THEOREM 1. For all n , m, there is

THEOREM 1. For all n , m, there is a knight's tour on the n x 2m pillow chess­
board.

Proof By our Lemma, we may assume that n :::; m. By the rectangular board the­ orem, it suffices to consider the cases n :::; 4 and in the case n = 3 we need only consider m = 3 and m = 4. Moreover, by the Lemma, the 4 x 2m board is equivalent to them x 8 board, so by the rectangular board theorem again, for n = 4 and n :S m ,
we need only consider m = 4. So this leaves us with 5 cases to consider: (1) n = 1,
(2) n = 2, Another proof of the rectangular board theorem for square boards is available [15]; this also treats open tours that commence and terminate on specified squares. Open tours on n x m boards with min(n, m) :;:: 5 are examined in [16]. Results for open tours on 4 x m boards are known [41, 73], and the 3 x n case is treated elsewhere [41, 73,
75]. (We alert the reader to the typographical error in the statement of [75, Theorem 2],
in which tour should read circuit in the language of that paper.) On the torus, Watkins and Hoenigman proved [79]:

(3) n = m = 3, (4) n = 3, m = 4, and (5) n = m = 4. Tours on the 3 x 6
and 3 x 8 boards are shown in FIGURE 8; the 3 x 6 example was taken from Watkins
and Hoenigman's study of tours on the torus [79] (this particular tour uses only the side edge identifications). A tour on the 4 x 8 board is shown in FIGURE 9. It remains to deal with cases (1) and (2).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทที่ 1 สำหรับทุก n, m มีเป็นตัวหมากรุกบน n x 2 เมตรหมอนหมากรุกคณะกรรมการพิสูจน์โดยการจับมือของเรา เราอาจสมมติให้ n:::; เมตร โดยคณะกรรมการสี่เหลี่ยม orem มัน suffices พิจารณากรณี n:::; 4 และในกรณี n = 3 เราต้องพิจารณาเฉพาะ m = 3 และ m = 4 นอกจากนี้ โดยจับมือ กระดาน 4 x 2 เมตรจะเท่ากับ x 8 คณะพวกเขา ดังนั้น โดยทฤษฎีบทกระดานสี่เหลี่ยมอีกครั้ง สำหรับ n = 4 และ n: S mเราเพียงต้องพิจารณา m = 4 ดังนี้ใบเรา มี 5 กรณีการพิจารณา: (1) n = 1(2) n = 2 หลักฐานอื่นของทฤษฎีบทกระดานสี่เหลี่ยมในกระดานตารางจะพร้อมใช้งาน [15] ; นี้ยังจะเปิดทัวร์ที่เริ่ม และสิ้นสุดในช่องที่ระบุ เปิดทัวร์ใน n x m บอร์ด min (n, m):;:: 5 มีการตรวจสอบใน [16] ผลลัพธ์ตาม 4 x m บอร์ดเปิดใจรู้จัก [41, 73], 3 x กรณี n เป็นถืออื่น ๆ [41, 7375] . (เราเตือนผู้อ่านสะกดข้อผิดพลาดในคำสั่งของ [75 ทฤษฎีบท 2],ซึ่งทัวร์ควรอ่านวงจรในภาษาของกระดาษที่) ใน torus เอมส์มิชชั้นและ Hoenigman พิสูจน์ [79]: (3) n = m = 3, (4) n = 3, m = 4 และ (5) n = m = 4 ตาม 3 x 6และ 3 x 8 บอร์ดแสดงในรูปที่ 8 ตัวอย่าง 3 x 6 ได้มาจากเอมส์มิชชั้นและการศึกษาของ Hoenigman ทัวร์ใน torus [79] (ทัวร์เฉพาะนี้ใช้เฉพาะด้านขอบรหัส) ทัวร์บนกระดาน 4 x 8 จะแสดงในรูปที่ 9 มันยังคงจัดการกับกรณี (1) และ (2)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 1. สำหรับ n, ม. ทั้งหมดมีทัวร์ของอัศวินใน NX หมอน 2m หมากรุก
กระดาน. หลักฐานโดยบทแทรกของเราเราอาจคิดว่า n :::; ม. โดยคณะกรรมการที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโอเรมก็พอเพียงที่จะพิจารณากรณี n :::; 4 และในกรณีที่ n = 3 เราต้องการเพียงพิจารณา m = 3 และม. = 4. นอกจากนี้โดยบทแทรก, 4 x บอร์ด 2m เทียบเท่ากับพวกเขา x 8 คณะกรรมการดังนั้นโดยทฤษฎีบทกระดานสี่เหลี่ยมอีกครั้ง n = 4 และ n: S เมตรเราต้องการเพียงพิจารณา m = 4 ดังนั้นนี้ทำให้เรามี 5 รายที่จะต้องพิจารณาคือ (1) n = 1, (2) n = 2, หลักฐานการทฤษฎีบทกระดานสี่เหลี่ยมสำหรับบอร์ดตารางอีกประการหนึ่งคือ ใช้ได้ [15]; นี้ยังถือว่าทัวร์เปิดที่เริ่มต้นและสิ้นสุดลงในสี่เหลี่ยมที่กำหนด ทัวร์เปิดบนกระดาน NXM กับนาที (n, ม):; :: 5 มีการตรวจสอบใน [16] ผลสำหรับทัวร์เปิดเมื่อวันที่ 4 แผงเป็นที่รู้จักกัน XM [41, 73] และกรณี xn 3 ได้รับการปฏิบัติที่อื่น ๆ [41, 73, 75] (เราได้แจ้งเตือนให้ผู้อ่านที่จะเกิดข้อผิดพลาดจากการพิมพ์ในงบ [75, ทฤษฎีบท 2] . การท่องเที่ยวที่ควรอ่านวงจรในภาษาของกระดาษที่) เมื่อวันที่พรูวัตคินส์และ Hoenigman พิสูจน์แล้ว [79] (3) n = m = 3 (4) n = 3, m = 4 และ (5) n = m = 4. ทัวร์ใน 3 x 6 และ 3 x 8 บอร์ดจะแสดงในรูปที่ 8; 3 x 6 ตัวอย่างที่ถูกนำมาจากวัตคินส์และการศึกษา Hoenigman ของทัวร์ในพรู [79] (ทัวร์นี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งใช้เพียงระบุขอบด้านข้าง) ทัวร์ใน 4 x 8 คณะกรรมการจะแสดงในรูปที่ 9 มันยังคงที่จะจัดการกับกรณีที่ (1) และ (2)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบทที่ 1 ทั้งหมด N , M , มีอัศวินทัวร์ใน N x 2m หมอนหมากรุกกระดานอง


