ON CATALAN’S CONJECTUREPreda Mihail

ON CATALAN’S CONJECTURE
Preda Mihailescu
(University of Paderborn)
Je ne fais pourtant de mal `a personne
En suivant les chemins qui n’m`enent pas `a Rome
Mais les braves gens n’aiment pas que
L’on suive une autre route qu’eux.
George Brassens
x
u − y
v = 1 ⇒ (x, y; u, v) = (3, 2; 2, 3)
Proof of Catalan’s conjecture
The intriguing pair 3
2 −2
3 = 1 = 9−8 had been shown in the 13th century to be the only pair
of consecutive powers of 3 and 2; this was the Spanish-Jewish astronomer Ben Gershon. In 1844,
Catalan conjectured they also are the only consecutive proper powers of integers (different from
0,1). He was right! Considering the equation x
p − y
q = 1 with prime exponents p, q the following
landmarks had been achieved by 2000: the case q = 2 (V. Lebesgue) and p = 2 (Ko Chao); Cassels
showed that the “I cases of Catalan” had no solutions. Using Baker’s theory, Tijdeman showed
that the equation might have at most a finite number of solutions and eventually upper bounds
on the exponents were improved to p < 7.1011 and q < 7.1016 (when p < q). Lower bounds
were gained by verifying algebraic conditions stemming mainly from Inkeri. The lower bound
p, q > 106 was reached in 1999 and in 2000, using a new result, “the double Wieferich conditions”,
of the lecturer, p, q > 3.108 was proved. If Q(ζ) is the p-th cyclotomic extension and (x, y; p, q) is a
solution to Catalan, let α =
x−ζ
1−ζ
∈ Z[ζ]; by Cassels’ work, it is known that N(α) = ν
q and thus the
ideal a = (α, ν) ⊂ Z[ζ] has a
q = (α). q-primary algebraic numbers of Q(ζ) being essentially such
ones which are q-adic q-th powers, I prove that for every θ ∈ Fq[Gal(Q(ζ)
+/Q)] which annihilates
the q-primary cyclotomic units (mod q-th powers, certainly), (x − ζ)
θ = ν
q holds. The algebraic
integer ν can then be found by power series expansion: in the reals not only the binomial series
converges to ν, but its sum also commutes with Galois action. This strong properties, together
with generous lower bounds for x, which were given by Hyyr¨o, help prove that ν can only be an
algebraic integer if θ = 0 mod q. This again implies that all cyclotomic units should be q-primary,
if a new solution to Catalan’s equation should exist. However, if p > q one easily shows that all
cyclotomic units cannot be q-primary, a contradiction which confirms Catalan’s intuition. Q

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บนคาตาลันของการคาดเดา
Preda Mihailescu
(มหาวิทยาลัย Paderborn)
Je ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ fais pourtant เด mal `PERSONNE
En suivant les Chemins อภิสิทธิ์ใคร n'm`enent` โรม
Mais les นักรบวงศ์ n'aiment อภิสิทธิ์ que
L'ใน suive กระจัดกระจายคนละเส้นทางคู . eux
จอร์จ Brassens
x
ยู - วายโว = 1 ⇒ (x, y; ยูวี) = (3, 2; 2, 3) หลักฐานของการคาดเดาของคาตาลันคู่ที่น่าสนใจ 3 2 -2 3 = 1 = 9-8 ได้รับการแสดงในศตวรรษที่ 13 จะเป็นเพียงคู่ของอำนาจติดต่อกัน3 และ 2; นี่คือนักดาราศาสตร์ชาวยิวสเปนเบนชั่น ใน 1844, คาตาลันคาดคะเนพวกเขายังมีอำนาจที่เหมาะสมเพียงติดต่อกันของจำนวนเต็ม (แตกต่างจาก0,1) เขาเป็นคนที่เหมาะสม! พิจารณาสมเอ็กซ์พี - วายคิว= 1 กับพีเลขยกกำลังที่สำคัญคิวต่อไปนี้สถานที่สำคัญที่ได้รับการประสบความสำเร็จโดย2000: กรณีคิว = 2 (เกอโวลต์) และ p = 2 (เกาะเจ้าพระยา); Cassels แสดงให้เห็นว่า "ผมกรณีของคาตาลัน" มีการแก้ปัญหาไม่ได้ การใช้ทฤษฎีของเบเกอร์, Tijdeman แสดงให้เห็นว่าสมการที่อาจจะมีมากที่สุดจำนวนจำกัด ของการแก้ปัญหาและขอบเขตบนในที่สุดในเลขยกกำลังได้รับการปรับปรุงเพื่อp <7.1011 และคิว <7.1016 (เมื่อ p <ด) ขอบเขตล่างได้รับการตรวจสอบได้รับจากการเงื่อนไขเกี่ยวกับพีชคณิตที่เกิดส่วนใหญ่มาจาก Inkeri ขอบเขตที่ต่ำp, q> 106 ก็มาถึงในปี 1999 และในปี 2000 โดยใช้ผลใหม่ "เงื่อนไข Wieferich คู่" ของอาจารย์, p, q> 3.108 พิสูจน์ ถ้า Q (ζ) เป็นพี ณ ขยาย cyclotomic และ (x, y; p, q) เป็นวิธีการแก้คาตาลันให้α = x-ζ 1 ζ∈ Z [ζ]; โดยการทำงาน Cassels 'เป็นที่รู้จักกันว่า N (α) = νคิวและทำให้เหมาะ= (α, ν) ⊂ Z [ζ] มีคิว= (α) Q-หลักจำนวนเชิงพีชคณิตของ Q (ζ) เป็นหลักเช่นคนที่มีQ-ADIC อำนาจ Q-พ.ศ. ผมพิสูจน์ให้เห็นว่าทุกθ∈ Fq [สาว (Q (ζ) + / Q)] ซึ่ง annihilates Q-หลัก หน่วย cyclotomic (สมัยอำนาจ Q-พ.ศ. แน่นอน), (x - ζ) θ = νคิวถือ พีชคณิตνจำนวนเต็มจากนั้นจะสามารถพบได้โดยการขยายตัวของชุดไฟใน reals ไม่เพียง แต่ชุดที่สองชื่อลู่เพื่อร่างกาย* แต่ผลรวมยัง commutes ด้วยการกระทำลัวส์ ซึ่งคุณสมบัติที่แข็งแกร่งร่วมกับขอบเขตล่างใจกว้างสำหรับ x ซึ่งถูกกำหนดโดยHyyr¨oช่วยพิสูจน์νที่สามารถเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตถ้าθ = 0 mod คิว ครั้งนี้แสดงให้เห็นว่าหน่วย cyclotomic ทุกคนควรจะ Q-หลักถ้าโซลูชั่นใหม่สมคาตาลันควรอยู่ แต่ถ้า p> หนึ่งคิวได้อย่างง่ายดายแสดงให้เห็นว่าทุกหน่วยcyclotomic ไม่สามารถ Q-หลักความขัดแย้งซึ่งยืนยันสัญชาตญาณของคาตาลัน Q

