AbstractWe say that a positive inte

Abstract
We say that a positive integer d is special if for every integer m there exist nonzero
integers a, b, c such that m = a2 +b2 −dc2. In this note we present examples and some
properties of special numbers. Moreover, we present an infinite sequence of special
numbers.
1 Introduction
Let d be a positive integer. If a, b, c are integers, then let [a, b, c]d denote the number a2 +
b2 − dc2. We say that d is special if for every integer m there exist nonzero integers a, b, c
such that m = [a, b, c]d.
We present examples and some properties of special numbers. Moreover, we present an
infinite sequence of special numbers.
2 The numbers a2 + b2 − c2
Observe that 0 = [3, 4, 5]1 and
−1 = [2, 2, 3]1, 1 = [1, 1, 1]1, −6 = [3, 1, 4]1, 6 = [3, 1, 2]1,
−2 = [1, 1, 2]1, 2 = [3, 3, 4]1, −7 = [1, 1, 3]1, 7 = [2, 2, 1]1,
−3 = [3, 2, 4]1, 3 = [6, 4, 7]1, −8 = [2, 2, 4]1, 8 = [4, 1, 3]1,
−4 = [2, 1, 3]1, 4 = [2, 1, 1]1, −9 = [6, 2, 7]1, 9 = [3, 1, 1]1,
−5 = [4, 2, 5]1, 5 = [5, 4, 6]1, −10 = [5, 1, 6]1, 10 = [5, 1, 4]1.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

บทคัดย่อเรากล่าวว่า d เป็นจำนวนเต็มบวกเป็นพิเศษถ้าสำหรับทุกจำนวนเต็ม m มีค่าจำนวนเต็ม a, b, c เช่นที่ m = a2 + b2 −dc2 ในบันทึกนี้ เรานำเสนอตัวอย่างและบางคุณสมบัติของเลขพิเศษ นอกจากนี้ เรานำเสนอมีลำดับอนันต์พิเศษหมายเลขบทนำ 1ให้ d เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า a, b, c เป็นจำนวนเต็ม แล้วให้ [a, b, c] a2 เลขหมาย d +b2 − dc2 เราบอก d ที่พิเศษสำหรับทุกจำนวนเต็ม m ที่มีค่าจำนวนเต็ม a, b, cเช่นที่ m = [a, b, c] dเรานำเสนอตัวอย่างและคุณสมบัติบางอย่างของหมายเลขพิเศษ นอกจากนี้ เรานำเสนอการลำดับอนันต์หมายเลขพิเศษ2 หมายเลข a2 + b2 − c2สังเกตว่า 0 = [3, 4, 5] 1 และ− 1 = [2, 2, 3] 1, 1 = [1, 1, 1] 1, −6 = [3, 1, 4] 1, 6 = [3, 1, 2] 1−2 = [1, 1, 2] 1, 2 = [3, 3, 4] 1, −7 = [1, 1, 3] 1, 7 = [2, 2, 1] 1−3 = [3, 2, 4] 1, 3 = [6, 4, 7] 1, −8 = [2, 2, 4] 1, 8 = [4, 1, 3] 14 = [2, 1, 3] 1, 4 = [2, 1, 1] 1, −9 = [6, 2, 7] 1, 9 = [3, 1, 1] 1−5 = [4, 2, 5] 1, 5 = [5, 4, 6] 1, −10 = [5, 1, 6] 1, 10 = [5, 1, 4] 1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

บทคัดย่อ
เรากล่าวว่าเป็นจำนวนเต็มบวก D เป็นพิเศษถ้าทุกจำนวนเต็ม M มีอยู่ไม่ใช่ศูนย์
จำนวนเต็ม A, B, C ดังกล่าวว่า M = A2 + B2 -dc2 ในบันทึกนี้เรานำเสนอตัวอย่างและบาง
คุณสมบัติของหมายเลขพิเศษ นอกจากนี้เรายังนำเสนอลำดับอนันต์พิเศษ
หมายเลข.
1 บทนำ
Let d เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า A, B, C เป็นจำนวนเต็มแล้วให้ [a, b, c] d แสดงหมายเลข A2 +
B2 - DC2 เราบอกว่า D เป็นพิเศษถ้าทุกจำนวนเต็ม M มีอยู่ integers ภัณฑ์ A, B, C
ดังกล่าวว่า M = [A, B, C] d.
เรานำเสนอตัวอย่างและคุณสมบัติของตัวเลขพิเศษบางอย่าง นอกจากนี้เรายังนำเสนอ
ลำดับอนันต์ตัวเลขพิเศษ.
2 หมายเลข A2 + B2 - C2
สังเกตว่า 0 = [3, 4, 5] 1 และ
-1 = [2, 2, 3] 1, 1 = [1, 1 1] 1 -6 = [3, 1, 4] 1, 6 = [3, 1, 2] 1
-2 = [1, 1, 2] 1, 2 = [3, 3, 4] 1 , -7 = [1, 1, 3] 1, 7 = [2, 2, 1] 1
-3 = [3, 2, 4] 1, 3 = [6, 4, 7] 1 -8 = [2, 2, 4] 1, 8 = [4, 1, 3] 1
-4 = [2, 1, 3] 1, 4 = [2, 1, 1] 1 -9 = [6, 2 7] 1, 9 = [3, 1, 1] 1
-5 = [4, 2, 5] 1, 5 = [5, 4, 6] 1 -10 = [5, 1, 6] 1 10 = [5, 1, 4] 1