To construct a dodecahedron and com

To construct a dodecahedron and comprehend it in a sphere, like the aforesaid figures; and to prove that the square on the side of the dodecahedron is the irrational straight line called apotome.
XIII.15
I.10
II.11/VI.30
XI.11
I.3
Let ABCD and CBEF, two planes of the aforesaid cube at right angles to one another, be set out. Bisect the sides AB, BC, CD, DA, EF, EB, and FC at G, H, K, L, M, N, and O respectively, and join GK, HL, MH, and NO. Cut the straight lines NP, PO, and HQ in extreme and mean ratio at the points R, S, and T respectively, and let RP, PS, and TQ be their greater segments. Set up RU, SV, and TW from the points R, S, and T at right angles to the planes of the cube towards the outside of the cube, and make them equal to RP, PS, and TQ. Join UB, BW, WC, CV, and VU.
I say that the pentagon UBWCV is equilateral, in one plane, and equiangular.
java applet or image
Join RB, SB, and VB.
XIII.4
Then, since the straight line NP is cut in extreme and mean ratio at R, and RP is the greater segment, therefore the sum of the squares on PN and NR is triple the square on RP.
But PN equals NB, and PR equals RU, therefore the sum of the squares on BN and NR is triple the square on RU.
I.47
But the square on BR equals the sum of the squares on BN and NR, therefore the square on BR is triple the square on RU. Hence the sum of the squares on BR and RU is quadruple the square on RU.
But the square on BU equals the sum of the squares on BR and RU, therefore the square on BU is quadruple the square on RU. Therefore BU is double RU.
But VU is also double UR, for SR is also double PR, that is, of RU, therefore BU equals UV.
Similarly it can be proved that each of the straight lines BW, WC, and CV also equals each of the straight lines BU and UV. Therefore the pentagon BUVCW is equilateral.
I say next that it is also in one plane.
I.31
Draw PX from P parallel to each of the straight lines RU and SV and toward the outside of the cube, and join XH and HW.
I say that XHW is a straight line.
Since HQ is cut in extreme and mean ratio at T, and QT is its greater segment, therefore HQ is to QT as QT is to TH. But HQ equals HP, and QT equals each of the straight lines TW and PX, therefore HP is to PX as WT is to TH.
XI.6
And HP is parallel to TW, for each of them is at right angles to the plane BD, and TH is parallel to PX, for each of them is at right angles to the plane BF.
VI.32
But if two triangles XPH and HTW, which have two sides proportional to two sides are placed together at one angle so that their corresponding sides are also parallel, then the remaining straight lines are in a straight line, therefore XH is in a straight line with HW.
XI.1
But every straight line is in one plane, therefore the pentagon UBWCV is in one plane.
I say next that it is also equiangular.
XIII.5
XIII.4
Since the straight line NP is cut in extreme and mean ratio at R, and PR is the greater segment, while PR equals PS, therefore NS is also cut in extreme and mean ratio at P, and NP is the greater segment. Therefore the sum of the squares on NS and SP is triple the square on NP.
But NP equals NB, and PS equals SV, therefore the squares on NS and SV is triple the square on NB. Hence the sum of the squares on VS, SN, and NB is quadruple the square on NB.
But the square on SB equals the sum of the squares on SN and NB, therefore the sum of the squares on BS and SV, that is, the square on BV, for the angle VSB is right, is quadruple the square on NB. Therefore VB is double BN.
But BC is also double BN, therefore BV equals BC.
I.8
And, since the two sides BU and UV equal the two sides BW and WC, and the base BV equals the base BC, therefore the angle BUV equals the angle BWC.
Similarly we can prove that the angle UVC also equals the angle BWC. Therefore the three angles BWC, BUV, and UVC equal one another.
XIII.7
But if in an equilateral pentagon three angles equal one another, then the pentagon is equiangular, therefore the pentagon BUVCW is equiangular.
And it was also proved equilateral, therefore the pentagon BUVCW is equilateral and equiangular, and it is on one side BC of the cube.
XI.Def.28
Therefore, if we make the same construction in the case of each of the twelve sides of the cube, a solid figure will be constructed which is contained by twelve equilateral and equiangular pentagons, and which is called a dodecahedron.
