The logistic map is a polynomial ma

The logistic map is a polynomial mapping (equivalently, recurrence relation) of degree 2, often cited as an archetypal example of how complex, chaotic behaviour can arise from very simple non-linear dynamical equations. The map was popularized in a seminal 1976 paper by the biologist Robert May,[1] in part as a discrete-time demographic model analogous to the logistic equation first created by Pierre François Verhulst.[2] Mathematically, the logistic map is written

(1)qquad x_{n+1} = r x_n (1-x_n)
where x_n is a number between zero and one that represents the ratio of existing population to the maximum possible population. The values of interest for the parameter r are those in the interval (0, 4]. This nonlinear difference equation is intended to capture two effects:

reproduction where the population will increase at a rate proportional to the current population when the population size is small.
starvation (density-dependent mortality) where the growth rate will decrease at a rate proportional to the value obtained by taking the theoretical "carrying capacity" of the environment less the current population.
However, as a demographic model the logistic map has the pathological problem that some initial conditions and parameter values lead to negative population sizes. This problem does not appear in the older Ricker model, which also exhibits chaotic dynamics.

The r=4 case of the logistic map is a nonlinear transformation of both the bit-shift map and the mu =2 case of the tent map.

The image below shows the amplitude and frequency content of some logistic map iterates for parameter values ranging from 2 to 4.

Logistic map animation.gif

By varying the parameter r, the following behavior is observed:

With r between 0 and 1, the population will eventually die, independent of the initial population.
With r between 1 and 2, the population will quickly approach the value frac{r-1}{r}, independent of the initial population.
With r between 2 and 3, the population will also eventually approach the same value frac{r-1}{r}, but first will fluctuate around that value for some time. The rate of convergence is linear, except for r=3, when it is dramatically slow, less than linear (see Bifurcation memory).
With r between 3 and 1+sqrt{6} (approximately 3.44949), from almost all initial conditions the population will approach permanent oscillations between two values. These two values are dependent on r.
With r between 3.44949 and 3.54409 (approximately), from almost all initial conditions the population will approach permanent oscillations among four values. The latter number is a root of a 12th degree polynomial (sequence A086181 in OEIS).
With r increasing beyond 3.54409, from almost all initial conditions the population will approach oscillations among 8 values, then 16, 32, etc. The lengths of the parameter intervals that yield oscillations of a given length decrease rapidly; the ratio between the lengths of two successive such bifurcation intervals approaches the Feigenbaum constant δ = 4.66920dots. This behavior is an example of a period-doubling cascade.
At r approximately 3.56995 (sequence A098587 in OEIS) is the onset of chaos, at the end of the period-doubling cascade. From almost all initial conditions, we no longer see oscillations of finite period. Slight variations in the initial population yield dramatically different results over time, a prime characteristic of chaos.
Most values beyond 3.56995 exhibit chaotic behaviour, but there are still certain isolated ranges of r that show non-chaotic behavior; these are sometimes called islands of stability. For instance, beginning at 1+sqrt{8}[3] (approximately 3.82843) there is a range of parameters r that show oscillation among three values, and for slightly higher values of r oscillation among 6 values, then 12 etc.
