We consider two cases: detA = 0 and

We consider two cases: detA = 0 and detA 6= 0. First assume that detA = 0.
Then by a theorem in the text, A is not invertible. This implies that A
t
is not
invertible since we have seen that a matrix is invertible if and only if its transpose
is. Thus detA
t = 0 so in this case we have detA
t = detA.
Now assume that detA 6= 0. Then A is invertible and can therefore be written
as a product E1
··· Ek of elementary matrices. We claim that det E
t = det E for
any elementary matrix. This is because if E is of the second or third type of
elementary matrix then E = E
t
so that det E
t = det E. If E is of the first type
then so is E
t
. But from the text we know that det E = 1 for all elementary
matrices of the first type. This proves our claim. Using properties of the
transpose and the multiplicative property of the determinant we have
detA
t = det((E1
··· Ek
)
t
)
= det(E
t
k
··· E
t
1
)
= det(E
t
k
)···det(E
t
1
)
= det Ek
···det E1
= det E1
···det Ek
= det(E1
··· Ek
)
= detA.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราพิจารณากรณีสอง: detA = 0 และ detA 6 = 0 ครั้งแรก สมมติว่า detA = 0จากนั้น โดยทฤษฎีบทในข้อความ A ไม่สามารถหาอินเวอร์ส ก็หมายความว่า Atไม่ได้สามารถหาอินเวอร์สเนื่องจากเราเห็นว่าเมทริกซ์ถ้าสามารถหาอินเวอร์สและเฉพาะในกรณีของ transposeได้ จึง detAt = 0 ดังนั้นในกรณีนี้ เรามี detAt = detAตอนนี้ สมมติว่า detA 6 = 0 จากนั้นจะสามารถหาอินเวอร์ส และดังนั้นสามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ E1··· Ek ของเมทริกซ์มูลฐาน เราอ้างว่า เดช Et =เดช E สำหรับเมตริกซ์ใด ๆ ระดับประถมศึกษา ทั้งนี้เนื่องจากถ้า E เป็นสอง หรือสามชนิดของเมทริกซ์มูลฐานแล้ว E = Etเพื่อให้เดช Et =เดช E. ถ้า E เป็นชนิดแรกดังนั้นคือ Et. แต่จากข้อความ ที่เรารู้ว่าเดชนั้น E = 1 สำหรับระดับประถมศึกษาเมทริกซ์ของชนิดแรก เราพิสูจน์ โดยใช้คุณสมบัติของการมี transpose และคูณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์detAt = det ((E1··· Ek)t)เดช (E =tk··· อีt1)เดช (E =tk)··· เดช (Et1)=เดชเอก··· det E1=เดช E1··· เดชเอกเดช (E1 =··· Ek)= detA

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราพิจารณาสองกรณี Deta = 0 และ Deta 6 = 0 ครั้งแรกคิดว่า Deta = 0
แล้วตามด้วยทฤษฎีบทในข้อความที่ไม่ได้เป็นตัวผกผัน นี่ก็หมายความว่า
T
ไม่
ผกผันได้ตั้งแต่ที่เราได้เห็นว่าเป็นเมทริกซ์ผกผันและถ้าหาก transpose ของมัน
คือ ดังนั้น Deta
t = 0 ดังนั้นในกรณีนี้เรามี Deta
t = Deta.
ตอนนี้คิดว่า Deta 6 = 0 แล้วกลับด้านและดังนั้นจึงสามารถเขียน
เป็นผลิตภัณฑ์ E1
···เอกของการฝึกอบรมระดับประถมศึกษา เราอ้างว่า Det E
t = Det E สำหรับ
เมทริกซ์ประถมศึกษาใด ๆ เพราะถ้า E เป็นชนิดที่สองหรือสามของ
เมทริกซ์ประถมแล้ว E = E
T
เพื่อให้ Det E
t = เดชอุดมอีถ้า E เป็นของประเภทแรก
นั้นเพื่อให้เป็น E T

แต่จากข้อความที่เรารู้ว่า Det E = 1 สำหรับประถมศึกษาทั้งหมด
เมทริกซ์ชนิดแรก นี้พิสูจน์ให้เห็นเรียกร้องของเรา การใช้คุณสมบัติของ
transpose และคูณทรัพย์สินของปัจจัยที่เรามี
Deta
t = เดชอุดม ((E1
···เอก
)
T
)
= เดชอุดม (E
T
K
··· E
T
1
)
= เดชอุดม (E
T
K
) ·· ·เดชอุดม (E
T
1
)
= เดชอุดมเอก
···เดชอุดม E1
= เดชอุดม E1
···เดชอุดม Ek
= เดชอุดม (E1
···เอก
)
= Deta