In this section, we consider Diopha

In this section, we consider Diophantine equations x
2 − kxy + y
2 ∓ x = 0 and x
2 − kxy − y
2 ∓ x = 0. Before discussing
these equations we introduce two kinds of generalized Fibonacci sequences {Un} and {un}. For more information about
generalized Fibonacci sequences one can consult [5–7]. The generalized Fibonacci sequence {Un} with parameter k, is defined
by U0 = 0, U1 = 1 and Un = kUn−1 + Un−2 for n ≥ 2, where k ≥ 1, is an integer. Also, U−n = (−1)
n+1Un for all n ∈ N.
Moreover, the generalized Fibonacci sequence {un} with parameter k, is defined by u0 = 0, u1 = 1 and un = kun−1 − un−2
for n ≥ 2 where k ≥ 3, is an integer. Also u−n = −un for all n ∈ N. When k = 1, we get Un = Fn.
The characteristic equation of the recurrence relation of the sequence {Un}is x
2−kx−1 = 0 and the roots of this equation
are α =

k +
√
k
2 + 4

/2 and α = β =

k −
√
k
2 + 4

/2. It is clear that αβ = −1, α2 = kα + 1, and α + β = k. Let
Z [α] = {aα + b : a, b ∈ Z}. Then it can be seen that Z [α] is a subring of the algebraic integer ring of the real quadratic field
Q
√
k
2 + 4

and Z [α] is equal to the algebraic integer ring of the real quadratic field Q
√
k
2 + 4

when k
2 + 4 is square
free.
If αx+y is a unit in Z [α], then it can be shown that −x
2+kxy+y
2 = (αx + y) (αx + y) = ±1. The proof of the following
theorem is given in [8]. But we will give its proof for the sake of completeness.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในส่วนนี้ เราพิจารณาสมการ Diophantine x− kxy 2 + y2 ∓ x = 0 และ x2 − kxy − y2 ∓ x = 0 ก่อนที่จะคุยสมการเหล่านี้เราแนะนำสองชนิดของ Fibonacci ทั่วไปลำดับ {ยกเลิก} และ {ยกเลิก} สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับทั่วไปลำดับ Fibonacci ที่หนึ่งสามารถให้คำปรึกษา [5-7] กำหนดทั่วไปลำดับ Fibonacci {ยกเลิก} กับพารามิเตอร์ kโดย U0 = 0, U1 = 1 และองค์การสหประชาชาติ = kUn−1 + Un−2 สำหรับ n ≥ 2 ที่ k ≥ 1 เป็นจำนวนเต็ม ยัง U−n = (− 1)n + 1Un สำหรับทุก n ∈ nนอกจากนี้ กำหนดทั่วไปลำดับ Fibonacci {ยกเลิก} กับพารามิเตอร์ k โดย u0 = 0, u1 = 1 และองค์การสหประชาชาติ = kun−1 − un−2สำหรับ n ≥ 2 ที่ k ≥ 3 เป็นจำนวนเต็ม นอกจากนี้ u−n = −un สำหรับทุก n ∈ n เมื่อ k = 1 เราได้ Un = Fnสมการลักษณะของความสัมพันธ์เวียนเกิดลำดับ {ยกเลิก} คือ x2−kx−1 = 0 และรากของสมการนี้คือα =k +√k2 + 4/ 2 และα =β =k −√k2 + 4/ 2 ชัดที่αβ =− 1, α2 = kα + 1 และα + β =คุณให้Z [α] = { aα + b: a, b ∈ Z } แล้ว จะเห็นได้ว่า Z [α] subring วงแหวนเต็มพีชคณิตของฟิลด์กำลังสองจริงQ√k2 + 4และ Z [α] เท่ากับแหวนเต็มพีชคณิตของฟิลด์กำลังสองจริง Q√k2 + 4เมื่อ k2 + 4 เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสฟรีถ้า αx + y หน่วยใน Z [α], แล้วก็สามารถแสดงที่ −x2 + kxy + y2 = (αx + y) (αx + y) =± 1 หลักฐานต่อไปนี้ทฤษฎีบทได้ถูกกำหนดใน [8] แต่เราจะให้เป็นหลักฐานเพื่อความสมบูรณ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในส่วนนี้เราพิจารณาสม Diophantine x
2 - kxy + Y
2 ∓ x = 0 และ x
2 - kxy - Y
2 ∓ x = 0 ก่อนที่จะคุย
สมการเหล่านี้เราแนะนำสองชนิดทั่วไปลำดับฟีโบนักชี {Un} และ {สหประชาชาติ } สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยว
ทั่วไปลำดับฟีโบนักชีหนึ่งสามารถให้คำปรึกษา [5-7] ทั่วไปลำดับ Fibonacci {} Un กับพารามิเตอร์ K ถูกกำหนด
โดย U0 = 0 U1 = 1 และ Un = Kun-1 + Un-2 สำหรับ n ≥ 2 ซึ่ง k ≥ 1 เป็นจำนวนเต็ม นอกจากนี้ U-N = (-1)
+ n 1Un สำหรับทุก n ∈เอ็น
นอกจากนี้ทั่วไปลำดับ Fibonacci {} สหประชาชาติกับพารามิเตอร์ K, ถูกกำหนดโดย U0 = 0 U1 = 1 และยกเลิก = คุง-1 - สหประชาชาติ -2
สำหรับ n ≥ 2 ที่ k ≥ 3 เป็นจำนวนเต็ม นอกจากนี้ยัง U-N = -un ทั้งหมด n ∈เอ็นเมื่อ K = 1 เราได้รับ Un = Fn.
สมลักษณะของความสัมพันธ์เวียนเกิดของลำดับ {} Un คือ x
2 KX-1 = 0 และรากของ สมการนี้
มีα =

