0.2 Venn diagramsS RTPFigure 1Venn

0.2 Venn diagrams
S R
T
P
Figure 1
Venn diagram example
3
7
1
2
4
5
A B
A B
Figure 2
A B = {1, 2}
3
7
1
2
4
5
A [ B
Figure 3
A [ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
3
7
1
2
4
5
A B
Figure 4
A B = {3, 7}
It is often helpful to use pictures to visualize the relationships between sets.
Venn diagrams depict sets as 2-dimensional regions in the plane. Figure 1 shows
a Venn diagram illustrating the relationships between the set R of all rectangles,
the set S of all squares, the set T of all triangles and the set P of all polygons.
Venn diagrams illustrating intersection, union and set difference involving sets
A and B from example (0.1.3) are shown in Figures 2–4.
0.3 Some important sets
The Real Numbers
One of the most important sets in mathematics is the set R of real numbers,
which is the set of points on a line. The name “real” indicates the notion that
R is an appropriate set to represent quantities which can be measured in the
“real” physical world, such as time, distance, temperature, etc. We represent
R by drawings such as Figure 5. Two labeled points on the line indicate a scale
and direction.
0 1
Figure 5
The real number line
Euclidean space
y
1 x
1
Figure 6
The Euclidean plane R2
The set R2 = R × R = {(x, y) | x, y 2 R} is called the x, y-coordinate plane or
the Euclidean plane, named after Euclid (ca. 300 BC) because it is the setting
for classical plane geometry. We represent R2 with drawings such as Figure 6.
We assume the reader is familiar with the identification of pairs (x, y) of real
numbers with points in the plane.
The set R3 = R × R × R = {(x, y, z) | x, y, z 2 R} is called real 3-dimensional
space or Euclidean 3-space and models the world in which we live. We repre-
sent R3 by drawings such as Figure 7, where we imagine the z-coordinate axis
perpendicular to the flat plane in which the x and y-axes lie.
Important Subsets of the Reals
The integers or whole numbers, is the set Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
The rational numbers or fractions, denoted Q, is the subset of all real numbers
which can be written in the form m/n, where m and n are integers and n 6= 0.
The irrational numbers is the set RQ of points on the line, such as  and p2,
which are not rational.
For two numbers a, b with a < b we have the following subsets of R, called
intervals.
Mathematical Reasoning I, Course Notes 4
Notation Subset of R Type of interval Sketch
(a, b) {x | a < x < b} open
a b
[a, b] {x | a  x  b} closed
a b
(a, b] {x | a < x  b} half open, half closed
a b
[a, b) {x | a  x < b} half open, half closed
a b
(−1, a) {x | x < a} open half line
a
(−1, a] {x | x  a} closed half line
a
(a,1) {x | a < x} open half line
a
[a,1) {x | a  x} closed half line
a
y
1 x
1
1
z
Figure 7
Euclidean space R3
In the sketches for intervals, the round and square brackets marking the open
and closed endpoints of the interval are sometimes shown by open and filled dots,
respectively. For example, an alternate sketch of the interval (a, b] is shown in
Figure 8.
a b
Figure 8
Alternate sketch for (a, b]
Notes on terminology
The symbol Z for the integers comes from the German “Zahlennummern,” which
means “counting numbers.” The symbol Q for the rationals comes from the
word “quotient.” The word “rational” comes from the root for ratio, meaning
proportion. Beware that the notation for the open interval (a, b) = {x | a < x <
b} is identical to the notation for the point (a, b) in the x, y-plane; if context does
not make clear which is meant, then some additional comment is appropriate
on the part of the user.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