It is now required to comprehend it in the given sphere, and to prove that the side of the dodecahedron is the irrational straight line called apotome.
Produce XP, and let the produced straight line be XZ.
XI.38
Therefore PZ meets the diameter of the cube, and they bisect one another, for this has been proved in the next to the last theorem of the eleventh book.
Let them cut at Z. Therefore Z is the center of the sphere which comprehends the cube, and ZP is half of the side of the cube.
Join UZ.
XIII.4
Now, since the straight line NS is cut in extreme and mean rat

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จะสร้างเป็นทรงสิบสองหน้า และเข้าใจในรูปทรงกลม เช่นตัวเลขดังกล่าว และ เพื่อพิสูจน์ว่า สี่เหลี่ยมด้านข้างของทรงสิบสองหน้าเป็นเส้นตรงไม่มีเหตุผลที่เรียกว่า apotomeXIII.15 I.10 II.11/VI.30 XI.11 I.3ให้ ABCD และ CBEF เครื่องบินสองของ cube ดังกล่าวที่มุมขวาเพื่อคนอื่น ตั้งออก Bisect ด้าน AB, BC, CD, DA, EF, EB และ FC ที่ G, H, K, L, M, N และ O ตามลำดับ และเข้าร่วม GK, HL, MH และหมายเลข ตัดตรงบรรทัด NP, PO และ HQ ในสุดขีด และหมายถึง อัตราส่วนที่จุด R, S และ T ตามลำดับ และให้ RP, PS และแต่งตั้งเป็นส่วนมากของพวกเขา ตั้ง RU, SV และ TW จากจุด R, S และ T ที่มุมขวาที่เครื่องบินของ cube ไปทางด้านนอกของ cube และทำให้พวกเขาเท่ากับ RP, PS และแต่งตั้ง เข้าร่วมยูบี BW, WC, CV และวูผมพูดว่า รูปห้าเหลี่ยม UBWCV เป็นด้าน เท่า หนึ่ง และมุมเท่า แอปเพล็ต java หรือรูปภาพเข้าร่วม RB, SB และ VB.XIII.4แล้ว ตั้งแต่เส้นตรง NP ถูกตัดในสุดขีด และอัตราเฉลี่ยที่ R และ RP คือ เซ็กเมนต์มากขึ้น ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยม PN และยางพาราเป็นทริสแควร์บน RPแต่ PN เท่ากับ NB และเท่ากับ PR RU ผลรวมของสี่เหลี่ยมบนพันล้านและยางพาราเป็นสามสี่เหลี่ยมบน RUI.47แต่สี่เหลี่ยมบน BR เท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนพันล้านและ NR ดังนั้น สี่เหลี่ยมบน BR เป็นสามสี่เหลี่ยมบน RU ด้วยเหตุนี้ ผลรวมของสี่เหลี่ยมบน BR และ RU เป็นสี่เหลี่ยมเตียงบน RUแต่สี่เหลี่ยมบนบุเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบน BR และ RU ดังนั้น สี่เหลี่ยมบนบุเป็นสี่เหลี่ยมเตียงบน RU ดังนั้น บุเป็นคู่ RUแต่วูก็เตียง UR สำหรับ SR คือยัง PR เตียง ของ RU ดังนั้นบุเท่ากับ UVในทำนองเดียวกัน ก็สามารถพิสูจน์ว่า แต่ละบรรทัดตรง BW, WC และ CV ยังเท่ากับแต่ละบรรทัดตรง BU และ UV ดังนั้น BUVCW รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าได้ผมพูดต่อไปว่า มันเป็นยังในระนาบหนึ่งI.31วาด PX จาก P ขนานแต่ละเส้นตรง RU และ SV และ ไปทางด้านนอกของ cube และเข้าร่วม XH และ HWผมบอกว่า XHW เป็นเส้นตรงตั้งแต่ HQ ถูกตัด ในสุดขีดและหมายความว่า อัตราส่วน T และ QT เป็นเซ็กเมนต์มากขึ้นของ HQ จึงการ QT QT คือพฤ. แต่ HQ เท่ากับ HP, QT เท่ากับแต่ละของตรงบรรทัด TW และ PX, HP คือ PX WT คือพฤ.XI.6และ HP ขนานกับ TW สำหรับแต่ละคนเป็นมุมขวาเครื่อง BD, TH จะขนานกับ PX สำหรับแต่ละของพวกเขาที่มุมขวาของเครื่องบิน BFVI.32แต่ถ้ารูปสามเหลี่ยมสอง XPH และ HTW ซึ่งมีสองด้านสองด้านสัดส่วนอยู่ร่วมกันในมุมหนึ่งเพื่อให้ข้างที่สอดคล้องกันของพวกเขายังขนาน แล้วเส้นตรงเหลืออยู่ในเส้นตรง XH จึงเป็นเส้นตรงกับ HWXI.1แต่ทุกเส้นตรงอยู่ในระนาบหนึ่ง ดังนั้น รูปห้าเหลี่ยม UBWCV อยู่ในระนาบหนึ่งผมพูดต่อไปว่า มันยังเป็นมุมเท่าXIII.5 XIII.4เนื่องจากถูกตัดเส้นตรง NP ในสุดขีดและหมายความว่า อัตราส่วน R และการประชาสัมพันธ์เป็นเซ็กเมนต์มากขึ้น ในขณะที่ PR เท่ากับ PS ดัง NS ยังตัดในสุดขีด และอัตราเฉลี่ยที่ P, NP และเป็นเซ็กเมนต์มากขึ้น ดังนั้น ผลรวมของสี่เหลี่ยมบน NS และ SP เป็นสามสี่เหลี่ยมบน NPแต่ NP เท่ากับ NB และ PS เท่ากับ SV สี่เหลี่ยม NS และ SV เป็นสามสี่เหลี่ยมบน NB. ด้วยเหตุนี้ ผลรวมของสี่เหลี่ยม บน VS, SN, NB เป็นสี่เหลี่ยมเตียงบน NB.แต่สี่เหลี่ยมบน SB เท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบน SN และ NB ผลรวมของสี่เหลี่ยมบนบีและ SV นั่นคือ สแควร์บน BV มุมทรงเป็นขวา สี่เหลี่ยมเตียงบน NB. ดังนั้น VB เป็นคู่ BN.แต่ BC ก็พันล้านคู่ ดังนั้น BV เท่ากับ BCI.8และ ตั้งแต่สองด้าน BU และ UV เท่ากับสองด้าน BW และ WC และฐาน BV เท่ากับ BC ฐาน ดังนั้นมุม BUV เท่ากับมุม BWCในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า มุม UVC ยังเท่ากับมุม BWC ดังนั้น สามมุม BWC, BUV และ UVC เท่ากับคนอื่นXIII.7แต่ถ้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่าสามมุมเท่า อื่น แล้วรูปห้าเหลี่ยมมุมเท่า ดังนั้น เพนตากอน BUVCW เป็นมุมเท่าและจะยังพิสูจน์ได้ด้านเท่า ดังนั้น จึง BUVCW รูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า และมุมเท่า และมันเป็นด้านหนึ่ง BC ของ cubeXI Def.28ดังนั้น หากเราทำการก่อสร้างที่เดียวกันในกรณีของ 12 ด้านของ cube รูปแข็งถูกสร้างขึ้นซึ่งมีอยู่สิบสองด้านเท่า และมุมเท่า pentagons แล้วซึ่งเรียกว่าการทรงสิบสองหน้าตอนนี้ต้องการจะเข้าใจเรื่องกำหนด และ เพื่อพิสูจน์ว่า ด้านของทรงสิบสองหน้าเป็นเส้นตรงไม่มีเหตุผลที่เรียกว่า apotomeผลิต XP และให้เส้นตรงผลิตได้ XZXI.38ดังนั้น PZ ตรงเส้นผ่าศูนย์กลางของ cube และพวกเขา bisect คนอื่น สำหรับนี้ได้รับการพิสูจน์ในถัดไปสุดท้ายทฤษฎีบทของหนังสือสิบเอ็ดให้ตัดที่ Z ดังนั้น Z เป็นศูนย์กลางของทรงกลมซึ่ง comprehends cube และ ZP เป็นครึ่งหนึ่งของด้านของลูกบาศก์เข้าร่วม UZXIII.4ตอนนี้ เนื่องจากถูกตัดเส้นตรง NS ในหนูมาก และมีความหมาย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เพื่อสร้างเฟและเข้าใจมันในรูปทรงกลมเช่นตัวเลขดังกล่าว; และพิสูจน์ให้เห็นว่าตารางที่ด้านข้างของเฟที่เป็นเส้นตรงไม่มีเหตุผลที่เรียกว่า apotome.
