- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
Maths in a minute: Pretend primesSu
Maths in a minute: Pretend primes
Submitted by mf344 on July 8, 2015
Suppose you have a prime number $p$ and some other natural number $x$. Then, no matter what the value of $x$ is, as long as it’s a natural number, you will find that
[ x^ p - x ]
is a multiple of $p.$
This result is known as Fermat's little theorem, not to be confused with Fermat's last theorem.
Let’s try the little theorem with a few examples. For $p=2$ and $x=5$ we have
[ 5^2 - 5 = 25 -5 = 20 = 10 imes 2. ]
For $p = 3$ and $x = 2$ we have
[ 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 = 2 imes 3. ]
And for $p = 7$ and $x =11$ we have
[ 11^7 - 11 = 19,487,171 - 11 = 19,487,160 = 2,783,880 imes 7. ]
You can try it out for other values of $p$ and $x$ yourself.
Fermat
Pierre de Fermat.
Fermat first mentioned a version of this theorem in a letter in 1640. As with his last theorem, he was a little cryptic about the proof:
"...the proof of which I would send to you, if I were not afraid to be too long."
But unlike with Fermat's last theorem, a proof was published relatively soon; in 1736 by Leonhard Euler.
But does Fermat’s little theorem work the other way around? If you have a natural number $n$ so that for all other natural numbers $x$
$x^ n - x$
is a multiple of $n,$ does this imply that $n$ is a prime?
If this were true, then we could use Fermat’s little theorem to check whether a given number $n$ is prime: pick a bunch of other numbers $x$ at random, and for each of them check whether
[ x^ n - x ]
is a multiple of $n.$ If you find an $x$ for which this isn’t true, then you know for sure that $n$ isn’t prime. If you don’t find one, then provided you have checked sufficiently many $x,$ you can be pretty sure that $n$ is prime. This method is called Fermat’s primality test.
Alas, it doesn’t quite work as well as it could. In 1885 the Czech mathematician Václav Šimerka discovered non-prime numbers that masquerade as primes when it comes to Fermat’s little theorem. The number $561$ is the smallest of them. It’s not prime, but for all other natural numbers $x$ we have that
[ x^{561} - x ]
is a multiple of $561.$
Šimerka also discovered that $1105, 1729, 2465, 2821, 6601$ and $8911$ behave in the same way. Natural numbers that aren't primes but satisfy the relationship stated in Fermat's little theorem are sometimes called pseudoprimes, because they make such a good job of behaving like primes, or Carmichael numbers, after the American Robert Carmichael, who independently found the first one, 561, in 1910.
You can see from the first seven named above that Carmichael numbers aren’t too abundant. There are infinitely many of them, a fact that wasn’t proved until 1994, but they are very sparse. In fact, they get sparser as you move up the number line: if you count the Carmichael numbers between 1 and $10^{21}$, you’ll find that there are only around one in 50 trillion.
Carmichael numbers do hamper Fermat's primality test somewhat, but not so badly as to make it totally unusable. And there are modified versions of the test that work very well. As cans of worms opened by Fermat go, the one involving Carmichael numbers definitely wasn't the worst.
Submitted by mf344 on July 8, 2015
Suppose you have a prime number $p$ and some other natural number $x$. Then, no matter what the value of $x$ is, as long as it’s a natural number, you will find that
[ x^ p - x ]
is a multiple of $p.$
This result is known as Fermat's little theorem, not to be confused with Fermat's last theorem.
Let’s try the little theorem with a few examples. For $p=2$ and $x=5$ we have
[ 5^2 - 5 = 25 -5 = 20 = 10 imes 2. ]
For $p = 3$ and $x = 2$ we have
[ 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 = 2 imes 3. ]
And for $p = 7$ and $x =11$ we have
[ 11^7 - 11 = 19,487,171 - 11 = 19,487,160 = 2,783,880 imes 7. ]
You can try it out for other values of $p$ and $x$ yourself.
Fermat
Pierre de Fermat.
Fermat first mentioned a version of this theorem in a letter in 1640. As with his last theorem, he was a little cryptic about the proof:
"...the proof of which I would send to you, if I were not afraid to be too long."
But unlike with Fermat's last theorem, a proof was published relatively soon; in 1736 by Leonhard Euler.
But does Fermat’s little theorem work the other way around? If you have a natural number $n$ so that for all other natural numbers $x$
$x^ n - x$
is a multiple of $n,$ does this imply that $n$ is a prime?
If this were true, then we could use Fermat’s little theorem to check whether a given number $n$ is prime: pick a bunch of other numbers $x$ at random, and for each of them check whether
[ x^ n - x ]
is a multiple of $n.$ If you find an $x$ for which this isn’t true, then you know for sure that $n$ isn’t prime. If you don’t find one, then provided you have checked sufficiently many $x,$ you can be pretty sure that $n$ is prime. This method is called Fermat’s primality test.
Alas, it doesn’t quite work as well as it could. In 1885 the Czech mathematician Václav Šimerka discovered non-prime numbers that masquerade as primes when it comes to Fermat’s little theorem. The number $561$ is the smallest of them. It’s not prime, but for all other natural numbers $x$ we have that
[ x^{561} - x ]
is a multiple of $561.$
Šimerka also discovered that $1105, 1729, 2465, 2821, 6601$ and $8911$ behave in the same way. Natural numbers that aren't primes but satisfy the relationship stated in Fermat's little theorem are sometimes called pseudoprimes, because they make such a good job of behaving like primes, or Carmichael numbers, after the American Robert Carmichael, who independently found the first one, 561, in 1910.
You can see from the first seven named above that Carmichael numbers aren’t too abundant. There are infinitely many of them, a fact that wasn’t proved until 1994, but they are very sparse. In fact, they get sparser as you move up the number line: if you count the Carmichael numbers between 1 and $10^{21}$, you’ll find that there are only around one in 50 trillion.
Carmichael numbers do hamper Fermat's primality test somewhat, but not so badly as to make it totally unusable. And there are modified versions of the test that work very well. As cans of worms opened by Fermat go, the one involving Carmichael numbers definitely wasn't the worst.
0/5000
Maths in a minute: Pretend primesSubmitted by mf344 on July 8, 2015Suppose you have a prime number $p$ and some other natural number $x$. Then, no matter what the value of $x$ is, as long as it’s a natural number, you will find that [ x^ p - x ] is a multiple of $p.$This result is known as Fermat's little theorem, not to be confused with Fermat's last theorem.Let’s try the little theorem with a few examples. For $p=2$ and $x=5$ we have [ 5^2 - 5 = 25 -5 = 20 = 10 imes 2. ] For $p = 3$ and $x = 2$ we have [ 2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 = 2 imes 3. ] And for $p = 7$ and $x =11$ we have [ 11^7 - 11 = 19,487,171 - 11 = 19,487,160 = 2,783,880 imes 7. ] You can try it out for other values of $p$ and $x$ yourself.FermatPierre de Fermat.Fermat first mentioned a version of this theorem in a letter in 1640. As with his last theorem, he was a little cryptic about the proof:"...the proof of which I would send to you, if I were not afraid to be too long."But unlike with Fermat's last theorem, a proof was published relatively soon; in 1736 by Leonhard Euler.But does Fermat’s little theorem work the other way around? If you have a natural number $n$ so that for all other natural numbers $x$$x^ n - x$is a multiple of $n,$ does this imply that $n$ is a prime?If this were true, then we could use Fermat’s little theorem to check whether a given number $n$ is prime: pick a bunch of other numbers $x$ at random, and for each of them check whether [ x^ n - x ] is a multiple of $n.$ If you find an $x$ for which this isn’t true, then you know for sure that $n$ isn’t prime. If you don’t find one, then provided you have checked sufficiently many $x,$ you can be pretty sure that $n$ is prime. This method is called Fermat’s primality test.Alas, it doesn’t quite work as well as it could. In 1885 the Czech mathematician Václav Šimerka discovered non-prime numbers that masquerade as primes when it comes to Fermat’s little theorem. The number $561$ is the smallest of them. It’s not prime, but for all other natural numbers $x$ we have that [ x^{561} - x ] is a multiple of $561.$Šimerka also discovered that $1105, 1729, 2465, 2821, 6601$ and $8911$ behave in the same way. Natural numbers that aren't primes but satisfy the relationship stated in Fermat's little theorem are sometimes called pseudoprimes, because they make such a good job of behaving like primes, or Carmichael numbers, after the American Robert Carmichael, who independently found the first one, 561, in 1910.You can see from the first seven named above that Carmichael numbers aren’t too abundant. There are infinitely many of them, a fact that wasn’t proved until 1994, but they are very sparse. In fact, they get sparser as you move up the number line: if you count the Carmichael numbers between 1 and $10^{21}$, you’ll find that there are only around one in 50 trillion.Carmichael numbers do hamper Fermat's primality test somewhat, but not so badly as to make it totally unusable. And there are modified versions of the test that work very well. As cans of worms opened by Fermat go, the one involving Carmichael numbers definitely wasn't the worst.