0.2 ไดอะแกรมเวนน์S RTPรูปที่ 1ตัวอย่างแผนภาพเวนน์371245A Bแบบ Bรูปที่ 2A B = {1, 2 }371245A [Bรูปที่ 3A [B = {1, 2, 3, 4, 5, 7 }371245A Bรูปที่ 4A B = {3, 7 }มีการใช้รูปภาพเพื่อมองเห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างชุดเวนน์ไดอะแกรมแสดงชุดเป็นภูมิภาคในระนาบ 2 มิติ รูปที่ 1 แสดงไดอะแกรมเวนน์แสดงความสัมพันธ์ระหว่างชุด R ของสี่เหลี่ยมทั้งหมดชุด S ของสี่เหลี่ยมทั้งหมด ตั้งค่า T ของสามเหลี่ยมทั้งหมด และตั้งค่า P ของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดเวนน์ไดอะแกรมแสดงสี่แยก สหภาพ และตั้งค่าความแตกต่างที่เกี่ยวข้องกับชุดA และ B จากตัวอย่าง (0.1.3) จะแสดงในรูป 2-40.3 บางชุดสำคัญจำนวนจริงชุดสำคัญในคณิตศาสตร์คือชุด R จำนวนจริงซึ่งเป็นชุดของจุดบนเส้น ชื่อ "จริง" บ่งชี้ว่า แนวคิดที่R คือ เป็นชุดที่เหมาะสมเพื่อแสดงปริมาณที่สามารถวัดได้ในการ"จริง" โลก เวลา ระยะทาง อุณหภูมิ ฯลฯ เราเป็นตัวแทนR โดยรูปวาดเช่นรูปที่ 5 สองจุดที่มีป้ายชื่อบรรทัดระบุมาตราส่วนและทิศทาง0 1รูปที่ 5เส้นจำนวนจริงพื้นที่ Euclideany1 x1รูปที่ 6เครื่องบิน Euclidean R2R2 ชุด = R × R = {(x, y) | x, y 2 R } คือ x, y พิกัดเครื่องบิน หรือเครื่องบิน Euclidean ชื่อหลังยุคลิด (ca. 300 BC) เนื่องจากมีการตั้งค่าสำหรับรูปทรงเรขาคณิตระนาบคลาสสิก เราเป็นตัวแทน R2 กับรูปวาดเช่นรูปที่ 6เราคิดว่า ผู้อ่านไม่คุ้นเคยกับรหัสคู่ (x, y) ของจริงหมายเลขจุดในระนาบR3 ชุด = R × R × R = { (x, y, z) | x, y, z 2 R } เรียกว่าจริง 3 มิติพื้นที่ว่างหรือพื้นที่ 3 Euclidean และโมเดลโลกที่เราอาศัยอยู่ เรา repre -ส่งภาพวาดเช่นรูปที่ 7 ที่เราจินตนาการแกนพิกัด z R3เส้นตั้งฉากกับระนาบแบนนอน x และ y-axesชุดย่อยที่สำคัญของตัวเลขจริงจำนวนเต็มหรือเลขจำนวนเต็ม มีชุด Z = {. ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, .. . }จำนวนตรรกยะหรือเศษส่วน Q สามารถบุ เป็นชุดย่อยของจำนวนจริงทั้งหมดซึ่งสามารถเขียนในแบบฟอร์ม m/n, m และ n เป็นจำนวนเต็มและ n 6 = 0จำนวนอตรรกยะเป็น RQ การตั้งค่าของตาม เช่น และ p 2ที่ไม่เชือดสำหรับตัวเลขสองจำนวน a, b มีการ < b เรามีชุดย่อยต่อไปนี้ของ R เรียกว่าช่วงเวลานั้นคณิตศาสตร์ด้าน I บันทึกของหลักสูตร 4บันทึกชุดย่อยของ R ชนิดช่วงร่าง(a, b) { x | เป็น < x < b } เปิดแบบ b[a, b] { x | x b } ปิดแบบ b(a, b] { x | เป็น < x b } ครึ่งเปิด ปิดครึ่งหนึ่งแบบ b[a, b) { x | x เป็น < b } ครึ่งเปิด ปิดครึ่งหนึ่งแบบ b(−1 แบบ) { x | x < เป็น} เปิดบรรทัดครึ่งการ(−1 การ] { x | x เป็น} ปิดครึ่งบรรทัดการ(a, 1) { x | เป็น < x } เปิดบรรทัดครึ่งการ[a, 1) { x | x เป็น} ปิดครึ่งบรรทัดการy1 x11zรูปที่ 7พื้นที่ Euclidean R3ในร่างช่วง รอบ และเปิดการทำเครื่องหมายวงเล็บเหลี่ยมครอบและปลายปิดของช่วงเวลาบางครั้งแสดง โดยการเปิด และเติมจุดตามลำดับ ตัวอย่าง การร่างอื่นของช่วง (a, b] จะแสดงขึ้นในรูปที่ 8แบบ bรูปที่ 8สลับร่างใน (a, b]หมายเหตุในคำศัพท์สัญลักษณ์ Z สำหรับจำนวนเต็มมาจากภาษาเยอรมัน "Zahlennummern ซึ่งหมายถึง "นับเลข" สัญลักษณ์ Q สำหรับ rationals มาจากการคำ "ผลหาร" คำว่า "เหตุผล" มาจากรากในอัตราส่วน ความหมายสัดส่วนการ ระวังที่สัญกรณ์สำหรับช่วงเปิด (a, b) = { x | เป็น < x <b } ได้เหมือนกับเครื่องหมายจุด (a, b) ใน x, y-เครื่องบิน ถ้าเนื้อหาไม่ไม่ทำให้ชัดเจนซึ่งตั้งใจ แล้วบางข้อคิดเห็นเพิ่มเติมที่เหมาะสมในส่วนของผู้ใช้งาน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