The development of the chaotic behavior of the logistic sequence as the parameter r varies from approximately 3.56995 to approximately 3.82843 is sometimes called the Pomeau–Manneville scenario, characterized by a periodic (laminar) phase interrupted by bursts of aperiodic behavior. Such a scenario has an application in semiconductor devices.[4] There are other ranges that yield oscillation among 5 values etc.; all oscillation periods occur for some values of r. A period-doubling window with parameter c is a range of r-values consisting of a succession of sub-ranges. The kth sub-range contains the values of r for which there is a stable cycle (a cycle that attracts a set of initial points of unit measure) of period c2^{k}. This sequence of sub-ranges is called a cascade of harmonics.[5] In a sub-range with a stable cycle of period c2^{k^{*}}, there are unstable cycles of period c2^{k} for all k

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แม็ปลอจิสติกมีการแมปแบบพหุนาม (equivalently ความสัมพันธ์เวียนเกิด) ปริญญาที่ 2 มักจะอ้างตัวอย่างไร archetypal ของซับซ้อน พฤติกรรมวุ่นวายสามารถเกิดขึ้นได้จากสมการ dynamical สมบัติง่ายมาก แผนที่นิยมในกระดาษ 1976 แผ่นเสียงยอดนิยม โดยนักชีววิทยาโรเบิร์ตพฤษภาคม, [1] ในส่วนเป็นแบบจำลองประชากรแยกเวลาคล้ายกับโลจิสติกสมการแรก สร้าง โดย Pierre ฟรังซัว Verhulst [2] ทางคณิตศาสตร์ เขียนแผนที่โลจิสติก (1) qquad x_ {n + 1 } = x_n r (1-x_n) ที่ x_n เป็นตัวเลขระหว่างศูนย์กับหนึ่งที่แสดงถึงอัตราส่วนของประชากรที่มีอยู่กับประชากรเป็นไปได้สูงสุด ค่าดอกเบี้ยสำหรับ r พารามิเตอร์อยู่ในช่วง (0, 4] สมการเชิงเส้นความแตกต่างนี้มีไว้เพื่อจับลักษณะพิเศษสอง:การทำซ้ำที่ประชากรจะเพิ่มขึ้นในอัตราสัดส่วนกับประชากรปัจจุบันเมื่อขนาดของประชากรขนาดเล็กความอดอยาก (ตายขึ้นอยู่กับความหนาแน่น) ซึ่งอัตราการเติบโตจะลดลงในอัตราสัดส่วนกับค่าที่ได้รับ โดยการใช้ทฤษฎี "แบกความจุ" ของสิ่งแวดล้อมน้อยกว่าประชากรปัจจุบันอย่างไรก็ตาม เป็นรูปแบบประชากร แม็ปลอจิสติกมีปัญหาทางพยาธิวิทยาที่เงื่อนไขเริ่มต้นและค่าพารามิเตอร์บางอย่างทำให้ขนาดของประชากรเป็นค่าลบ ปัญหานี้ไม่ปรากฏในรุ่น Ricker เก่า ซึ่งยัง จัดแสดงนิทรรศการ dynamics วุ่นวายR = 4 กรณีของแม็ปลอจิสติกคือ การแปลงเชิงเส้นของแผนที่กะบิตและ mu = 2 กรณีของแผนที่เต็นท์ภาพด้านล่างแสดงคลื่น