The number of functions from a set

The number of functions from a set XX to another set YY is given by |Y||X||Y||X| since each element in the set XX has |Y||Y| choices.

Hence, in the first case, you have a total of 2n2n functions. To count the number of onto(surjective) functions, the easier way in this case is to subtract out the number of functions which are not onto. In this case, there are only two functions which are not unto, namely the function which maps every element to 11 and the other function which maps every element to 22. Hence, the total number of onto functions is 2n−22n−2.

In the second case, the total number of functions is n2n2. To count the number of one-to-one(injective) functions, all we need is 11 and 22 must map to distinct elements. If the function is one-to-one, then the number of choices for 11 is nn. Once we know where 11 has been mapped to the number of choices for 22, so that the function is one-to-one, is n−1n−1. Hence, the total number of injective functions is n(n−1)n(n−1).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

จำนวนฟังก์ชันจากชุด XX ไปปปชุดอื่นถูกกำหนดโดยกรุนด์ฟอส Y|| X|| Y|| X| ตั้งแต่องค์ประกอบแต่ละชุดมี XX กรุนด์ฟอส Y|| Y| การเลือกดังนั้น ในกรณีแรก คุณมีการรวมฟังก์ชั่น 2n2n เพื่อนับจำนวนของ onto(surjective) วิธีง่ายในกรณีนี้คือการ ลบออกหมายเลขของฟังก์ชันที่ไม่ได้อยู่บน ในกรณีนี้ มีสองฟังก์ชันที่ไม่แก่ คือฟังก์ชันที่แมปองค์ประกอบ 11 และฟังก์ชันอื่น ๆ ที่แมปองค์ประกอบไป 22 ด้วยเหตุนี้ จำนวนทั้งหมดลงในฟังก์ชันเป็น 2n−22n−2ในกรณีสอง จำนวนฟังก์ชั่นคือ n2n2 การนับจำนวนของ one-to-one(injective) ทั้งหมดเราต้องเป็น 11 และ 22 ต้องแมปองค์ประกอบที่แตกต่างกัน ถ้าฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ทางเลือกสำหรับ 11 เป็น nn เมื่อเรารู้ที่ 11 ได้ถูกแมปกับทางเลือกสำหรับ 22 เพื่อให้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง เป็น n−1n−1 ด้วยเหตุนี้ จำนวนฟังก์ชั่น injective เป็น n(n−1)n(n−1)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จำนวนหน้าที่จาก XX ชุดชุด YY อื่นจะได้รับโดย | Y || X || Y || X | ตั้งแต่องค์ประกอบในชุดที่มี XX แต่ละ | Y || Y | ทางเลือก. ดังนั้นในกรณีแรกที่คุณมีทั้งหมดของฟังก์ชั่น 2n2n การนับจำนวนบน (surjective) ฟังก์ชั่นที่วิธีที่ง่ายในกรณีนี้คือการลบออกหมายเลขของฟังก์ชั่นที่ไม่ได้เข้าสู่ ในกรณีนี้มีเพียงสองฟังก์ชั่นที่ไม่แก่คือฟังก์ชั่นแผนที่ที่ทุกองค์ประกอบถึง 11 และฟังก์ชั่นอื่น ๆ ที่แผนที่ทุกองค์ประกอบไป 22. ดังนั้นจำนวนรวมของการเข้าสู่ฟังก์ชั่นคือ 2n-22N-2. ใน กรณีที่สองจำนวนรวมของฟังก์ชั่นเป็น n2n2 การนับจำนวนของ One-to-One (นึง) ฟังก์ชั่นทั้งหมดที่เราต้องการคือ 11 และ 22 ต้องแมองค์ประกอบที่แตกต่างกัน ถ้าฟังก์ชันเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งแล้วจำนวนตัวเลือกสำหรับ 11 คือ NN เมื่อเรารู้ว่าที่ 11 ได้รับการแมปกับจำนวนตัวเลือกสำหรับ 22 เพื่อให้การทำงานเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งคือ N-1N-1 ดังนั้นจำนวนรวมของฟังก์ชั่นนึงคือ n (n-1) n (n-1)