0.2 แผนภาพเวนน์
SR
T
P
รูปที่ 1
ตัวอย่างแผนภาพเวนน์
3
7
1
2
4
5
B
AB
รูปที่ 2
B = {1, 2}
3
7
1
2
4
5
[B
รูปที่ 3
[B = {1, 2, 3, 4, 5, 7}
3
7
1
2
4
5
B
รูปที่ 4
B = {3, 7}
มันมักจะเป็นประโยชน์ในการใช้ภาพที่จะเห็นภาพความสัมพันธ์ระหว่างชุด.
แผนภาพเวนน์พรรณนาเป็น 2 ชุด ภูมิภาคมิติในระนาบ รูปที่ 1 แสดง
แผนภาพเวนน์ที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง R ชุดของรูปสี่เหลี่ยมทั้งหมด
S ชุดของสี่เหลี่ยมทั้งหมดชุด T ของรูปสามเหลี่ยมและ P ชุดของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด.
เวนน์ไดอะแกรมที่แสดงจุดตัดสหภาพและความแตกต่างที่เกี่ยวข้องกับการตั้งค่าชุด
และ B จากตัวอย่าง (0.1.3) จะแสดงในรูปที่ 2-4.
0.3 บางชุดที่สำคัญ
ตัวเลขจริง
หนึ่งในชุดที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์ R ชุดของตัวเลขจริง
ซึ่งเป็นที่ตั้งของจุดบนเส้น ชื่อ "ของจริง" หมายถึงความคิดที่ว่า
R คือชุดที่เหมาะสมในการเป็นตัวแทนของปริมาณที่สามารถวัดได้ใน
"ของจริง" โลกทางกายภาพเช่นเวลา, ระยะทาง, อุณหภูมิเป็นต้นเราเป็นตัวแทน
R โดยภาพวาดดังกล่าวเป็นรูปที่ 5 สอง มีข้อความจุดบนเส้นระบุขนาด
และทิศทาง.
0 1
รูปที่ 5
เส้นจำนวนจริง
ยุคลิดพื้นที่
และ
1 x
1
รูปที่ 6
เครื่องบินยุคลิด R2
ตั้ง R2 = R × R = {(x, y) | x, y 2 R} เรียกว่า x, y พิกัดเครื่องบินหรือ
เครื่องบินยุคลิดตั้งชื่อตามยุคลิด (แคลิฟอร์เนีย 300 BC) เพราะมันคือการตั้งค่า
สำหรับรูปทรงเรขาคณิตเครื่องบินคลาสสิก เราเป็นตัวแทน R2 กับภาพวาดเช่นรูปที่ 6.
เราถือว่าผู้อ่านมีความคุ้นเคยกับบัตรประจำตัวของคู่ (x, y) ของจริง
ตัวเลขที่มีจุดในเครื่องบิน.
ชุด R3 = R × R × R = {(x, y , Z) | x, y, z 2 R} เรียกว่า 3 มิติจริง
พื้นที่หรือยุคลิด 3 พื้นที่และรูปแบบในโลกที่เราอาศัยอยู่ เรา repre-
ส่ง R3 โดยภาพวาดเช่นรูปที่ 7 ที่เราจินตนาการแกน Z พิกัด
ตั้งฉากกับแนวระนาบที่ x และ y แกนนอน.
สำคัญย่อยของ Reals
จำนวนเต็มหรือตัวเลขทั้งหมดเป็น Z ชุด = { . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . .}.
สรุปตัวเลขหรือเศษส่วนแสดง Q, เป็นส่วนหนึ่งของตัวเลขจริงทั้งหมด
ที่สามารถเขียนในรูปแบบเมตร / n โดยเมตรและ n เป็นจำนวนเต็มและ n 6 = 0.
ตัวเลขไม่ลงตัวเป็นชุด R Q ของจุดบนเส้นเช่น? และ P2,
ซึ่งไม่ได้มีเหตุผล.
สำหรับสองหมายเลข A, B กับ <b เรามีส่วนย่อยของ R ต่อไปนี้เรียกว่า
ช่วงเวลา.
คณิตศาสตร์เหตุผลที่ฉัน, สนามหมายเหตุ 4
โน้ตกลุ่มย่อยของ R ประเภทของช่วง Sketch
(b) { x | <x <b} เปิด
AB
[, b] {x |? x? ข} ปิด
AB
(a, b] {x | <x ข} ครึ่งเปิดครึ่งปิด
AB
[b) {x |? x <b} ครึ่งเปิดครึ่งปิด
AB
(-1) {x | x <} เส้นครึ่งเปิด(-1,] {x | x} ปิดเส้นครึ่งหนึ่ง(1) { x | <x} เส้นครึ่งเปิด[1) {x |? x} ปิดครึ่งสายและ1 x 1 1 Z รูปที่ 7 ปริภูมิแบบยุคลิด R3 ในภาพร่างสำหรับช่วงเวลากลมและเครื่องหมายวงเล็บเปิดและปิดจุดสิ้นสุดของช่วงที่จะแสดงบางครั้งโดยจุดที่เปิดกว้างและเต็มไปด้วยตามลำดับ ตัวอย่างเช่นร่างสำรองของช่วง (a, b] จะแสดงในรูปที่ 8. AB รูปที่ 8 สลับร่างสำหรับ (a, b] หมายเหตุเกี่ยวกับคำศัพท์Z สัญลักษณ์สำหรับจำนวนเต็มมาจากเยอรมัน "Zahlennummern" ซึ่งหมายความว่า "ตัวเลขการนับ." สัญลักษณ์ Q สำหรับ rationals มาจากคำว่า "ความฉลาด." คำว่า "เหตุผล" มาจากรากสำหรับอัตราส่วนความหมายสัดส่วน. ระวังว่าสัญกรณ์สำหรับช่วงเปิด (a, b) = {x | <x < ข} เป็นเหมือนสัญกรณ์สำหรับจุด (a, b) ใน x, y เครื่องบินถ้าบริบทไม่ได้ทำให้ชัดเจนซึ่งมีความหมายแล้วบางส่วนแสดงความคิดเห็นเพิ่มเติมมีความเหมาะสมในส่วนของผู้ใช้ .