และความถี่เนื้อหาของแผนที่บางโลจิสติกมีการคำนวณซ้ำสำหรับพารามิเตอร์ค่าตั้งแต่ 2 ถึง 4แม็ปลอจิสติก animation.gifโดย r พารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน การทำงานต่อไปนี้จะตรวจสอบ:กับ r ระหว่าง 0 และ 1 ประชากรจะตายในที่สุด อิสระของประชากรเริ่มต้นกับ r ระหว่าง 1 และ 2 ประชากรจะรวดเร็ววิธีการ frac{r-1}{r ค่า}, อิสระของประชากรเริ่มต้นกับ r ระหว่าง 2 และ 3 ประชากรจะยังในที่สุดวิธีการ frac{r-1}{r ค่าเดียวกัน}, แต่ก่อน จะเปลี่ยนรอบค่าบางครั้ง อัตราการลู่เข้าเป็นเส้นตรง ยกเว้น r = 3 เมื่อมันเป็นอย่างช้า น้อยกว่าเส้น (ดูหน่วยความจำ Bifurcation)กับ r ระหว่าง 3 และ 1 + sqrt { 6 } (ประมาณ 3.44949), จากเกือบทั้งหมดเริ่มต้นเงื่อนไขประชากรจะวิธีแกว่งถาวรระหว่างค่าสองค่า สองค่าเหล่านี้จะขึ้นอยู่กับ rกับ r ระหว่าง 3.44949 และ 3.54409 (โดยประมาณ), จากเงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมด ประชากรจะวิธีแกว่งถาวรระหว่างสี่ค่า หมายเลขหลังเป็นรากใน 12 สาขาพหุนาม (ลำดับ A086181 ใน OEIS)กับ r เพิ่มนอกเหนือจาก 3.54409 จากเงื่อนไขเริ่มต้นเกือบทั้งหมด ประชากรจะวิธีแกว่งระหว่าง 8 ค่า แล้ว 16, 32 ฯลฯ ความยาวของช่วงพารามิเตอร์ที่แกว่งความยาวให้ผลผลิตลดลงอย่างรวดเร็ว อัตราส่วนระหว่างความยาวของสองต่อเนื่องกันเช่นช่วง bifurcation วิธีδคง Feigenbaum = 4.66920dots ลักษณะการทำงานนี้ตัวอย่างการเรียงซ้อนการเพิ่มรอบระยะเวลาที่ r ประมาณ 3.56995 (ลำดับ A098587 ใน OEIS) เป็นการโจมตีของความวุ่นวาย ที่สุดของน้ำตกจะรอบระยะเวลา จากเกือบทุกเงื่อนไขเริ่มต้น เราไม่เห็นการแกว่งของรอบระยะเวลาที่จำกัด เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในประชากรเริ่มต้นผลผลิตผลลัพธ์ที่แตกต่างอย่างมากตลอดเวลา เป็นลักษณะสำคัญของความวุ่นวายค่ามากที่สุดนอกเหนือจาก 3.56995 มีพฤติกรรมวุ่นวาย แต่ยังมีบางช่วงหนึ่ง ๆ ของ r ที่แสดงลักษณะการทำงานไม่วุ่นวาย นอกจากนี้เหล่านี้บางครั้งจะเรียกว่าเกาะของเสถียรภาพ เช่น เริ่มต้นที่ 1 + sqrt { 8 } [3] (ประมาณ 3.82843) มีช่วงของพารามิเตอร์ r ที่สั่นสามค่า และ สำหรับค่าสูงขึ้นเล็กน้อยของการสั่นแบบ r ระหว่างค่า 6 แล้วฯลฯ 12The development of the chaotic behavior of the logistic sequence as the parameter r varies from approximately 3.56995 to approximately 3.82843 is sometimes called the Pomeau–Manneville scenario, characterized by a periodic (laminar) phase interrupted by bursts of aperiodic behavior. Such a scenario has an application in semiconductor devices.