Note that the left-hand side of(1.5

Note that the left-hand side of(1.5) is independent of the choice of Haar measure dg. The general weight formula (that is, without the restrictions (1.4)) is similar to (1.5) except that an extra averaging over classes in the genus of A is necessary [$2]. If A is indefinite in 3 or more variables and is of square-free determinant, then by a well-known result of Meyer [Me] there is only one class in the genus of A, explaining the form of (1.5) in this case. We give a new proof of Siegel’s mass formula for indefinite quadrics (n 1) in 4 or more variables and then observe that this, together with Dirichlet’s class number formula, is sufficient for proving that the Tamagawa number of any special or- thogonal group is 2. The general case of Siegel’s formula then follows from a formal computation ofadelic volumes with respect to the Tamagawa measure, for example as in Weil’s paper [W1]. Our proof is by comparing two methods for counting the asymptotic number of integer points on the intersection of the quadric with a ball in Rm.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

โปรดสังเกตว่า of(1.5) ด้านซ้ายมือเป็นอิสระหลากหลายกิจวัด Haar สูตรน้ำหนักทั่วไป (นั่นคือ โดยไม่มีข้อจำกัด (1.4)) จะคล้ายกับ (1.5) ยกเว้นว่าการ averaging พิเศษเหนือชั้นในของ A จำเป็น [2] ถ้า A มีไม่จำกัดในอย่าง น้อย 3 ตัวแปร และเป็นดีเทอร์มิแนนต์สแควร์ฟรี โดยรู้จักผลของ Meyer [ฉัน] มีเป็นชั้นเดียวใน A อธิบายรูปแบบของ (1.5) ในกรณีนี้ เราให้หลักฐานใหม่ของ Siegel มวลสูตรสำหรับ quadrics ไม่จำกัด (n 1) ในตัวแปร 4 หรือมากกว่าแล้ว สังเกตว่า พร้อมของ Dirichlet คลาสเลขสูตร เป็นเพียงพอต่อการพิสูจน์ว่าจำนวน Tamagawa ใด ๆ กลุ่มพิเศษ หรือ-thogonal 2 กรณีทั่วไปของของ Siegel สูตรแล้วดังนี้จากวอลุ่ม ofadelic คำนวณอย่างเป็นทางการกับวัด Tamagawa เช่นในกระดาษของ Weil [W1] หลักฐานของเราคือการเปรียบเทียบวิธีการสองวิธีสำหรับการตรวจนับจำนวนคะแนนเต็มกับผิวกำลังสองกับลูกใน Rm. asymptotic

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โปรดทราบว่าทางด้านซ้ายมือของ (1.5) มีความเป็นอิสระในการเลือกของ DG Haar วัด สูตรน้ำหนักทั่วไป (นั่นคือโดยไม่มีข้อ จำกัด (1.4)) จะคล้ายกับ (1.5) ยกเว้นว่าค่าเฉลี่ยพิเศษกว่าการเรียนในประเภทของการเป็นสิ่งที่จำเป็น [$ 2] ถ้าเป็นความไม่แน่นอนในตัวแปร 3 ตัวหรือมากกว่าและเป็นปัจจัยตารางฟรีแล้วโดยผลที่รู้จักกันดีของเมเยอร์ [ฉัน] มีเพียงชั้นหนึ่งในประเภทของอธิบายรูปแบบของ (1.5) ในกรณีนี้ . เราให้หลักฐานใหม่สูตรมวลของซีเกลสำหรับ quadrics ไม่แน่นอน (1 n) ใน 4 หรือตัวแปรอื่น ๆ แล้วสังเกตว่าเรื่องนี้ร่วมกับสูตรจำนวนชั้น Dirichlet ของเพียงพอสำหรับการพิสูจน์ว่าจำนวน Tamagawa ของกลุ่ม thogonal พิเศษใด ๆ ด้วยเหตุเป็น 2. กรณีทั่วไปของสูตรของซีเกลแล้วต่อจากการคำนวณเป็นทางการ ofadelic เล่มที่เกี่ยวกับมาตรการ Tamagawa เช่นเดียวกับในกระดาษ Weil ของ [W1] หลักฐานของเราคือโดยการเปรียบเทียบสองวิธีสำหรับการนับจำนวนของ asymptotic จุดจำนวนเต็มบนทางแยกของ quadric กับลูกใน RM

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สังเกตว่าด้านซ้ายมือ ( 1.5 ) เป็นอิสระของทางเลือกของ Haar วัด DG . สูตรน้ำหนักทั่วไป ( คือไม่มีข้อจำกัด ( 1.4 ) คล้ายกับ ( 1.5 ) ยกเว้นที่เพิ่มขึ้นเฉลี่ยกว่าชั้นเรียนในสกุลของจำเป็น [ $ 2 ] ถ้าเป็นไม่แน่นอนใน 3 หรือมากกว่าตัวแปรและมีตารางกำหนดฟรีแล้ว โดยผลที่รู้จักกันดีของเมเยอร์ [ ฉัน ] มีเพียงหนึ่งห้องในประเภทของการอธิบายรูปแบบของ ( 1.5 ) ในกรณีนี้ เราเอาหลักฐานใหม่ของซีเกล มวลของสูตรใด quadrics ( N ) 1 ใน 4 หรือมากกว่าตัวแปร แล้วสังเกตว่า ร่วมกับ ดีริชเลต์เป็นห้องสูตร เพียงพอเพื่อพิสูจน์ว่าตัวเลข Tamagawa พิเศษใด ๆหรือ thogonal กลุ่ม 2กรณีทั่วไปของซีสูตรดังต่อไปนี้แล้วจากการคำนวณอย่างเป็นทางการ ofadelic ) ไหว้พระ วัดทามากาว่า ตัวอย่างเช่น ในกระดาษ [ Weil เป็น W1 ] หลักฐานของเราคือโดยการเปรียบเทียบสองวิธีการนับตัวเลขเฉลี่ยของคะแนนเต็มบนจุดตัดของกําลังสองกับลูกบอลใน RM .