XIII.15
I.10
II.11 / VI.30
XI.11
I.3
Let ABCD และ CBEF สองระนาบของก้อนดังกล่าว ที่มุมขวาไปอีกคนหนึ่งที่ได้รับการตั้งค่าออก แบ่งครึ่งด้าน AB, BC, CD, DA, EF, EB และเอฟซีที่ G, H, K, L, M, N, O และตามลำดับและเข้าร่วม GK, HL, MH และไม่มี ตัดเป็นเส้นตรง NP, PO และกองบัญชาการในมากและหมายถึงอัตราส่วนที่จุด R, S, และ T ตามลำดับและให้ RP, PS, และขอบคุณเป็นกลุ่มของพวกเขามากขึ้น ตั้งค่า RU, เอสและทีดับบลิวจากจุด R, S, T และที่มุมขวาของลูกบาศก์เครื่องบินไปทางด้านนอกของก้อนและทำให้พวกเขาเท่ากับ RP, PS, และขอบคุณ เข้าร่วม UB, BW สุขา CV และ VU.
ผมบอกว่าเพนตากอน UBWCV เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าในระนาบเดียวและมีมุมทุกมุมเท่ากัน.
Java แอปเพล็หรือภาพ
เข้าร่วม RB, SB และ VB.
XIII.4
แล้วตั้งแต่เส้นตรง NP ถูกตัดในมากและหมายถึงอัตราส่วนที่ R และ RP เป็นส่วนที่มากขึ้นดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมบน PN และยางธรรมชาติเป็นสามตาราง RP ได้.
แต่ PN เท่ากับ NB, และประชาสัมพันธ์เท่ากับ RU ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยม ใน BN และ NR เป็นสามในตาราง RU. the
I.47
แต่ตาราง BR เท่ากับผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมบน BN และยางธรรมชาติจึงตาราง BR เป็นสามในตาราง RU ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมบน BR และ RU เป็นสี่เท่าตาราง RU ได้.
แต่ตาราง BU เท่ากับผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมใน BR และ RU ที่จึงตาราง BU เป็นสี่เท่าตาราง RU ดังนั้น BU เป็นสองเท่า RU.
แต่ VU ยังเป็น UR คู่อาร์ยังเป็นพีอาร์คู่ที่เป็นของ RU จึง BU เท่ากับยูวี.
ในทำนองเดียวกันก็สามารถพิสูจน์ให้เห็นว่าแต่ละเส้นตรง BW สุขาและ CV ยังเท่ากับ แต่ละเส้นตรง BU และรังสียูวี ดังนั้นรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ากันหมดคือ BUVCW.
ผมพูดต่อไปว่ามันยังอยู่ในระนาบเดียว.
I.31
วาด PX จาก P ขนานกันของเส้นตรงและ RU SV และต่อด้านนอกของก้อนและเข้าร่วม XH และ HW.
ฉัน บอกว่า XHW เป็นเส้นตรง.
ตั้งแต่ HQ ถูกตัดในมากและหมายถึงอัตราส่วนที่ T, และ QT เป็นส่วนที่ยิ่งใหญ่ของมันจึง HQ คือการเป็น QT QT คือการ TH แต่กองบัญชาการเท่ากับ HP, และ QT เท่ากับแต่ละเส้นตรงทีดับบลิวและ PX ดังนั้นเอชพีคือการ PX เป็น WT คือการ Th.
XI.6
และ HP ขนานกับ TW, สำหรับแต่ละของพวกเขาเป็นที่มุมขวาของเครื่องบิน BD และ TH ขนานกับ PX สำหรับแต่ละของพวกเขาเป็นที่มุมขวา BF เครื่องบิน.
VI.32
แต่ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูป XPH และ HTW ที่มีสองด้านสัดส่วนกับทั้งสองฝ่ายจะอยู่ร่วมกันที่มุมหนึ่งเพื่อให้สอดคล้องกันของพวกเขา นอกจากนี้ยังมีด้านขนานแล้วที่เหลือเป็นเส้นตรงในแนวเส้นตรงดังนั้น XH อยู่ในแนวเส้นตรงกับ HW.
XI.1
แต่ทุกเส้นตรงอยู่ในระนาบเดียวจึงเพนตากอน UBWCV ที่อยู่ในระนาบเดียว.
ผมพูดต่อไป ว่ามันยังเป็นมีมุมทุกมุมเท่ากัน.
XIII.5
XIII.4
ตั้งแต่เส้นตรง NP ถูกตัดในมากและหมายถึงอัตราส่วนที่ R, และการประชาสัมพันธ์เป็นส่วนที่มากขึ้นในขณะที่การประชาสัมพันธ์เท่ากับ PS, NS จึงยังเป็นที่ตัดในที่รุนแรงและอัตราค่าเฉลี่ย P และ NP เป็นส่วนมากขึ้น ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมบน NS และ SP เป็นสามในตาราง NP ได้.
แต่ NP เท่ากับ NB, และ PS เท่ากับ SV จึงสี่เหลี่ยมบน NS และ SV เป็นสามในตาราง NB ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมบน VS, SN และ NB เป็นสี่เท่าตาราง NB ได้.
แต่ตาราง SB เท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบน SN และ NB ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมบน BS และ SV, ที่อยู่, ตาราง BV สำหรับมุม VSB ถูกต้องเป็นสี่เท่าตาราง NB ดังนั้น VB เป็นสองเท่า BN.
แต่ BC ยังเป็นสองเท่า BN จึง BV เท่ากับ BC.
I.8
และเนื่องจากทั้งสองฝ่าย BU และ UV เท่ากับทั้งสองฝ่าย BW และห้องสุขาและฐาน BV เท่ากับ BC ฐานจึงมุม BUV เท่ากับมุม BWC ได้.
ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามุม UVC ยังเท่ากับมุม BWC ดังนั้นสามมุม BWC, BUV และ UVC เท่ากับคนอื่น.
XIII.7
แต่ถ้าในด้านเท่ากันหมดเพนตากอนสามมุมเท่ากันอีกคนหนึ่งแล้วเพนตากอนคือมีมุมทุกมุมเท่ากันจึงเพนตากอน BUVCW คือมีมุมทุกมุมเท่ากัน.
และก็ยังพิสูจน์ด้านเท่ากันหมดดังนั้น เพนตากอน BUVCW เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าและมีมุมทุกมุมเท่ากันและมันก็เป็นใน BC ด้านใดด้านหนึ่งของลูกบาศก์.
XI.Def.28
ดังนั้นถ้าเราจะทำให้การก่อสร้างเดียวกันในกรณีของแต่ละสิบสองด้านของลูกบาศก์ซึ่งเป็นตัวเลขที่เป็นของแข็งจะ สร้างที่มีอยู่สิบห้าเหลี่ยมด้านเท่ากันหมดและมีมุมทุกมุมเท่ากันและที่เรียกว่าเฟ.
มันเป็นสิ่งจำเป็นในขณะนี้ที่จะเข้าใจมันในรูปทรงกลมที่กำหนดและพิสูจน์ให้เห็นว่าด้านข้างของเฟเป็นเส้นตรงไม่มีเหตุผลที่เรียกว่า apotome.
ผลิต XP, และปล่อยให้เส้นตรงที่ผลิตจะ XZ.
XI.38
ดังนั้น PZ ตรงกับขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางของลูกบาศก์และพวกเขาแบ่งครึ่งอีกคนหนึ่งสำหรับเรื่องนี้ได้รับการพิสูจน์ในติดกับทฤษฎีบทสุดท้ายของหนังสือเล่มที่สิบเอ็ด.