หลักฐานของเราแทรก เราอาจสันนิษฐานว่า : : : ; m . โดยคณะกรรมการรูปสี่เหลี่ยมองโอเร มันพอเพียงเพื่อพิจารณากรณี N : : : 4 และในคดี N = 3 เราต้องพิจารณา m = 3 และ M = 4 นอกจากนี้ โดยการจับมือ , 4 x 2 เมตรกระดานเทียบเท่ากับพวกเขา x 8 บอร์ด ดังนั้นทฤษฎีบทกระดานสี่เหลี่ยมอีกครั้งn = 4 n : S M ,
เราต้องการเพียงพิจารณา M = 4 ดังนั้น ใบนี้เราต้องพิจารณา 5 คดี ( 1 ) N = 1
( 2 ) n = 2 , อีกหนึ่งข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทกระดานสี่เหลี่ยมแผงสี่เหลี่ยมสามารถใช้ได้ [ 15 ] ; นี้ยังถือว่าเปิดทัวร์ที่เริ่มและสิ้นสุดในช่องที่ระบุไว้ เปิดทัวร์ใน N x M บอร์ดกับมิน ( n , m ) : ; : : 5 มีการตรวจสอบใน [ 16 ]ผลการค้นหาสำหรับเปิดทัวร์ 4 x M บอร์ดรู้จัก [ 41 73 ] และ 3 x N กรณีรักษาที่อื่น [ 41 73
75 ] ( เราเตือนผู้อ่านข้อผิดพลาดจากการพิมพ์ในแถลงการณ์ของทฤษฎีบท 2 [ 75 ]
ที่ทัวร์ควรอ่านวงจรในภาษาของกระดาษ นั่น ) บนฐานรอง วัตกิ้นส์ และ hoenigman พิสูจน์ [ 79 ] :

( 3 ) n = m = 3 , ( 4 ) n = 3 M = 4 และ ( 5 ) n = m = 4 ทัวร์ใน 6
3 xและ 3 x 8 บอร์ดจะแสดงในรูปที่ 8 ; 3 x 6 ตัวอย่างถ่ายจากวัต
hoenigman ศึกษาและทัวร์บนฐานรอง [ 79 ] ( ทัวร์นี้โดยเฉพาะ ใช้เฉพาะขอบด้านการแสดงตัวของ ) ทัวร์ใน 4 x 8 บอร์ด แสดงในรูปที่ 9 มันยังคงที่จะจัดการกับกรณี ( 1 ) และ ( 2 ) .