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เวนน์ไดอะแกรม 0.2 s r

T
p
รูปที่ 1

3
7 ตัวอย่างแผนภาพเวนน์
1
2
4
5
/ b
B
รูปที่ 2
B = { 1 , 2 }
3
7
1
2
4
5
. B
3
[ รูป B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 }
3
7
1
2
4
5

รูปที่ 2
B 7 } B = { 3
มันมักจะเป็นประโยชน์ที่จะใช้ภาพเพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง ชุด
แผนภาพเวนน์แสดงชุดภาค 2 มิติในระนาบ รูปที่ 1 แสดง
แผนภาพเวน แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซต R ทั้งหมดสี่เหลี่ยม
ชุดของสี่เหลี่ยม , ชุด T ทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยม และชุด P
เวนน์ไดอะแกรมของรูปหลายเหลี่ยม ถึงสี่แยก สหภาพ และความแตกต่างของชุดเกี่ยวข้องกับชุด
A และ B จากตัวอย่าง ( 0.1.3 ) แสดงในรูปที่ 2 – 4 .
3 ที่สำคัญ

ชุดตัวเลขที่แท้จริงหนึ่งในชุดสำคัญในคณิตศาสตร์เป็นชุด R ของตัวเลขจริง
ซึ่งเป็นชุดของจุดบนเส้น ชื่อ " ตัวจริง " แสดงความคิดว่า
r คือการตั้งค่าที่เหมาะสมเพื่อแสดงปริมาณที่สามารถวัดได้ใน
" โลกทางกายภาพจริง " เช่น เวลา , ระยะทาง , อุณหภูมิ , ฯลฯ เราเป็นตัวแทนของ
R โดยการวาดรูป เช่น รูปที่ 5 สองป้ายจุดบนเส้นระบุขนาด
และทิศทาง .
0
1
รูปที่ 5 จํานวนจริงบรรทัด