[4] There are other ranges that yield oscillation among 5 values etc.; all oscillation periods occur for some values of r. A period-doubling window with parameter c is a range of r-values consisting of a succession of sub-ranges. The kth sub-range contains the values of r for which there is a stable cycle (a cycle that attracts a set of initial points of unit measure) of period c2^{k}. This sequence of sub-ranges is called a cascade of harmonics.[5] In a sub-range with a stable cycle of period c2^{k^{*}}, there are unstable cycles of period c2^{k} for all k

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แผนที่ของโลจิสติกคือการทำแผนที่พหุนาม (เท่าความสัมพันธ์เวียนเกิด) ของการศึกษาระดับปริญญาที่ 2 มักจะอ้างเป็นตัวอย่างแบบฉบับของวิธีการที่ซับซ้อนพฤติกรรมวุ่นวายสามารถเกิดขึ้นจากพลังสมการง่ายมากที่ไม่ใช่เชิงเส้น แผนที่เป็นที่นิยมในน้ำเชื้อ 1,976 กระดาษโดยนักชีววิทยาโรเบิร์ตเดือนพฤษภาคม [1] ในส่วนที่เป็นผู้ที่ไม่ต่อเนื่องเวลารุ่นประชากรศาสตร์คล้ายคลึงกับสมการโลจิสติกสร้างขึ้นครั้งแรกโดยปิแอร์François Verhulst. [2] ศาสตร์แผนที่ของโลจิสติกเป็นลายลักษณ์อักษร( 1) qquad x_ {n + 1} = R x_n (1-x_n) ที่ x_n เป็นตัวเลขระหว่างศูนย์และหนึ่งที่แสดงถึงอัตราส่วนของประชากรที่มีอยู่กับประชากรที่เป็นไปได้สูงสุด . ค่าที่น่าสนใจสำหรับ R พารามิเตอร์ที่มีผู้ที่อยู่ในช่วง (0, 4] สมการความแตกต่างนี้ไม่เชิงเส้นมีจุดมุ่งหมายที่จะจับสองผลกระทบ: การทำสำเนาที่ประชากรจะเพิ่มขึ้นในสัดส่วนอัตราต่อประชากรปัจจุบันเมื่อขนาดของประชากรที่มีขนาดเล็ก . ความอดอยาก (ความหนาแน่นขึ้นอยู่กับการตาย) ที่มีอัตราการเจริญเติบโตจะลดลงในสัดส่วนอัตราค่าได้โดยการใช้ทฤษฎี "ขีดความสามารถ" ของสภาพแวดล้อมน้อยกว่าประชากรในปัจจุบัน. แต่เป็นรูปแบบทางด้านประชากรศาสตร์แผนที่โลจิสติกที่มีพยาธิสภาพ ปัญหาที่บางเงื่อนไขเริ่มต้นและค่าพารามิเตอร์ที่นำไปสู่ประชากรเชิงลบขนาด. ปัญหานี้จะไม่ปรากฏในรูปแบบริคเกอร์เก่าซึ่งยังแสดงการเปลี่ยนแปลงวุ่นวาย. อาร์ = 4 กรณีของแผนที่โลจิสติกคือการเปลี่ยนแปลงที่ไม่เป็นเชิงเส้นของทั้งสองบิตกะ แผนที่และ MU = 2 กรณีของแผนที่เต็นท์. ภาพด้านล่างแสดงให้เห็นถึงความกว้างและความถี่เนื้อหาบาง iterates แผนที่โลจิสติกสำหรับค่าพารามิเตอร์ตั้งแต่ 2 ถึง 4 animation.gif แผนที่โลจิสติกโดยที่แตกต่างกัน R พารามิเตอร์พฤติกรรมดังต่อไปนี้ เป็นที่สังเกต: กับ R ระหว่าง 0 และ 1, ประชากรในที่สุดก็จะตายที่เป็นอิสระของประชากรเริ่มต้น. กับ R ระหว่างวันที่ 1 และ 2 ของประชากรอย่างรวดเร็วจะเข้าใกล้ค่า frac {r-1} {r} อิสระจาก ประชากรเริ่มต้น. กับ R ระหว่าง 2 และ 3 ประชากรจะในที่สุดก็เข้าใกล้ค่าเดียวกัน frac {r-1} {r} แต่ก่อนที่จะมีความผันผวนรอบค่าที่บางครั้ง อัตราการบรรจบกันเป็นเส้นตรงยกเว้นสำหรับ R = 3 เมื่อมันช้าอย่างมากน้อยกว่าการเชิงเส้น (ดูหน่วยความจำแฉก). กับ R ระหว่าง 3 และ 1+ sqrt {6} (โดยประมาณ 3.44949) จากเกือบทุกเงื่อนไขเริ่มต้น ประชากรที่จะเข้าใกล้แนบแน่นถาวรระหว่างสองค่า ทั้งสองค่าจะขึ้นอยู่กับ r. กับ R ระหว่าง 3.44949 และ 3.54409 (โดยประมาณ) จากเงื่อนไขเกือบทั้งหมดเริ่มต้นประชากรที่จะเข้าใกล้แนบแน่นถาวรในหมู่สี่ค่า จำนวนหลังเป็นรากของพหุนามการศึกษาระดับปริญญา 12 (ลำดับ A086181 ใน OEIS) ได้. กับ R ที่เพิ่มขึ้นเกิน 3.54409 จากเงื่อนไขเกือบทั้งหมดเริ่มต้นประชากรที่จะเข้าใกล้แนบแน่นหมู่ 8 ค่าแล้ว 16, 32 และอื่น ๆ ความยาวของพารามิเตอร์ ช่วงเวลาที่ให้แนบแน่นของการลดลงของความยาวที่กำหนดอย่างรวดเร็ว อัตราส่วนระหว่างความยาวของช่วงเวลาสองแฉกดังกล่าวต่อเนื่องเข้าใกล้ Feigenbaum คงδ = 4.66920 dots ลักษณะการทำงานนี้เป็นตัวอย่างของน้ำตกงวดเสแสร้ง. ณ R ประมาณ 3.56995 (ลำดับ A098587 ใน OEIS) เป็นอาการของความสับสนวุ่นวายในตอนท้ายของน้ำตกงวดสองเท่า จากเกือบทุกเงื่อนไขเริ่มต้นเราไม่เห็นการแกว่งของรอบระยะเวลา จำกัด การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในอัตราผลตอบแทนประชากรเริ่มต้นอย่างรวดเร็วผลลัพธ์ที่แตกต่างในช่วงเวลาที่เป็นลักษณะสำคัญของความสับสนวุ่นวาย. ค่าส่วนใหญ่เกิน 3.56995 จัดแสดงพฤติกรรมวุ่นวาย แต่มีช่วงบางแห่งยังคงบาง R ที่แสดงพฤติกรรมที่ไม่วุ่นวาย; เหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเกาะของความมั่นคง ยกตัวอย่างเช่นเริ่มต้นที่ 1+ sqrt {8} [3] (โดยประมาณ 3.82843) มีช่วงของพารามิเตอร์ r ว่าการแสดงความผันผวนในหมู่สามค่าและค่าที่สูงขึ้นเล็กน้อยจากการสั่น R หมู่ 6 ค่าแล้ว 12 ฯลฯการพัฒนาของพฤติกรรมวุ่นวายของลำดับโลจิสติกเป็นพารามิเตอร์ R แตกต่างกันจากประมาณ 3.56995 ประมาณ 3.82843 บางครั้งเรียกว่าสถานการณ์ Pomeau-Manneville, โดดเด่นด้วยธาตุ (ราบเรียบ) ขั้นตอนการขัดจังหวะด้วยการระเบิดของพฤติกรรมที่ไม่สม่ำเสมอ สถานการณ์ดังกล่าวมีการประยุกต์ใช้ในอุปกรณ์เซมิคอนดักเตอร์. [4] มีช่วงอื่น ๆ ที่ให้ผลผลิตสั่นหมู่ 5 ค่า ฯลฯ เป็น .; ทุกช่วงเวลาความผันผวนเกิดขึ้นสำหรับค่าของ R บาง หน้าต่างงวดเสแสร้งกับพารามิเตอร์ C เป็นช่วงของ R ค่าประกอบด้วยกระแสความย่อยช่วงที่ KTH ย่อยช่วงที่มีค่าของ R ซึ่งมีวงจรที่มีเสถียรภาพ (รอบที่ดึงดูดชุดของจุดเริ่มต้นของการวัดหน่วยก) ระยะเวลา C2 ^ {k} ลำดับของการย่อยช่วงนี้เรียกว่าน้ำตกของฮาร์โมนิ. [5] ย่อยช่วงที่มีรอบมั่นคงของระยะเวลา C2 ^ {k ^ {*}} มีรอบที่ไม่แน่นอนของรอบระยะเวลา C2 ^ {k} สำหรับทุก K

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แผนที่ Logistic เป็นพหุนาม ( ก้อง ) , ของความสัมพันธ์เวียนเกิด ) ระดับ 2 , มักจะอ้างเป็นตัวอย่างของพฤติกรรมวุ่นวายตามแบบฉบับของวิธีการที่ซับซ้อนสามารถเกิดขึ้นจากง่ายมาก ) สำหรับสมการ แผนที่ถูก popularized ใน seminal 1976 กระดาษโดยนักชีววิทยาโรเบิร์ตพฤษภาคม [ 1 ] ในส่วนที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่คล้ายคลึงกับประชากรแบบโลจิสติกสมการแรกที่สร้างโดย ปิแอร์ ฟรองซัวส์ verhulst [ 2 ] ทางคณิตศาสตร์ , เขียนแผนที่ โลจิสติก( 1 ) qquad x_ { n } = + 1 R x_n ( 1-x_n )ที่ x_n เป็นตัวเลขระหว่างศูนย์และหนึ่งที่แสดงถึงสัดส่วนของประชากรที่มีอยู่เป็นไปได้สูงสุดในกลุ่มประชากร ค่าดอกเบี้ยสำหรับค่า r เป็นผู้ที่อยู่ในช่วง ( 0 , 4 ) ความแตกต่างของสมการไม่เชิงเส้นนี้ไว้เพื่อจับภาพสองลักษณะ :การสืบพันธุ์ที่ประชากรจะเพิ่มขึ้นในอัตราที่สัดส่วนของประชากรในปัจจุบัน เมื่อประชากรมีขนาดเล็กความอดอยาก ( ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของ ) ที่อัตราการเติบโตจะลดลงในอัตราตามมูลค่าที่ได้รับโดยการใช้ทฤษฎี " ขีดความสามารถ " ของสิ่งแวดล้อมน้อยกว่าปัจจุบันประชากรแต่เป็นแบบส่วนบุคคลแผนที่โลจิสติกส์มีพยาธิสภาพที่บางปัญหาเงื่อนไขเริ่มต้นและพารามิเตอร์ค่าตะกั่วขนาดประชากรติดลบ ปัญหานี้จะไม่ปรากฏในรูปแบบเก่า ริคเกอร์ ซึ่งยังได้จัดแสดงกิจกรรมที่วุ่นวายR = 4 กรณีแผนที่ Logistic คือการเลื่อนบิตแบบทั้งแผนที่และมู = 2 กรณีแผนที่เต็นท์ภาพด้านล่างแสดงขนาดและความถี่เนื้อหาของโลจิสติกแผนที่กล่าวย้ำ สำหรับค่าพารามิเตอร์ตั้งแต่ 2 ถึง 4animation.gif แมพลอจิสติกโดยเปลี่ยนค่า R , พฤติกรรมต่อไปนี้ได้ :กับ R ระหว่าง 0 และ 1 , ประชากรจะตายในที่สุด เป็นอิสระของประชากรเริ่มต้นกับ R ระหว่าง 1 และ 2 ประชากรได้อย่างรวดเร็วจะเข้าใกล้ค่า frac { r-1 } { R } , อิสระของประชากรเริ่มต้นกับ R ระหว่าง 2 และ 3 ประชากรจะในที่สุดวิธีการค่าเดียวกัน frac { r-1 } { R } แต่แรกจะผันผวนอยู่ที่มูลค่าของเวลา อัตราการลู่เข้าเป็นเส้นตรง ยกเว้น R = 3 , เมื่อมันเป็นอย่างช้า น้อยกว่าเส้น ( ดูความทรงจำ หงิงๆ )กับ R ระหว่าง 3 และ 1 + SQRT { 6 } ( ประมาณ 3.44949 ) จากภาวะเริ่มต้นเกือบทั้งหมด ประชากรจะเข้าหาวัดถาวรระหว่างสองค่า ทั้งสองค่าจะขึ้นอยู่กับ .