การแปล กรุณารอสักครู่..
คณิตศาสตร์ในนาที: แกล้งเฉพาะ
Submitted by mf344 ใน 8 กรกฎาคม 2015
สมมติว่าคุณมีจำนวนเฉพาะ $ $ พีและบางส่วนจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ $ x $ จากนั้นไม่ว่าสิ่งที่ค่าของ $ x $ เป็นไม่มีตราบใดที่มันเป็นจำนวนธรรมชาติ, คุณจะพบว่า [x ^ พี - x ] มีหลาย $ พี $. ผลที่ได้นี้เป็นที่รู้จักกันทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ เพื่อไม่ให้สับสนกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์. ลองทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ด้วยตัวอย่างไม่กี่ ราคา $ p = 2 $ และ $ x = 5 $ เราได้ [5 ^ 2-5 = 25 -5 = 20 = 10 times 2 ] ราคา $ p = 3 $ และ $ x = 2 $ เรามี [2 ^ 3-2 = 8-2 = 6 = 2 times 3 ] และสำหรับ $ p = 7 $ และ $ x = 11 $ เราได้ [11 ^ 7-11 = 19487171 - 11 = 19,487,160 = 2,783,880 times 7 ] คุณสามารถพยายามที่จะออกค่าอื่น ๆ ของพี $ $ และ $ x $ ตัวเอง. แฟร์มาต์แยร์เดอแฟร์มาต์. แฟร์มาต์แรกที่กล่าวถึงรุ่นของทฤษฎีบทนี้ในจดหมายใน 1640 เช่นเดียวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของเขา เป็นเพียงเล็กน้อยที่เป็นความลับเกี่ยวกับการพิสูจน์: "... หลักฐานของการที่ผมจะส่งให้คุณถ้าผมไม่กลัวที่จะมีความยาวเกินไป." แต่แตกต่างกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์, หลักฐานถูกตีพิมพ์ที่ค่อนข้างเร็ว ๆ นี้; ใน 1736 โดย Leonhard ออยเลอร์. แต่ไม่ทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ทำงานวิธีอื่น ๆ ? หากคุณมีจำนวนธรรมชาติ $ n $ เพื่อให้สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ $ x $ $ x ^ n - x $? มีหลาย $ n ที่ $ นี้ไม่ได้หมายความว่า $ $ n เป็นนายกถ้าเรื่องนี้เป็นจริงแล้วเราสามารถใช้ทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์เพื่อตรวจสอบว่าเป็นจำนวน $ $ n ได้รับเป็นสำคัญ: เลือกพวงของตัวเลขอื่น ๆ $ x $ ที่สุ่มและสำหรับแต่ละของพวกเขาตรวจสอบว่า [x ^ n - x ] เป็นหลาย ๆ ของ $ n. $ หากคุณพบ $ x $ ซึ่งไม่เป็นความจริงแล้วคุณทราบว่า $ $ n ไม่ได้เป็นนายก ถ้าคุณไม่พบหนึ่งแล้วให้คุณได้ตรวจสอบหลายอย่างพอเพียง $ x, $ คุณสามารถสวยแน่ใจว่า $ n $ เป็นสำคัญ วิธีการนี้เรียกว่า primality ทดสอบของแฟร์มาต์. อนิจจามันไม่ได้ค่อนข้างทำงานได้ดีเท่าที่ควร ในปี 1885 นักคณิตศาสตร์เช็กVáclavŠimerkaค้นพบตัวเลขที่ไม่ใช่นายกที่ปลอมตัวเป็นจำนวนเฉพาะเมื่อมันมาถึงทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ จำนวน $ 561 $ เป็นที่เล็กที่สุดของพวกเขา มันไม่สำคัญ แต่สำหรับจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ $ x $ เรามีที่ [x ^ {561} - x ] เป็นหลายของ $ 561. $ Šimerkaยังพบว่า $ 1,105, 1,729, 2,465, 2,821, 6,601 $ และ $ 8,911 $ ประพฤติในทางเดียวกัน หมายเลขธรรมชาติที่ไม่เฉพาะ แต่ตอบสนองความสัมพันธ์ที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์บางครั้งเรียกว่า pseudoprimes เพราะพวกเขาทำเช่นงานที่ดีของทำตัวเหมือนช่วงเวลาหรือตัวเลขคาร์ไมเคิหลังจากที่ชาวอเมริกันโรเบิร์ตคาร์ไมเคิที่เป็นอิสระพบคนแรก 561 ในปี 1910 คุณสามารถดูจากเจ็ดครั้งแรกชื่อข้างต้นว่าตัวเลขร์ไมเคิลไม่ได้มากมายเกินไป มีอนันต์มากของพวกเขาเป็นจริงที่ไม่ได้พิสูจน์จนถึงปี 1994 แต่พวกเขาจะเบาบางมาก ในความเป็นจริงพวกเขาได้รับเบาบางขณะที่คุณย้ายขึ้นเส้นจำนวน: ถ้าคุณนับตัวเลขคาร์ไมเคิระหว่างวันที่ 1 และ $ 10 ^ {21} $ คุณจะพบว่ามีเพียงประมาณหนึ่งใน 50000000000000. หมายเลขคาร์ไมเคิไม่ขัดขวาง primality ของแฟร์มาต์ ทดสอบบ้าง แต่ไม่ได้จึงไม่ดีที่จะทำให้มันใช้ไม่ได้ทั้งหมด และมีการปรับเปลี่ยนรุ่นได้รับการทดสอบที่ทำงานได้เป็นอย่างดี ในฐานะที่เป็นกระป๋องของเวิร์มเปิดโดยแฟร์มาต์ไปหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขคาร์ไมเคิแน่นอนไม่ได้เลวร้ายที่สุด
Submitted by mf344 ใน 8 กรกฎาคม 2015
สมมติว่าคุณมีจำนวนเฉพาะ $ $ พีและบางส่วนจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ $ x $ จากนั้นไม่ว่าสิ่งที่ค่าของ $ x $ เป็นไม่มีตราบใดที่มันเป็นจำนวนธรรมชาติ, คุณจะพบว่า [x ^ พี - x ] มีหลาย $ พี $. ผลที่ได้นี้เป็นที่รู้จักกันทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ เพื่อไม่ให้สับสนกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์. ลองทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ด้วยตัวอย่างไม่กี่ ราคา $ p = 2 $ และ $ x = 5 $ เราได้ [5 ^ 2-5 = 25 -5 = 20 = 10 times 2 ] ราคา $ p = 3 $ และ $ x = 2 $ เรามี [2 ^ 3-2 = 8-2 = 6 = 2 times 3 ] และสำหรับ $ p = 7 $ และ $ x = 11 $ เราได้ [11 ^ 7-11 = 19487171 - 11 = 19,487,160 = 2,783,880 times 7 ] คุณสามารถพยายามที่จะออกค่าอื่น ๆ ของพี $ $ และ $ x $ ตัวเอง. แฟร์มาต์แยร์เดอแฟร์มาต์. แฟร์มาต์แรกที่กล่าวถึงรุ่นของทฤษฎีบทนี้ในจดหมายใน 1640 เช่นเดียวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของเขา เป็นเพียงเล็กน้อยที่เป็นความลับเกี่ยวกับการพิสูจน์: "... หลักฐานของการที่ผมจะส่งให้คุณถ้าผมไม่กลัวที่จะมีความยาวเกินไป." แต่แตกต่างกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์, หลักฐานถูกตีพิมพ์ที่ค่อนข้างเร็ว ๆ นี้; ใน 1736 โดย Leonhard ออยเลอร์. แต่ไม่ทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ทำงานวิธีอื่น ๆ ? หากคุณมีจำนวนธรรมชาติ $ n $ เพื่อให้สำหรับทุกจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ $ x $ $ x ^ n - x $? มีหลาย $ n ที่ $ นี้ไม่ได้หมายความว่า $ $ n เป็นนายกถ้าเรื่องนี้เป็นจริงแล้วเราสามารถใช้ทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์เพื่อตรวจสอบว่าเป็นจำนวน $ $ n ได้รับเป็นสำคัญ: เลือกพวงของตัวเลขอื่น ๆ $ x $ ที่สุ่มและสำหรับแต่ละของพวกเขาตรวจสอบว่า [x ^ n - x ] เป็นหลาย ๆ ของ $ n. $ หากคุณพบ $ x $ ซึ่งไม่เป็นความจริงแล้วคุณทราบว่า $ $ n ไม่ได้เป็นนายก ถ้าคุณไม่พบหนึ่งแล้วให้คุณได้ตรวจสอบหลายอย่างพอเพียง $ x, $ คุณสามารถสวยแน่ใจว่า $ n $ เป็นสำคัญ วิธีการนี้เรียกว่า primality ทดสอบของแฟร์มาต์. อนิจจามันไม่ได้ค่อนข้างทำงานได้ดีเท่าที่ควร ในปี 1885 นักคณิตศาสตร์เช็กVáclavŠimerkaค้นพบตัวเลขที่ไม่ใช่นายกที่ปลอมตัวเป็นจำนวนเฉพาะเมื่อมันมาถึงทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์ จำนวน $ 561 $ เป็นที่เล็กที่สุดของพวกเขา มันไม่สำคัญ แต่สำหรับจำนวนธรรมชาติอื่น ๆ $ x $ เรามีที่ [x ^ {561} - x ] เป็นหลายของ $ 561. $ Šimerkaยังพบว่า $ 1,105, 1,729, 2,465, 2,821, 6,601 $ และ $ 8,911 $ ประพฤติในทางเดียวกัน หมายเลขธรรมชาติที่ไม่เฉพาะ แต่ตอบสนองความสัมพันธ์ที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทเล็ก ๆ น้อย ๆ ของแฟร์มาต์บางครั้งเรียกว่า pseudoprimes เพราะพวกเขาทำเช่นงานที่ดีของทำตัวเหมือนช่วงเวลาหรือตัวเลขคาร์ไมเคิหลังจากที่ชาวอเมริกันโรเบิร์ตคาร์ไมเคิที่เป็นอิสระพบคนแรก 561 ในปี 1910 คุณสามารถดูจากเจ็ดครั้งแรกชื่อข้างต้นว่าตัวเลขร์ไมเคิลไม่ได้มากมายเกินไป มีอนันต์มากของพวกเขาเป็นจริงที่ไม่ได้พิสูจน์จนถึงปี 1994 แต่พวกเขาจะเบาบางมาก ในความเป็นจริงพวกเขาได้รับเบาบางขณะที่คุณย้ายขึ้นเส้นจำนวน: ถ้าคุณนับตัวเลขคาร์ไมเคิระหว่างวันที่ 1 และ $ 10 ^ {21} $ คุณจะพบว่ามีเพียงประมาณหนึ่งใน 50000000000000. หมายเลขคาร์ไมเคิไม่ขัดขวาง primality ของแฟร์มาต์ ทดสอบบ้าง แต่ไม่ได้จึงไม่ดีที่จะทำให้มันใช้ไม่ได้ทั้งหมด และมีการปรับเปลี่ยนรุ่นได้รับการทดสอบที่ทำงานได้เป็นอย่างดี ในฐานะที่เป็นกระป๋องของเวิร์มเปิดโดยแฟร์มาต์ไปหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขคาร์ไมเคิแน่นอนไม่ได้เลวร้ายที่สุด
การแปล กรุณารอสักครู่..
I lost my best friend.I lost my best friend.I lost my best friend.I lost my best friend.I lost my best friend.I lost my best friend.I lost my best friend.I lost my best friend.I lost my best friend.
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- ซุปไข่
- สควอช : เริ่มต้น จากประเทศอังกฤษสู่ทั่วโ
- Matsäck
- not recovered efficiently due
- ฉันไม่รู้จะแต่งนิทานเรื่องนี้อย่างไร
- strengthen
- description
- I am pleased with you
- Morn-ing is overall doing well in class
- There can be many legal implications upo
- currently more than 30 years old?
- Ensure environmental sustainabilityDevel
- ตาสีน้ำตาล
- ฉันใช้โปรแกรมได้ดี
- - มีทักษะทางด้านการซ่อมไฟฟ้า ติดตั้งไฟฟ้
- 福岡市役所西側ふれあい広場
- Low if aggregated, high if not
- ครูให้สอบพูดตัวอักษรไทย
- ตาสีน้ำตาล
- เปิ้ล
- 福岡市役所西側ふれあい広場
- Please you help revert 65Txn due the sup
- ฉันสามารถช่วยเหลือคนที่ลำบาก
- กระต่าย
