Elementary hyperbolic geometry was

Elementary hyperbolic geometry was born in 1903 when Hilbert provided,
using the end-calculus to introduce coordinates, a first-order axiomatization
for it by adding to the axioms for plane absolute geometry a hyperbolic parallel
axiom stating that ”Through any point P not lying on a line l there are two
rays r1 and r2 ,not belonging to the same line, which do not intersect l, and
such that every ray through P contained in the angle formed by r1 and r2 does
intersect l” [1, pp. 34]. The hyperbolic geometry is a non-Euclidean geometry

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เรขาคณิตประถมผ่อนชำระเกิดขึ้นในปี 1903 เมื่อฮิลแบร์ตให้
ใช้ปลายแคลคูลัสที่จะแนะนำพิกัด axiomatization ลำดับแรก
สำหรับมันได้ด้วยการเพิ่มสัจพจน์เครื่องบินเรขาคณิตแน่นอนขนานซึ่งเกินความจริง
ความจริงที่ระบุว่า "ผ่านจุด P ใด ๆ ไม่ได้นอนอยู่บน สายลิตรมีสอง
รังสี R1, R2 และไม่ได้อยู่ในบรรทัดเดียวกันซึ่งไม่ได้ตัดต่อลิตรและ
ดังที่ทุก ray ผ่าน P ที่มีอยู่ในมุมที่เกิดขึ้นจาก r1 และ r2 ไม่
ตัดต่อลิตร "[1, pp. 34 ] เรขาคณิตซึ่งเกินความจริงคือไม่ใช่เรขาคณิตแบบยุคลิด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิกเบื้องต้นเกิดในปี 1903 เมื่อฮิลเบิร์ตให้
ใช้จุดสิ้นสุดแคลคูลัสแนะนำพิกัด เป็นลำดับแรก axiomatization
มัน โดยการเพิ่มสัจพจน์สำหรับระนาบเรขาคณิตสัมบูรณ์เป็น hyperbolic ขนาน
สัจพจน์ที่ระบุว่า " ผ่านจุด P ไม่ได้โกหกบนเส้นผมมีอยู่สอง
รังสี R1 R2 และ ไม่ใช่เป็นของ ในบรรทัดเดียวกัน ซึ่งไม่ได้เซ็คและ
Lsuch that every ray through P contained in the angle formed by r1 and r2 does
intersect l” [1, pp. 34]. The hyperbolic geometry is a non-Euclidean geometry