กับ R และระหว่าง 3.44949 3.54409 ( โดยประมาณ ) จากภาวะเริ่มต้นเกือบทั้งหมด ประชากรจะเข้าหาวัดถาวรทั้ง 4 ค่า ตัวเลขหลังเป็นรากของพหุนาม ( ลำดับ 12 องศา a086181 ใน oeis )กับ R เพิ่มเกิน 3.54409 จากเงื่อนไขเบื้องต้นเกือบทั้งหมดของประชากรจะวิธีการวัดค่าแล้ว 8 , 16 , 32 , ฯลฯ ความยาวของพารามิเตอร์ของช่วงเวลาที่ผลผลิตได้รับการสั่นของความยาวลดลงอย่างรวดเร็ว ; อัตราส่วนระหว่างความยาวของช่วงเวลาดังกล่าวต่อเนื่องสองเป็นแนวไฟเกนบามคงδ = 4.66920dots . พฤติกรรมนี้คือตัวอย่างของช่วงขึ้นน้ำตกที่ R ประมาณ 3.56995 ( ลำดับ a098587 ใน oeis ) คือ เกิดความวุ่นวาย เมื่อสิ้นสุดระยะเวลาขึ้นน้ำตก จากเงื่อนไขแรกเกือบทั้งหมด เราไม่เห็นการสั่นของจำกัดระยะเวลา การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในผลผลิตของประชากรเริ่มต้นแตกต่างกันอย่างมากผลตลอดเวลา ลักษณะสําคัญของความสับสนวุ่นวายมากคุณค่าที่เหนือกว่า 3.56995 แสดงพฤติกรรมวุ่นวาย แต่ยังมีบางช่วงที่แยก R ที่ไม่วุ่นวาย แสดงพฤติกรรม เหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเกาะแห่งความเสถียร เช่น ต้นที่ 1 + SQRT { 8 } [ 3 ] ( ประมาณ 3.82843 ) มีช่วงของค่า R ที่พีแสดงของทั้งสามค่า และค่าของ R มีค่าสูงขึ้นเล็กน้อยระหว่าง 6 ค่า แล้ว 12 ฯลฯการพัฒนาพฤติกรรมวุ่นวายของลำดับโลจิสติกเป็นพารามิเตอร์ R แตกต่างกันจากประมาณ 3.56995 ประมาณ 3.82843 บางครั้งเรียกว่า pomeau – manneville สถานการณ์ลักษณะตามตารางธาตุ ( ลามิน่า ) ระยะการขัดจังหวะโดยระเบิดของพฤติกรรมที่ไม่สม่ำเสมอ . สถานการณ์ดังกล่าวมีใช้ในอุปกรณ์สารกึ่งตัวนำ [ 4 ] มีช่วงอื่น ๆ ที่สั่นผลผลิตของ 5 ค่า ฯลฯ ช่วงการแกว่งทั้งหมดเกิดขึ้นได้บางค่าของ R . ระยะเวลาขึ้นหน้าต่างพารามิเตอร์ c คือ ช่วงของค่า R ���ประกอบด้วยบัลลังก์ของซับ ช่วง ช่วง kth ย่อยที่มีค่าของ R ซึ่งมีวงจรมีเสถียรภาพ ( วงจรที่ดึงดูดชุดของจุดเริ่มต้นของการวัดหน่วย ) ระยะเวลา C2 ^ { K } ลำดับย่อยช่วงเรียกว่าน้ำตกของฮาร์มอนิก [ 5 ] ในช่วงย่อยกับความมั่นคงรอบระยะเวลา C2 ^ { K ^ { * } } มีรอบระยะเวลาไม่แน่นอนของ C2 ^ { K } ทั้งหมด k < K ^ { * } ค่า R ที่ส่วนท้ายของลําดับอนันต์ย่อยช่วงเรียกว่า จุดของการสะสมของน้ำตกของฮาร์มอนิ เป็น R เพิ่มขึ้น มีการสืบทอดของหน้าต่างใหม่ที่มี C ค่า ตัวแรกคือ C = 1 ; ย่อยทั้งหมด