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ใน preda mihailescu คาตาลัน คือการคาดเดา

( มหาวิทยาลัย Paderborn )
je ne เฟ pourtant เดอ มัล ` เป็นผู้ suivant เลส chemins qui n

ผม ` enent PAS ' โรม
Mais เลส นักรบรุ่น n'aiment PAS que
อย่าง suive une อื่นๆเส้นทาง qu'eux จอร์จ brassens
x
.
u
V − Y = 1 ⇒ ( X , Y ; u , v ) = ( 3 , 2 ; 2 , 3 )
หลักฐานคาตาลัน คือการคาดเดา

น่าสนใจคู่ 2 − 2
33 = 1 = 9 − 8 ได้ถูกแสดงในศตวรรษที่ 13 เป็นเพียงคู่
ติดต่อกัน อำนาจของ 3 และ 2 ; นี้เป็นนักดาราศาสตร์ชาวยิวสเปน เบนเกอร์ . 1844 ในคาตาลัน , conjectured
พวกเขาก็เป็นแค่ติดต่อกันที่เหมาะสมอำนาจของจำนวนเต็ม ( แตกต่างจาก
0.1 ) เขาพูดถูก ! พิจารณาสมการ x
p
q = y − 1 กับนายกรัฐมนตรีเลขยกกำลัง P , Q จุดต่อไปนี้
ได้รับบรรลุ 2000 :กรณี Q = 2 ( V lebesgue ) และ P = 2 ( เกาะเจ้า ) ; คา ซล
พบว่า " กรณีของคาตาลัน " มีโซลูชั่น การใช้ทฤษฎี เบเกอร์ , tijdeman พบ
ว่าสมการอาจได้มากที่สุดที่จำกัดจำนวนของโซลูชั่นและในที่สุด
ขอบเขตบนคือมีการปรับปรุง P < 7.1011 และ Q < 7.1016 ( เมื่อ p < Q ) ลดขอบเขต
เป็นรับโดยการตรวจสอบเงื่อนไข ซึ่งส่วนใหญ่มาจาก inkeri พีชคณิต . ล่าง ผูกพัน
p , Q > 106 มาถึงในปี 1999 และ 2000 , ใช้ผลใหม่ , " เงื่อนไข " wieferich คู่
ของอาจารย์ , P , Q > 3.108 ถูกพิสูจน์ ถ้า Q ( ζ ) เป็น p-th cyclotomic ส่งเสริมและ ( x , y ; p , q ) เป็นโซลูชัน
คาตาลัน ให้α =
x −ζ
1 −ζ
∈ Z [ ζ ] ; โดย คา ซล ' ทำงาน มันเป็นที่รู้จักกันว่า ( α ) = ν
Q และดังนั้นจึงเหมาะ ( α
= , ⊂ν ) Z [ ζ ] มี
Q = ( α ) q-primary พีชคณิตตัวเลข q ( ζ ) เป็นหลัก ซึ่ง q-adic คนเช่น
q-th พลัง ผมพิสูจน์ว่าทุกθ∈ FQ [ Gal ( Q ( ζ )
/ Q ) ] ซึ่ง annihilates
q-primary cyclotomic หน่วย ( mod q-th พลังอย่างแน่นอน ) , ( −ζ X )

θ = ν Q มี การνจำนวนเต็มพีชคณิต
แล้วสามารถพบได้โดยการขยายชุดพลังงาน :ในจริงไม่ใช่แค่
ชุดทวินามเข้าสู่ν แต่ผลรวมยังเดินทางกับกาลัวการกระทํา นี้แข็งแรงคุณสมบัติด้วยกัน
กับใจดีลดข้อกำหนดสำหรับ x ซึ่งถูกตั้ง hyyr o ช่วยพิสูจน์ว่าνต้อง
พีชคณิตเต็ม ถ้าθ = 0 mod นี่อีกครั้งแสดงให้เห็นว่าหน่วย cyclotomic ทั้งหมดควรจะ q-primary
ถ้า , โซลูชั่นใหม่สมการ คาตาลัน ก็ควรมีอยู่ อย่างไรก็ตามถ้า p > q หนึ่งได้อย่างง่ายดายแสดงให้เห็นว่าหน่วย cyclotomic ทั้งหมด
ไม่สามารถ q-primary , ความขัดแย้งที่ยืนยัน คาตาลัน เป็นสัญชาตญาณ คิว