Lemoine ของสามเหลี่ยม[4] A * เป็นจุดตัดของ BC และ B'C ', B * เป็นจุดตัดของ CA และ C'A' เป็นต้น [5] A * คือ เสาของ AA' เกี่ยวกับ circumcircle ของ ABC, B * เป็นเสาของ BB' ฯลฯ [6] โดยเป็นคู่ของขั้ว นี้หมายความว่า K เป็นเสาของ trilinear ขั้วโลก ดังนั้น OK เป็นมุมฉากเพื่อการ trilinear ขั้วโลก[7] บรรทัด (OK) เป็นแกน Brocard ของสามเหลี่ยม[8] C * เป็นศูนย์กลางของวงกลมสุขุมของ ABC ที่ผ่านคุณสมบัติคล้าย C. ค้างสำหรับ B * A * ดังนั้น สามวงกลมสุขุมมีศูนย์ของตนบนแกน Lemoine

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในสารานุกรมของศูนย์สามเหลี่ยมจุด symmedian ปรากฏเป็นจุดที่หก X (6). [2] มันอยู่ในดิสก์ orthocentroidal เปิดการเจาะทะลุที่ศูนย์ของตัวเองและอาจจะเป็นจุดใด ๆ ในนั้น. [3] จุด symmedian ของ สามเหลี่ยมด้านที่มีความยาว A, B และ C มีเนื้อเดียวกันพิกัด trilinear [A: B: C]. [2] จุด Gergonne ของรูปสามเหลี่ยมเป็นเช่นเดียวกับจุด symmedian ของรูปสามเหลี่ยมของสามเหลี่ยมติดต่อ [4]. [0] symmedian ที่ C ของรูปสามเหลี่ยม ABC ถูกกำหนดให้เป็นเส้นสมมาตรเฉลี่ยจากซีที่เกี่ยวกับเส้นแบ่งครึ่งของ C (ดู Symmedian_0.html สำหรับคุณสมบัติของมัน) ได้. [1] สาม symmedians ของเอบีซีผ่าน จุด symmedian K ของรูปสามเหลี่ยม. [2] K สอดคล้องกับจุด Gergonne ของสามเหลี่ยมวง A'B'C ของเอบีซี. [3] ดังนั้นทั้งสองรูปสามเหลี่ยม ABC และ A'B'C 'มีจุดมุมมองและ โดย Desargues (ดู Desargues.html) พวกเขายังมีสายมุมมอง บรรทัดที่สอดคล้องกัน * * * * * * * * B เป็น Trilinear ขั้วของสามเหลี่ยม ABC ด้วยความเคารพ OT K และถูกเรียกว่า Lemoine แกนของรูปสามเหลี่ยม. [4] * เป็นจุดตัดของปีก่อนคริสตกาลและ B'C 'ที่ B * คือ จุดตัดของ CA และ C'A ว่า ' ฯลฯ[5] A * เป็นเสาเอเอ' ด้วยความเคารพ circumcircle ของเอบีซี, B * เป็นเสา BB ' ฯลฯ[6] โดยคู่ของขั้วที่ นี้แสดงให้เห็นว่าเคเป็นเสาของ trilinear ขั้วโลก ดังนั้นตกลงเป็นมุมฉากกับ trilinear ขั้วโลก. [7] สาย (OK) เป็น Brocard แกนของรูปสามเหลี่ยม. [8] C * เป็นศูนย์กลางของวงกลมสุขุมของเอบีซีผ่านคุณสมบัติคล้ายซีถือสำหรับ B * และ A * ดังนั้นสามวงกลมสุขุมมีศูนย์ของพวกเขาบนแกน Lemoine