Y
ใช้พื้นที่ 1 x
1

รูปที่ 6 ใช้เครื่องบิน R2
ชุด R2 = r × r = { ( x , y ) | x , y 2 R } เรียกว่า x ,
y-coordinate หรือเครื่องบิน ใช้เครื่องบิน , ชื่อหลังจากที่ยุคลิด ( ประมาณ 300 BC ) เพราะมันเป็นระนาบเรขาคณิตคลาสสิก
สำหรับการตั้งค่า เราเป็นตัวแทน R2 กับภาพวาด เช่น รูปที่ 6
เราสันนิษฐานว่า ผู้อ่านที่คุ้นเคยกับการกำหนดคู่ ( x , y ) ของจำนวนจริง
ด้วยจุดในระนาบ
ชุด R3 = r × r × r = { ( x , y , z ) | X , Y , Z 2 R } เรียกว่าสามมิติ
จริง หรือใช้ 3-space และ นางแบบโลกที่เราอาศัยอยู่ เรา repre ส่ง -
R3 โดยการเขียนแบบ เช่น รูปที่ 7 ที่เราจินตนาการ z-coordinate แกน
ตั้งฉากกับระนาบแบนที่ X และ y-axes โกหก .
ข้อมูลสำคัญ reals
จำนวนเต็มหรือตัวเลขทั้งหมดเป็นชุด Z = { . . . . . . . . − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . } .
จำนวนเต็มหรือเศษส่วน แทน คิว เป็นเซตย่อยของจำนวนจริง
ซึ่งสามารถเขียนได้ในรูป M / N ที่ M และ N เป็นจำนวนเต็ม N 6 = 0
ตัวเลขไม่ลงตัวคือชุด R Q ของจุดบนเส้นเช่น  และ P2

ซึ่งไม่มีเหตุผล สองหมายเลข A , B กับ < b เรามีชุดย่อยของ R ตามช่วงเวลาที่เรียกว่า
.
การใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ชั้น หลักสูตร 4
โน้ตย่อยของ R ประเภท
ร่างบันทึกช่วงเวลา ( a , b ) { x | < X เปิด < b }
B
[ a , b ] { x | เป็น  x  B } ปิด
B
( a , b ] { x | < x  B } ครึ่งเปิดครึ่งปิด
B
[ , b ) { x | เป็น  x < b } ครึ่งเปิดครึ่งปิด
B
( − 1) { x | x < a } เปิดครึ่งบรรทัด
A
( − 1 ] { x x เป็น |  } ปิดครึ่งบรรทัด
A
( , 1 ) { x | < x } เปิดครึ่งบรรทัด
A
[ 1 ) { x | เป็น  x } ปิดครึ่งบรรทัด
A
Y
1 x
1
1
z


รูปที่ 7 ใช้พื้นที่ R3 ในวาดช่วงรอบและเครื่องหมายวงเล็บเหลี่ยมเปิด
และปิดเหล่านี้ช่วงเวลาบางครั้งแสดงโดยเปิดและเติมจุด
ตามลำดับ ตัวอย่างเช่นเป็นร่างสำรองของช่วงเวลา ( a , b ) แสดงในรูปที่ 8
.
B

รูปที่ 8 สลับร่าง ( a , b ]

บันทึกคำศัพท์สัญลักษณ์ Z สำหรับจำนวนเต็มที่มาจากเยอรมัน " zahlennummern " ซึ่ง
หมายถึง " จำนวนนับ " สัญลักษณ์ Q สำหรับ การ rationals มาจาก
" ไอคิว " คำว่า " เหตุผล " มาจากราก อัตราส่วน ความหมาย
สัดส่วนระวังว่าโน้ตสำหรับช่วงเปิด ( a , b ) = { x | < x <
b } เป็นเหมือนกันกับสัญกรณ์สำหรับจุด ( a , b ) X y-plane ถ้าบริบทไม่
ให้ชัดเจนซึ่งหมายถึง แล้วแสดงความคิดเห็นเพิ่มเติมบางอย่างเหมาะสม
ในส่วน ของผู้ใช้