ขอให้เขาตัดซี ดังนั้น Z เป็นศูนย์กลางของทรงกลมซึ่ง comprehends ก้อนและ ZP เป็นครึ่งหนึ่งของด้านของลูกบาศก์.
เข้าร่วมกับ UZ.
XIII.4
ตอนนี้ตั้งแต่เส้นตรง NS ถูกตัดในมากและหมายถึงหนู

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สร้างทรงสิบสองหน้าและเข้าใจมันในทรงกลม เช่น ตัวเลขดังกล่าว และเพื่อพิสูจน์ว่า ตารางที่ด้านข้างของทรงสิบสองหน้าเป็นเส้นตรงที่เรียกว่า apotome ไม่มีเหตุผล .xiii.15i.10ii.11/vi.30xi.11i.3ให้ ABCD cbef และสองระนาบของก้อนดังกล่าวอยู่ที่มุมขวาไปอีกแบบหนึ่ง เป็นชุดออก แบ่งออกเป็นสองส่วนด้าน AB , BC , CD , ดา , EF EB และ FC ที่ G , H , K , L , M , N และ O ตามลำดับ และเข้าร่วม GK , MH , , , และไม่ตัดคือ เส้นตรง ปอ และสำนักงานใหญ่ใน extreme และหมายถึงอัตราส่วนที่จุด R , S และ T ตามลำดับ และให้ RP , PS และพิมพ์ดีดเป็นส่วนยิ่งใหญ่ของพวกเขา ตั้งค่าเริ่มต้น , SV และ TW จากจุด R , S และ T ที่มุมขวาให้เครื่องบินของลูกบาศก์ต่อภายนอกของลูกบาศก์ และทำให้พวกเขาเท่ากับ RP , PS และ TQ . เข้าร่วม UB , BW , ห้องสุขา , CV และ วูฉันบอกว่า ubwcv สหรัฐอเมริกาซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้าน ในเครื่องบิน และมุมเท่า .แอปเพล็ java หรือภาพเข้าร่วม RB , SB , VB13 . 4งั้น ตั้งแต่ NP เส้นตรงตัด extreme และหมายถึงอัตราส่วนที่ R และ RP จะสูงกว่ากลุ่ม ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมในช่วงสามเหลี่ยม และ NR เป็น RP .แต่อาหารเท่ากับ NB และ PR เท่ากับรู ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมที่ต่อเป็นสามเหลี่ยม และ ยาง รุi.47แต่ตารางใน BR เท่ากับผลรวมของกำลังสองใน BN ( และดังนั้นตารางใน BR เป็นสามเหลี่ยม รุ ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมใน BR และรุเป็นสี่เหลี่ยมในรุแต่รูปบนบูเท่ากับผลรวมของกำลังสองใน BR และ รู จึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสในบูในรุ ดังนั้น ปุ๊กเป็นสองเท่า รุแต่ วูยังเป็นคู่ครับ สำหรับ SR ยังเป็นสองเท่าของ PR ที่เป็นรู จึงบูเท่ากับ UVซึ่งพิสูจน์ได้ว่า แต่ละส่วนของเส้นตรง BW , ห้องสุขาและ CV ก็เท่ากับแต่ละของเส้นตรง บู และ UV ดังนั้น เพนตากอน buvcw คือมีด้านเท่ากันหมด .ผมพูดต่อไปว่า มันยังเป็นหนึ่งในเครื่องบินi.31วาด PX จาก P ขนานของแต่ละเส้นตรง RU และ SV ไปอยู่นอกคิวบ์และเข้าร่วมและ XH ซั .ฉันบอกว่า xhw เป็นเส้นตรงเนื่องจากทีมถูกตัดมากและหมายถึงอัตราส่วนที่ T และ Qt เป็นเซ็กเมนต์มากขึ้น ดังนั้นทีมคือ Qt เป็น QT เพื่อ th แต่ HQ เท่ากับ HP และ Qt เท่ากับของแต่ละเส้นตรง tw และ PX ดังนั้น HP คือ PX เป็น WT คือ th11 . 