K +
√
K
2 + 4

/ 2 และαβ = =

K -
√
K
2 + 4

/ 2 เป็นที่ชัดเจนว่าαβ = -1, α2 = kα + 1 และα + β = k ให้
Z [α] = {aα + B: A, B ∈ Z} จากนั้นก็จะเห็นได้ว่า Z [α] เป็น subring ของแหวนจำนวนเต็มเกี่ยวกับพีชคณิตของจริงกำลังสองฟิลด์
Q
√
K
2 + 4

และ Z [α] เท่ากับแหวนจำนวนเต็มเกี่ยวกับพีชคณิตของจริงกำลังสองฟิลด์ Q
 √
K
2 + 4

เมื่อ K
2 + 4 เป็นตาราง
ฟรี.
หากαx + Y เป็นหน่วยใน Z [α] จากนั้นก็สามารถที่จะแสดงให้เห็นว่า -x
2 + kxy + Y
= 2 (αx + y) (αx + Y) = ± 1 หลักฐานการดังต่อไปนี้
ทฤษฎีบทจะได้รับใน [8] แต่เราจะให้หลักฐานของตนเพื่อประโยชน์ของความสมบูรณ์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในส่วนนี้เราพิจารณาสมการไดโอแฟนไทน์ xkxy − 2 + Y2 ∓ x = 0 xkxy y −− 22 ∓ x = 0 ก่อนที่จะพูดถึงสมการนี้เราแนะนำสองชนิดของกราฟ Fibonacci ลำดับ { a } { a } สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับกราฟ Fibonacci ลำดับหนึ่งสามารถปรึกษา [ 5 – 7 ] โดยทั่วไป ลำดับเลขฟีโบนัชชี { a } ด้วยพารามิเตอร์ K หมายถึงโดย U0 = 0 U1 = 1 และสหประชาชาติ = − 1 − 2 + คุงสหประชาชาติ n ≥ 2 ที่≥ 1 k เป็นจำนวนเต็ม นอกจากนี้ คุณ− n = ( − 1 )N + 1un ทั้งหมด n ∈ )นอกจากนี้ ทั่วไป ลำดับเลขฟีโบนัชชี { และ } ด้วยพารามิเตอร์ที่กำหนดโดย U0 K = 0 U1 = 1 และสหประชาชาติ = คุง− 1 −− 2 และสำหรับ n ≥ 2 ที่≥ 3 k เป็นจำนวนเต็ม ยังวู− n = −สหประชาชาติทั้งหมด n ∈ . เมื่อ k = 1 เราได้รับอุน = Fn .สมการลักษณะเฉพาะของความสัมพันธ์เวียนเกิดในลำดับ { และ } X2 − KX − 1 = 0 และรากของสมการนี้เป็นα =K +√เค2 + 4/ 2 = = αบีตาK −√เค2 + 4/ 2 . มันเป็นที่ชัดเจนว่าαβ = − 1 , α 2 = k α + 1 และ + ให้αบีตา = Kα Z [ ] = { α + b , B ∈ Z } แล้วจะเห็นได้ว่า Z [ α ] เป็น subring ของพีชคณิตเป็นแหวนแห่งสนามกำลังสองจริงๆคิว√เค2 + 4และ Z [ α ] เท่ากับแหวนจำนวนเต็มพีชคณิตสนามกำลังสองจริงๆ คิว√เค2 + 4เมื่อเค2 + 4 เป็นสี่เหลี่ยมฟรีถ้าα x + Y เป็นหน่วยใน Z [ α ] แล้วมันสามารถแสดงให้เห็นว่า บริษัท เวสเทิร์น เอ็กซ์2 + kxy + Y2 = ( α x + y ) ( α x + y ) = ± 1 หลักฐาน ดังต่อไปนี้ทฤษฎีบท คือที่ระบุใน [ 8 ] แต่เราจะให้หลักฐานเพื่อความครบถ้วนสมบูรณ์