6และ HP ขนานกับ TW สำหรับแต่ละของพวกเขาที่มุมขวาเพื่อเครื่อง BD และ th ขนานกับ PX สำหรับแต่ละของพวกเขาที่มุมขวาเพื่อเครื่องบิน BF .vi.32แต่ถ้าสามเหลี่ยมและ xph htw ซึ่งมี 2 ข้าง ตามสองข้างทางที่วางไว้ด้วยกันที่มุมหนึ่ง เพื่อให้ฝ่ายที่สอดคล้องกันของพวกเขายังขนานแล้วเหลือเส้นตรงเป็นเส้นตรง ดังนั้น XH คือเป็นเส้นตรงกับ HW .11 .แต่ทุก ๆ ตรงสายเป็นหนึ่งในเครื่องบิน ดังนั้นการ ubwcv เป็นหนึ่งในเครื่องบินผมพูดต่อไปว่า มันยังเป็นมุมเท่า .13 .13 . 4ตั้งแต่ NP เส้นตรงตัด extreme และหมายถึงอัตราส่วนที่ R และ PR จะสูงกว่าส่วนในขณะที่ PR เท่ากับ PS จึง NS ยังตัดมากและหมายถึงอัตราส่วนพีและเอ็นพีเป็นมากกว่าส่วน ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมใน NS และ SP เป็นสามเหลี่ยม NPแต่ปัญหาเท่ากับ NB และ PS เท่ากับ SV ดังนั้นสี่เหลี่ยมบน NS และ SV เป็นสามเหลี่ยมบน NB . ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมบน VS , Sn และ NB เป็นสี่เหลี่ยมใน NB .แต่ตารางใน SB มีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองใน Sn และ NB ดังนั้นผลรวมของสี่เหลี่ยมใน BS และ SV ที่เป็นตารางใน BV สำหรับมุม vsb เหมาะเป็นสี่เหลี่ยมใน NB . ดังนั้น VB เป็นสองเท่าเช่นกันแต่ BC ยังคู่เช่นกัน ดังนั้น BV เท่ากับ BCi.8และเนื่องจากทั้งสองฝ่ายบูและ UV เท่ากันสองข้าง น้ำหนักตัว และห้องสุขา และฐาน BV เท่ากับฐานก่อนคริสต์ศักราช ดังนั้นมุม BUV เท่ากับมุมอิงค์ .ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามุม UVC ยังเท่ากับมุมอิงค์ . ดังนั้นสามมุม BWC BUV , และ UVC เท่ากับคนอื่น13 .แต่ถ้าในเพนตากอนมีด้านเท่ากันหมด สามมุม เท่ากับอีกคนหนึ่งแล้ว เพนตากอนมีมุมเท่า ดังนั้น เพนตากอน buvcw เป็นมุมเท่า .และมันก็พิสูจน์แล้วว่ามีด้านเท่ากันหมด จึงเป็น buvcw และเพนตากอนของปาสกาลมุมเท่า , และมันเป็นบนบีซี ด้านหนึ่งของลูกบาศก์xi.def.28ดังนั้น ถ้าเราทำให้การก่อสร้างเดียวกันในกรณีของแต่ละสิบสองด้านของลูกบาศก์รูปทรงจะถูกสร้างขึ้นซึ่งประกอบด้วย 12 ห้าเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด และ มุมเท่า ซึ่งเรียกว่า dodecahedron .คือตอนนี้ต้องการที่จะเข้าใจมันได้รับในทรงกลม และเพื่อพิสูจน์ว่าด้านข้างของทรงสิบสองหน้าเป็นเส้นตรงที่เรียกว่า apotome ไม่มีเหตุผล .ผลิต XP , และปล่อยให้ผลิตตรงสายเป็นระนาบ .xi.38ดังนั้น PZ ตามเส้นผ่าศูนย์กลางของก้อน และจะแบ่งออกเป็นสองส่วน หนึ่ง อื่น นี้ได้รับการพิสูจน์ในถัดจากทฤษฎีบทสุดท้ายของ ม. 5 หนังสือให้เค้าตัดที่ Z Z จึงเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ comprehends ลูกบาศก์ และไข่ที่เป็นครึ่งหนึ่งของด้านของลูกบาศก์กับ UZ .13 . 4ในเมื่อตอนนี้ NS เส้นตรงตัด extreme และหมายถึงหนู